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专题2.6 应用一元二次方程
【学习目标】
1.掌握列出一元二次方程解应用题;并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
2.会用一元二次方程解决销量随销售单价变化而变化的市场营销类应用题；
3.理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度
提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题；
4.通过列方程解应用题，进一步认识方程模型的重要性，提高逻辑思维能力和分析问题、
解决问题的能力。
【知识梳理】
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
2.一元二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）
数字问题。
3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x
位置不可调换.
4.传播问题实例探索
数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
5. 碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，
∴上述求法有重叠部分 ∴m=
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比
赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，
∴上述求法无重叠 ∴m=
【高频考点精讲】
【高频考点1】 销售利润问题
例1．（2022.绵阳市九年级期中）30元的衣服，以50元出售，平均每月能售出300件。经
试销发现每件衣服涨价1元，其月销售量就减少1件，物价部门规定，每件衣服售价不得
高于80元，为实现每月利润8700元，应涨价多少元？
变式1. （2022•澧县期末）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往
销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，
其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上
涨m元，每月能售出 个排球（用m的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该
天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定
为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
【高频考点2】传播问题
例2．（2022·河南初三期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在
全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人
的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设
每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些
病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
变式1.（2022•莆田期中）“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞
和之美玉…”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把
这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设
计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发
之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111个人
参与了宣传活动，则n的值为 ．【高频考点3】循环问题
例3．（2021·广西河池市·九年级二模）某班学生毕业时，每一位同学都向全班其他同学送
一张自己的相片作为纪念，全班共送了2550张相片，若设全班有 名学生，则可列方程为
（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·陕西初三期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据
场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个
队参赛？
【高频考点4】平均变化率问题
例4．（2021·安徽池州市·九年级三模）某工厂为了降低生产成本进行技术革新，已知
2019年的生产成本为 万元，以后每年的生产成本的平均降低率为 ，则预计2021年的生
产成本为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2021·北京九年级二模）某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个
推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③
若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有
正确的推断是（ ）
A．② B．③ C．①② D．②③
【高频考点5】面积问题
例5．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌
三面墙，围成一个矩形花园 （围墙 最长可利用 ），现在用长为 的材
料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为 ，则 长度为（ ）A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
变式1.（2022·浙江温州市·九年级期中）如图，学校在长方形 士地上铺设一条宽为
的等宽度的“L”形石板路（图中阴影部分），余下两块长方形（图中白色区城①②）
种植花卉，且区域①②的周长相等．经测量这条石板路的总铺设面积为 ．设 的长
度为 ．
（1）图中线段 的长为_______ ，（用含x代数式表示）图中阴影部分的周长为
______ ．
（2）设长方形 的面积为 ．①用含x的代数式表示 _______．②若区域②恰
好是一个正方形，求S的值．（请写出解答过程）
（3）已知种植花卉的单价为20元/ ，铺设石板路单价为100元/ ，工程总费用为
12080元．若x为奇数，则 _______．
【高频考点6】数字问题
例6．（2022·浙江绍兴市·八年级期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二
次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流
人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子
算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是 ，则可列方程为（
）
A． B．
C． D．
变式1. （2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为
65，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【能力提升】
一．选择题
1．（2021·黑龙江中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了
流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）A．14 B．11 C．10 D．9
2．（2022·全国初三课时练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（
）
A． B． C． D．
3．（2022·全国初三课时练习）为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转
发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好
友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经过两轮
转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2022·河北·九年级期中）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．
某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自
己的朋友圈，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请 个互不相同的
好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程
列为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022•和平区九年级月考）某种细胞分裂，一个细胞经过两轮分裂后，共有a个细胞，
设每轮分裂中平均一个细胞分裂成n个细胞，那么可列方程为（ ）
A．n2＝a B．（1+n）2＝a C．1+n+n2＝a D．n+n2＝a
6．（2022·浙江奉化初二期末）某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张
留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
7、（2022·重庆市初三期末）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计
共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C. D.
8．（2022·如皋市实验初中初二月考）2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，
赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫
冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A．10场 B．11场 C．12场 D．13场
9．（2022·河北省初二期末）一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1
放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正
方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为
A．11 B．12 C．20 D．24
10．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四
周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，
设金色纸边的宽为 ，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
11.（2022•汉寿县期末）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章
后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年
督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年
华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
12．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元
出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手
这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元
二．填空题
13．（2021·江苏盐城市·九年级一模）据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数
据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025
万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠
肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．
14．（2022·浙江九年级期末）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌
相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020
年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．
15．（2021·山西九年级三模）收官之年，为了进一步巩固提升脱贫攻坚成果，夯实增收基
石，壮大产业“龙头”．某火龙果果园去年栽种果树600株，现计划扩大栽种面积，使今明两年的栽种量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年（包括去年）的总栽种量为
2503，求这个相同的百分数．若设这个相同的百分数为 ，则根据题意，可列方程为
________．
16.（2021•沧州期末）如图是一张月历表，在此月历表上可以用一个矩形任意圈出2×2个
位置上相邻的数（如2，3，9，10）．如果圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，则
这4个数中最小的数是 ．
17．（2021·山西九年级模拟）某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期
间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏
起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能
上涨0.5元（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，需要将采摘的黄瓜
储藏____天．
18．（2022·江苏灌云初三月考）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过
其几何解法呢！以方程 即 为例加以说明．数学家赵爽（公元
3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正
方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即
，据此易得 ．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小
正方形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是_____．（只填序
号）
三．解答题19.（2022•萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形 ABCD），两面靠墙（AD位置的墙
最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也
用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留 1米宽的门（不用木
栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米．
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长．
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说
明理由．
20．（2021·山东菏泽市·九年级二模）第30届菏泽国际牡丹文化旅游节于4月1日至5月
10日举办，主题为“赞盛世牡丹，品魅力菏泽”．为了宣传牡丹制品，某商店欲购进
两种牡丹制品，若购进 种牡丹制品5件， 种牡丹制品3件，共需450元；若购进 种
牡丹制品10件， 种牡丹制品8件，共需1000元．
（1）购进 两种牡丹制品每件各需多少元？
（2）该商店购进足够多的 两种牡丹制品，在销售中发现， 种牡丹制品售价为每件
80元，每天可销售100件，现在决定对 种牡丹制品在每件80元的基础上降价销售，每
件每降价1元，多售出20件，该商店对 种牡丹制品降价销售后每天销量超过200件；
种牡丹制品销售状况良好，每天可获利7000元，为使销售 两种牡丹制品每天总获利
为10000元， 种牡丹制品每件降价多少元？
21．（2021·广西贵港市·九年级三模）突如其来的新冠疫情影响了某商场的经济效益，在
复工复产后商场对某种商品价格进行了调整，将该种商品的进价提高了8元定为销售价格，
此时该商品8件的进价恰好相当于6件的售价，且每天可售出200件．经市场调查发现：
如果该商品每件再涨价1元，每天就会少售出5件．（1）该商品的售价和进价各是多少元？
（2）若在进价不变的条件下，确保每天所得的销售利润为2035元，且销售量尽可能大，
则该商品应再涨价多少元？22．（2021·广东惠州市·九年级二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师
用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮
感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若
病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
23．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学
响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体
同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，
共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通
过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点 分表示第1
名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的
关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当 时，
对应的 ________．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有
多少名女生？
24.（2022•平江县期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图
书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若
进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，该
市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该
市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
25．（2022·南京玄武外国语学校初三期末）如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用
100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC
各为多少米？
26．（2022·安庆初二期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度
为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在
BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x
的代数式表示另一边AD的长为 米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
27．（2022·山西临汾市·九年级模拟）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规
律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分
中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如： ，
．不难发现，结果都是48．（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数
与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，
框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的说法是否正确．（不必叙
述理由）
28．（2022·重庆一中初三月考） 年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅
速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗
曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！
由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要
求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的
工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加
工生产线 ．原计划 生产线每小时生产护目镜 个， 生产线每小时生产护目镜
个．
（1）若生产线 一共工作 小时，且生产护目镜的总数量不少于 个，则 生产
线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划 生产线每天均工作 小时，但现在为了尽
快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机
器损耗及人员不足原因， 生产线每增加 小时，该生产线每小时的产量将减少 个，
生产线每增加 小时，该生产线每小时的产量将减少 个．这样一天生产的护目镜将比原
计划多 个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
