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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.6二次函数的应用（1）面积问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•萧山区月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为 的篱笆围成．已知
墙长为 ，若平行于墙的一边长不小于 ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花
园 ，则矩形 的最大面积是 平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
3．（2019•桥西区校级模拟）如图，在 中， ， ，
动点 从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合），动点
从点 开始沿边 向 以 的速度移动（不与点 重合）．如果 、 分别从 、 同时出发，那么经过 秒，四边形 的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，
并在如图所示的三处各留 宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 ，则能
建成的饲养室面积最大为
A． B． C． D．
5．（2021•北京）如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，
矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 ， 与 满足的
函数关系分别是
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系6．（2021•河南二模）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为 ，
，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为 ，小球滚动的区域（空白区域）面积为
，则下列所列方程正确的是
A． B．
C． D．
7．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离
区，隔离区一面靠长为 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜
总长为 ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区
的最大面积为 ；小亮认为：隔离区的面积可能为 ．则：
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
8．（2020秋•合江县月考）如图， 是直角三角形， ， ， ，点 从点
出发，沿 方向以 的速度向点 运动；同时点 从点 出发，沿 方向以 的速度
向点 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形 的最大面积是A． B． C． D．
9．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙
（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为 ，门宽为 ．若饲养室长为 ，
占地面积为 ，则 关于 的函数表达式为
A． B．
C． D．
10．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示， 是边长为 的正方形硬纸片，切
去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 、 、 、 四点重合于图中
的点 ，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设 ，要使包装盒的侧面积最大，则
应取
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是 ，则所围成矩形 的最大面积是 ．
12．（2020秋•饶平县校级期中）用 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，
窗框的长为 ，此时最大面积为 ．
13．（2019•兴庆区校级三模）已知如图，矩形 的周长为 18，其中 、 、 、 为矩形
的各边中点，若 ，四边形 的面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ．
14．（2019•温州模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 的
篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域
的面积最大值是 ．
15．（2020秋•淮阴区校级月考）如图，把一块长为 ，宽为 的矩形硬纸板的四角剪去四个
相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒，若该无盖纸
盒的底面积为 ，剪去小正方形的边长为 ，则二次函数关系式为 ．16．（2021秋•江津区校级月考）如图，规格为 的正方形地砖在运输过程中受损，断去一
角，量得 ， ．现准备从五边形地砖 上截出一个面积为 的矩形地砖
，则 最大值是 ．
17．（2021•老河口市模拟）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为 米，当
等于 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）．
18．（2021•于洪区二模）如图，要在夹角为 的两条小路 与 形成的角状空地上建一个三角
形花坛，分别在边 和 上取点 和点 ，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．
若 和 两段篱笆的总长为8米，则当 米时，该花坛 的面积最大．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•射阳县期末）在创建文明城市的活动中，政府想借助如图所示的直角墙角（两边足够
长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 ， 两边），设 ．
（Ⅰ）若花园的面积是 ，求 的长；（Ⅱ）当 的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
20．（2020秋•阜宁县期末）如图，在足够大的空地上有一段长为 米的旧墙 ，某人利用旧墙和
木栏围成一个矩形菜园 ，其中 ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 200米木
栏．
（1）若 ，所围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙 的长；
（2）求矩形菜园 面积的最大值．
21．（2020•无锡）有一块矩形地块 ， 米， 米．为美观，拟种植不同的花卉，
如图所示，将矩形 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 米．现决定在
等腰梯形 和 中种植甲种花卉；在等腰梯形 和 中种植乙种花卉；在矩形
中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元 米 、60元 米 、40元 米 ，
设三种花卉的种植总成本为 元．
（1）当 时，求种植总成本 ；
（2）求种植总成本 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．22．（2020•宁波模拟）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场 是矩形，两边是半圆，直
道 的长是多少？
你一定知道是100米 可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本
题就明白了．设 米．
（1）请用含 的代数式表示 ．
（2）设矩形 的面积为 ．
①求出 关于 的函数表达式．
②当直道 为多少米时，矩形 的面积最大？
23．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩
形场地 来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与 平行的篱笆 ，如图， 、 上各留
有 1 米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆 58 米，设该矩形的一边 长 米，
，矩形 的面积为 平方米．
（1）求出 与 的函数关系式，直接写出自变量 的取值范围；
（2）若矩形 的面积为252平方米，求 的长．
24．（2019秋•南岸区期末）空地上有一段长为 的旧墙 ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜
园 ，已知木栏总长为 ．
（1）已知 ，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 木栏，且围成的矩形菜园面积为
．如图1，求所利用旧墙 的长；
（2）已知 ，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所
围成的矩形菜园 的面积最大，并求面积的最大值．
