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专题2.4 用因式分解法求解一元二次方程
【学习目标】
1.会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
【知识梳理】
1）因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，
再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
(x−x )(x−x )=0
2）即将一元二次方程化简为 1 2 ；从而得出： ，因式分解法
的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
3）因式分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，
有时可以很好解决。①平方差公式： ；②完全平方公式：
十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足
三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉
相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法
的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的
顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便
约去（x＋4）。
【高频考点精讲】
【高频考点1】因式分解法概念的应用
例1．（2022·山东莱州九年级期末）用因式分解法解方程 ，将左边分解后
有一个因式是 ，则m的值为__________．变式1. （2022•浉河区校级九年级月考）我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）
（x+q）来分解因式解一元二次方程．
如：x2+6x+8＝0，方程分解为： ＝0，
x2﹣7x﹣30＝0，方程分解为： ＝0
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：
3x2﹣7x+2＝0 解：方程分解为：（x﹣2）（3x﹣1）＝0 从而可以快速求出方程的解．
你利用此方法尝试解下列方程4x2﹣8x﹣5＝0
【高频考点2】用提公因式法解一元二次方程
例2．（2022•建平县九年级期末）用分解因式解方程：2y2+4y＝y+2
变式1.（2022•揭西县九年级月考）用分解因式解方程：x（5x+4）﹣（4+5x）＝0．
【高频考点3】用乘法公式解一元二次方程
例3．（2022•长白县九年级期中）用因式分解法解方程：（x+3）2＝（1﹣2x）2．
变式1.（2022•呼和浩特九年级期末）解用分解因式解方程：（2x﹣1）2＝x2+6x+9．
【高频考点4】用十字相乘法解一元二次方程
例4．（2022•郫都区九年级期中）解用分解因式解方程：x2﹣10x+16＝0；变式1.（2022•简阳市九年级月考）用因式分解法解方程：x2 0
【高频考点5】因式分解法解一元二次方程的应用
例5．（2022·浙江杭州市·九年级期中）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是
方程 的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．17 D．13或11
变式1 （2022•阳信县模拟）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个
根，则该菱形的面积为 ．
【高频考点6】一元二次方程中的新定义问题
例6．（2022•汾阳市期末）定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一
元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x﹣
3）（x﹣6）＝0的实数根是3或6，x2﹣3x+2＝0的实数根是1或2，3：6＝1：2，则一元二
次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0与x2﹣3x+2＝0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是
（ ）
A．x2﹣16＝0与x2＝25 B．（x﹣6）2＝0与x2+4x+4＝0
C．x2﹣7x＝0与x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0与x2﹣5x+4＝0
变式1.（2022•新会区期末）定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当
a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2
﹣6的解是 ．
【能力提升】
一．选择题
1.（2022•晋江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，则多项式2x2﹣4px+6q可
以分解为（ ）A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5）
C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）
2.（2022•定陶区期末）已知方程x2﹣7x+10＝0的两个根是等腰三角形的两边长，则这个等
腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．12或9 D．不能确定
3.（2021•南沙区一模）对于实数 m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n
⊗ ⊗
，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（ ）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
⊗
4．（2022·河北张家口·一模）于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=
，若 ，则实数m等于（ ）
A．6 B．2 C．2或 D．2或 或6
5．（2022·河南濮阳·八年级期中）菱形的一条对角线长为10其边长是方程
的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．40 B．16 C．16或24 D．24
6．（2022·山西阳泉·一模）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
7.（2021•晋江市期中）若方程x2﹣（m+n）x+mn＝0（m≠0）的根是x ＝x ＝m，则下列结
1 2
论正确的是（ ）
A．n＝0且n是该方程的根 B．n＝m且n是该方程的根
C．n＝m但n不是该方程的根 D．n＝0但n不是该方程的根
二．填空题
8.（2022•枣庄期中）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的
中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝ ．
9．（2022·贵州铜仁·一模）一元二次方程 的解是______；
10．（2022·浙江绍兴·八年级期中）已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程
的根，则这个三角形的周长为_______________；
11．（2022·江苏南通·九年级期中）方程 的解是______．
12．（2022·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，
那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．
13．（2022·上海·七年级专题练习）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称
这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三
角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
14．（2022·湖南·澧县王家厂镇中学一模）有一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其
中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3，如把（2，－5）放入其中，就会得到22＋2×（－
5）－3＝－9，现将实数对（m，－5m）放入其中，得到实数8，则m＝_____．
三．解答题
14．（2022·江西景德镇·九年级期末）解方程：
(1) ； (2) ．
15.（2022•牡丹江期中）解用分解因式解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．
16.（2022•台安县期中）解用分解因式解方程：（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0．
17.（2022•河口区校级期中）用因式分解法解方程：（2y﹣1）2＝3（1﹣2y）+4．
18．（2022·辽宁朝阳·九年级期末）解下列方程：
(1) （配方法）
(2) （运用公式法）
(3) （分解因式法）
19．（2022·河南驻马店·九年级期末）如果关于x的一元二次方程 有
两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一
元二次方程 的两个根是 ， ，则方程 是“邻根方程”．通过
计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
(1)x2-5x+6＝0 (2)20．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）已知关于 的一元二次方程
．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 的两边 ， 的长是这个方程的两个实数根．第三边 的长为6，当
是等腰三角形时，求 的值．
21．（2022·安徽芜湖·二模）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆
成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2
中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________；
(2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案
中盆景和盆花的数量；
(3)若有n（n为偶数，且 ）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要
盆花的数量为________．（用含n的代数式表示）
22．（2022·重庆市南岸区教师进修学院一模）阅读理解
材料一：若p，q，m为整数，且三次方程 有整数解t，则将t代入方程
得 ，移项得 ，即有 ，由于
与t及m都为整数，因此t是m的因数．所以，对整数系数方程 的整数
解只可能是m的因数．材料二：类比多位数的竖式除法，可以利用竖式除法进行多项式的除法．
例 解方程 ．
解：∵2的因数有 ， ，将它们分别代入原方程，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴ 是方程 的整数解．
∴ 有因式 ．
利用竖式除法，可得
∴ ．
∴原方程化为 ．
∴ 或 ．
∴原方程的解为 ， ， ．
根据以上的阅读材料，解答下列问题：
(1)方程 的整数解可能有哪些？并求出它的整数解；
(2)把多项式 在有理数范围内因式分解；
(3)解方程 ．
