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专题3.18 旋转全等模型——对角（或顶角）互补模型
（专项练习）
一、填空题
1．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，
若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：
①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不
变．其中说法正确的是_______．(填序号)
二、解答题
2．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图1，四边形ABCD中，AB=AD，
∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在边BC、CD上，且∠MAN= ∠BAD．求证:
小明充分利用AB=AD，∠ABC与∠ADC互补的条件，将△ABM绕点A
逆时针旋转∠BAD的度数，如图2,从而将问题解决．根据阅读材料,证明:
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题：3．概念认识
有一组对角都是直角的四边形叫做“对直角四边形”．
数学理解
（1）下列有关“对直角四边形”的说法正确的是______（填写序号）；
①对直角四边形是轴对称图形；②对直角四边形的对角互补；③对直角四边形的一个外角
等于与它相邻内角的对角；④对直角四边形的对角线互相垂直．
（2）如图①，在四边形 中， ， ， ， ， ．
求证：四边形 是对直角四边形．
问题解决
（3）如图②，在对直角四边形 中， ， 平分 ．求证
4．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是
_________（请填序号）；
（2）在“完美”四边形 中， ， ，连接 ．
①如图1，求证： 平分 ；
小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明 平分 ：
想法一：通过 ，可延长 到 ，使 ，通过证明 ，
从而可证 平分 ；
想法二：通过 ，可将 绕点 顺时针旋转，使 与 重合，得到 ，
可证 ， ， 三点在一条直线上，从而可证 平分 ．
请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明 平分 ；
②如图2，当 时，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
5．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的
图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将 BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，
此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形B△EDF 填（“是”或“不是”）
“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，
过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求 BCM周长的最小值．
△
6．已知∠MAN=120°，点C是∠MAN的平分线AQ上的一个定点，点B，D分别在AN，
AM上，连接BD．
【发现】
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，则∠BCD= °， CBD是 三角形；
【探索】 △（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，请判断 CBD的形状，并证明你的结论；
【应用】 △
（3）如图3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若点G，H分别在射线OE，
OF上，且 PGH为等边三角形，则满足上述条件的 PGH的个数一共有 ．（只填
序号） △ △
①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上
7．如图，在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，
，连接 、 ，点 为 的中点．
（1）观察图1，猜想线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
（2）把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成
立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；
（3）把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出线段 长的取
值范围．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．
过G作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F；
（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：
AE+AF= AD；
（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间
存在的数量关系并说明理由；
（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．9．婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所
成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗
摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈
多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝
AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：
①图1中S ABC＝S ADE；
△ △
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与
△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，
连接AF，求证：2AF＝CE．
10．如图（1），四边形ABCD中，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边
与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF-BE，请证明这个结论.
（2）如图（2），如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=
∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结
论）；
（3）如图（3），如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=
∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．11．综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展
数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC＝m，AE＝AF＝n，m
＞n，∠BAC＋∠EAF＝180°，△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为 ，点M
为BF的中点．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，AM和CE的数量关系是 ；（2）如图2，当 时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，当 为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理
由；
【解决问题】
（4）如图4，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE
＝AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若 ，
，则AN＝ ．
参考答案
1．①②③
【解析】
【分析】
作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从
而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S PEM=S PFN，OM+ON= 2OE，从而得
△ △
到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边
三角形，可得故④错误，即可求解．
【详解】
解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确；
∴S PEM=S PFN，
△ △
∴S PMON=S PEOF=定值，故③正确；
四边形 四边形
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确；
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④错误，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判
定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形
判定和性质等知识是解题的关键．
2．见解析
【解析】
【分析】
由题意知△ABM≌△ADQ,则BM=DQ,∠BAM=∠DAQ，再根据∠MAN= ∠BAD，知
∠MAN=∠NAQ,即可证得△AMN≌△AQN，得出MN=QN,即可证得 .
【详解】
∵将△ABM绕点A逆时针旋转∠BAD的度数得到△ADQ，
∴△ABM≌△ADQ，
∴BM=DQ,∠BAM=∠DAQ，AM=AQ,
又∵∠MAN= ∠BAD，即∠MAN=∠BAM+∠NAD，
∵∠BAM=∠DAQ，
∴∠MAN=∠BAM+∠NAD=∠DAQ+∠NAD，
即∠MAN=∠NAQ，
又AM=AQ,AN=AN,
∴△AMN≌△AQN（SAS）
∴MN=QN=ND+DQ,
则MN=BM+DN.
【点拨】此题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据题意作出辅助线再根
据全等三角形的判定方法进行求解.
3．（1）②③；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】【分析】
（1）四边形内角和是360°，结合对直角四边形的定义可进行判定；
（2）根据勾股定理求出BD，利用勾股定理的逆定理即可证明；
（3）延长 ，过点A分别作 、 ，证明 即可．
【详解】
（1）②③；理由如下:
因为四边形内角和是360°，有一组对角是直角，那么另一组对角的和是180°，所以对直角
四边形的对角互补，故②正确；
因为对直角四边形的一个外角与它相邻内角是互补的，又对直角四边形的对角互补，所以
对直角四边形的一个外角等于与它相邻内角的对角，故③正确；
（2）证明：连接
在中， ， ，
∴ ；
在 中， ，
∵
∴
∴四边形 是对直角四边形．
（3）证明：延长 ，过点A分别作 、 ，分别交于点E、F
∴
又∵ 平分
∴在四边形 中，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了四边形的内角和，勾股定理和勾股定理的逆定理，
全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，构造全
等三角形．
4．（1）④ （2）①见解析 ② ；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“完美四边形”的定义即可得出；
（2）①想法一：延长 使 ，连接 ，利用SAS证明 ，再利用全
等三角形的性质及等边对等角得出 ， ，最后根据等量代换即
可得出 ，从而得证；
想法二：将 绕点 顺时针旋转，使 边与 边重合，得到 ，得出
，根据全等三角形的性质得出 ； ； ，
再根据题意和邻补角得出点 ， ， 在一条直线上，最后根据等边对等角及等量代换即
可得证；
②延长 使 ，连接 ，由①得 为等腰三角形．由 得出，再根据勾股定理及AE=AC得出 ，解得 ，最后根据
线段的和与差及等量代换即可得出答案．
【详解】
（1）①平行四边形的两邻边不一定相等，不符合题意；
②菱形一组邻边相等，但对角相等不一定互补，不符合题意；
③矩形的两邻边不一定相等，不符合题意；
④正方形的组邻边相等且对角互补，符合题意；
故答案为④；
（2）解：①想法一：延长 使 ，连接
∵ ，
，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ； ．
∴ ．
∴ ．
即 平分
想法二：将 绕点 顺时针旋转，使 边与 边重合，得到 ，
∴ ．
∴ ； ； ．
∵ ，
∴ ．
∴点 ， ， 在一条直线上．∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 平分
②延长 使 ，连接 ，
由①得 为等腰三角形．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、旋转的性
质、特殊平行四边形的性质，是一道新定义题，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题
的关键．
5．（1）是；（2）①证明见解析；BE=4；②
【解析】
【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行逐项证明即可得出结论；
（2）①结合“直等补”四边形的定义可推出四边形DCFE为矩形，从而证明 AEB≌△BFC
即可得出结论；②将C点沿AD对称至P点，结合最短路径问题求解即可． △
【详解】
（1）∵ BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，
∴旋转角△为90°，即：∠FBE=90°，
根据旋转的性质可得：BF=BE，∠F=∠BEC，
∴∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，
∴四边形BEDF满足“直等补”四边形的定义，
故答案为：是；
（2）①根据“直等补”四边形的定义，AB=AC，
∴∠ABC=∠D=90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，
∴四边形DCFE为矩形，DE=CF，
∵∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠A=∠FBC，
在 AEB与 BFC中，
△ △
∴ AEB≌△BFC（AAS），
∴△BE=CF，
∴BE=DE；
设BE=CF=x，则BF=BE-FE=BE-CD=x-1，
在Rt BCF中，
△
即： ，
解得： ， （舍去），
∴BE=4；
②如图所示，将C点沿AD对称至P点，连接PD，BP，此时，与AD交于M点，即为所求使得 BMC周长最小的点，BP=BM+MC，
此时作QP⊥PD于P点，交BE延长线于△Q点，
则四边形QEDP为矩形， QBP为直角三角形，
由①可知，BE=DE=4， △
且PD=CD=QE=1，
∴QB=BE+QE=5，QP=DE=4，
∴ ，
即：BM+MC的最小值为 ，
∴ BCM周长的最小值为BM+MC+BC= ．
△
【点拨】本题考查新定义问题，综合了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及最短路径
问题等，理解材料给出的定义，将新定义转化为学过的知识点进行证明和计算是解题关键．
6．（1）60，等边；（2）等边三角形，证明见解析（3）④.
【解析】
【分析】
（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出
CB，即可得出结论；
（2）先判断出∠CDE=∠ABC，进而得出 CDE≌△CFB（AAS），得出CD=CB，再利用四
边形的内角和即可得出∠BCD=60°即可得△出结论；
（3）先判断出∠POE=∠POF=60°，先构造出等边三角形，找出特点，即可得出结论．
【详解】
（1）如图1，连接BD，∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，
根据四边形的内角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，
∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM．CB⊥AN，
∴CD=CB，（角平分线的性质定理），
∴△BCD是等边三角形；
故答案为60，等边；
（2）如图2，同（1）得出，∠BCD=60°（根据三角形的内角和定理），
过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分线，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
在 CDE和 CFB中，
△ △
，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形；
（3）如图3，∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，连接PG'，
∴△G'OP是等边三角形，此时点H'和点O重合，
同理： OPH是等边三角形，此时点G和点O重合，
将等边△PHG绕点P逆时针旋转到等边 PG'H'，在旋转的过程中，
边PG，△PH分别和OE，OF相交（如图中△ G''，H''）和点P围成的三角形全部是等边三角形，
（旋转角的范围为（0°到60°包括0°和60°），
所以有无数个；
理由：同（2）的方法．
故答案为④．
7．（1） ， ；（2） ， 仍成立，理由见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】
（1）证明△BAE≌△CAD，继而结合直角三角形中斜边中线的性质即可得答案；
（2）延长 交 于 ，延长 到 使 ，连接 ，用三角形全等推出
，再得到 ，用平行线的性质和判定就可以证明 ．
（3）利用三角形三边关系求出AM的范围即可确定线段 长的取值范围．
【详解】
（1） ， ；理由如下：
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD=90°，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD，又∵P为CD中点，
∴AP=CP= CD，
∴ ，∠ACD=∠CAP，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠CAP+∠AEB=90°，
∴∠ANE=90°，
∴
（2）成立． ， ．
理由如下：
延长 交 于 ，延长 到 使 ，连接 ，
，
∵点 为 的中点，∴
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（3）∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形， ， ，
∴AD=AE=3 ，AC=AB=5 ，
又由（2）知，CM=AD=3 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】此题考查的是三角形的旋转和相似三角形的综合题，熟悉掌握三角形旋转和相识
三角形的性质和灵活的作品辅助线是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）AE+AF= AG，理由见解析；（3）AG+BG+CG的最小值为
．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求证；
（2）过点G作HG上AG交AB延长线于点H，由等腰直角三角形可得
∠DAB=∠DAC=45°，AG=HG，由“ASA”可证△AGF≌△HGE，可得AF=BH，可得结论；
（3）将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G，连接GG'，B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，由旋转的性质可得AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG，则当点B'，点G'，点
G，点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，由30°角所对直角边是斜边
一半和勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC于点D，
则D也是BC上的中点，即AD是BC的垂直平分线，
∴AD=BD=CD，AB= AD，∠B=∠DAC=45°，
∠BDE+∠ADE=90°，∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴ BDE≌ ADF（ASA），
∴△ED=FD，△BE=AF，
∴AB=AE+BE=AE+AF，
∴AE+AF= AD；
（2）AE+AF= AG，理由如下：
如图，过点G作HG⊥AG交AB延长线于点H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=6，AD⊥BC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∴∠AHG=∠BAD=45°，
∴AG=HG，
∴AH= AG，
∵∠EGF=∠AGH=90°，
∴∠AGF=∠EGH，又∵∠AHG=∠FAG=45°，
∴△AGF≌△HGE（ASA），
∴AF=BH，
∴AH=AE+BH=AE+AF= AG；
（3）如图，将△ABG绕点A顺时针旋转60°得到△AB'G'，连接GG'，
B'C，过点B'作B'N⊥AC，交CA的延长线于点N，
∵AB=AB'=6，AG=A'G，
∴∠BAB'=60°，∠GAG'=60°，BG=B'G'，
∴△AGG'是等边三角形，
∴AG=GG'，
∴AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG，
∴当点B'、G'、G、C共线时，
AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长，
∵∠B'AC=∠B'AB+∠BAC=60°+90°=150°，
∴∠B'AN=30°，
∴B'N=3，AN= B'N=3 ，
∴CN=6+3 ，
∴B'C= ，
∴AG+BG+CG的最小值为： ．
【点拨】本题考查了综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最
值问题，对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的90°旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值问题常常要通过轴对称和旋转60°把要求的线段之
和或差转化为具有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决．
9．（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证 GEF≌ ADF（AAS），得
出S EAD=S GEA，再证 GEA≌ CAB（SAS）即可； △ △
②取△DE中点△F，过E作E△G∥AD，△交射线AF于G，先证 GEF≌ ADF（AAS），得出
∠BAC =∠GEA，再证 GEA≌ CAB（SAS），得出∠EA△G=∠ABC△，AC=AG，由AM是边
BC上的中线，得出BM△=CM=△ ，三证 EAF≌ ABM（SAS）即可；
③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过△D作D△O⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，
∠MCA=∠OAD，证明 EAP≌ ABM（AAS），再证 CAM≌ ADO（AAS），三证
EPN≌ DON（AAS）△即可．△ △ △
△（2）延△长AF，使FQ=AF，连接DQ，将 ACE绕点A逆时针旋转90°，得 ARD，由点F
为BD中点，可得DF=BF，先证 DQF≌ △BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FD△Q=∠FBA，可
证DQ∥BA，根据 ACE绕点A逆△时针旋转△90°得 ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，
证明R、A、B三点△共线，再证 DQA≌ ARD（SA△S），即可．
【详解】 △ △
（1）①图1中S ABC＝S ADE；
证明：取DE中点△F，过E△作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在 GEF和 ADF中，
△ △
，
∴ GEF≌ ADF（AAS），
∴△GE=AD，△∠G=∠DAF，
∴S GEF=S ADF，
△ △∴S EAD=S GEA，
∵∠△BAE＝∠△CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在 GEA和 CAB中，
△ △
，
∴ GEA≌ CAB（SAS），
∴△S ABC＝△S GEA=S ADE；
△ △ △
②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；
证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，
∵点F为DE中点，
∴EF=DF，
∵EG∥AD，
∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°，
在 GEF和 ADF中，
△ △
，
∴ GEF≌ ADF（AAS），
△ △
∴GE=AD，GF=AF=
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180°
∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180°
∴∠BAC =∠GEA，
∴GE=AD=AC，
在 GEA和 CAB中，
△ △
，
∴ GEA≌ CAB（SAS），
∴△∠EAG=∠△ABC，AC=AG，
∵AM是边BC上的中线，
∴BM=CM= ，
在 EAF和 ABM中，
△ △
，
∴ EAF≌ ABM（SAS），
∴△EF=AM△，
∵点F为DE中点，
∴DE=2EF=2AM，
③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．
证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，
∵∠BAE=90°，∠DAC=90°，
∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°，
∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90°
∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，
∵EP⊥MN，
∴∠EPA=90°
在 EAP和 ABM中，
△ △
，
∴ EAP≌ ABM（AAS），
∴△EP=AM△，
∵DO⊥MN，
∴∠AOD=90°，
在 CAM和 ADO中，
△ △
，
∴ CAM≌ ADO（AAS）
∴△AM=DO，△
∴EP=DO=AM，
在 EPN和 DON中，
△ △
∴△EPN≌ DON（AAS），
∴EN=DN，△
∴MA的延长线平分ED于点N．（2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将 ACE绕点A逆时针旋转90°，得 ARD
∵点F为BD中点， △ △
∴DF=BF，
在 DQF和 BAF中，
△ △
∴△DQF≌ BAF（SAS），
∴DQ=BA=△AC，∠FDQ=∠FBA，
∴DQ∥BA，
∵ ACE绕点A逆时针旋转90°得 ARD
∴△ACE≌ ARD，∠RAC=90°， △
∴△AR=AC=△AB=QD，RD=CE，
∵∠CAB=90°，
∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°，
∴R、A、B三点共线，
∵DQ∥BA，
∴∠QDA=∠RAD，
在 DQA和 ARD中，
△ △
∴△DQA≌ ARD（SAS），
∴AQ=DR，△
∴2AF=AG=DR=CE，
∴2AF=CE．
【点拨】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作
出准确图形是解题关键．
10．（1）证明见解析；（2）EF=DF-BE；（3）EF=DF-BE；（4）15.
【解析】
【详解】
（1）（2）（3）的解题思路一致，都是通过两步全等来实现；在DF上截取DM=BE，第
一步，首先证 ADM≌△ABE，得AE=AM；第二步，证 AMF≌△AEF，得EF=FM，由此得
到DF、EF、B△E的数量关系． △
（4）根据前三问的结论知：EF=DF-BE，那么 CEF的周长可转化为：
EF+BE+BC+FC=DF+BC+FC，即可得解． △
（1）证明：在DF上截取DM=BE；
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，
∴△ABE≌△ADM，
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM，
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，
即∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF，
得EF=FM，
∵DF=DM+FM，
∴DF=BE+EF，
即EF=DF-BE；
（2）EF=DF-BE；
证明方法同（1）
（3）EF=DF-BE；证明：在DF上截取DM=BE，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE，∴AD=AB，
∴△ADM≌△ABE，
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE；
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF= ∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF= ∠BAD，
∴∠MAF= ∠BAD，
∵AF是 EAF与 MAF的公共边，
∴△EAF△≌△MAF，△
∴EF=MF，
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE；
（4） CEF的周长为15.
点睛：△本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键在于先利用
旋转的性质进行第一次全等的证明，并为第二次全等的证明做好铺垫，然后再对两次全等
证得来的相等的线段进行和、差计算即可.
11．（1） ；（2） ，理由见解析；（3） ，理由见解析；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形两腰相等和M为中点，得到 ，
， ，则可推出两线段的数量关系；
（2）利用已知条件求出∠BAF＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
推出 ，再证明 ，即可得到 ；
（3）添加辅助线，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互相平分得到ABGF是平
行四边形，利用角的关系推出∠AFG＝∠CAE，再证明 ，即可得到
；
（4）与（3）中添加辅助线的方法相同，延长AM至点G，使得MG＝AM．利用对角相互
相平分得到ABGF是平行四边形，则 ．利用角的关系推出
，证明得到 ，则 ， ，又因
为 ，所以 ，进而推出 ．又 ，
则 ．由 和 即可求出 的值．
【详解】
（1）∵两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB＝AC，AE＝AF
∴ ，
又∵点M为BF的中点
∴
∴
∴（2）
理由：∵∠BAC＋∠EAF＝180°，∠CAE＝90°，
∴∠BAF＝90°．
∵在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，M是BF的中点，
在△ACE和△ABF中
．
．
．
（3） ．
理由：如图，延长AM至点G，使得MG＝AM．
∵M是BF的中点，
∴BM＝FM．
又∵MG＝AM，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AC＝AB＝FG，AB//GF．
∴∠BAF＋∠AFG＝180°．
∵∠BAC＋∠EAF＝180°，∴∠BAF＋∠CAE＝180°．
∴∠AFG＝∠CAE．
在△ACE和△FGA中
．
．
．
（4）如图所示，延长AM至点G，使得 ，连接 、 ．
∵M是BF的中点，
∴BM＝FM．
又∵MG＝AM，
∴四边形ABGF是平行四边形
∴AC＝AB＝FG，AB//GF， ．
∴∠BAF＋∠AFG＝180°．
∵∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴∠BAF＋∠CAE＝180°．
∴∠AFG＝∠CAE．
在△ACE和△FGA中．
， ， ．
，
∴ ．
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴
∴ ．
【点拨】本题是与四边形相关的综合性题目，主要考查平行四边形的性质和判定，全等三
角形的性质和判定，以及旋转，直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半等相关知识．
