文档内容
专题3.14 旋转全等模型——共顶点旋转（专项练习）
一、单选题
1．如图，在 中， ， ，D为 内一点，分别连接PA、
PB、PC，当 时， ，则BC的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的
中点，连接DG．在 中， ， ，若将 绕点B逆时针旋转，则
在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
3．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在 ABC内一点，连接PA，PB，
PC，若∠BAP=∠CBP，且AP=6，则PC的最小值是（ ）A．2 B．3 C．3 -3 D．3
4．如图，点 到等边三角形 的顶点 ， 的距离分别为 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG
绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝
OE；②S四边形ODBE＝ S△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A
为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D与点D′的距离为5；②△ACD′
可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③点D到CD′的距离为3；④S ADCD＝6＋
四边形 ′
，其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，O是正 内一点， ， ， ．将线段 以点B为旋转中心
逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论错误的是（ ）
A．点O与 的距离为4 B．
C．S D．
四边形AOBO′
8．如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重
合），连结C△D，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于
点F，连接BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是（ ）
A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°
9．在 中， ．在同一平面内，将 绕点 旋转到 ，
若 恰好落在线段 上，连接 ．则下列结论中错误的是（ ）A． B． C． D．
10．如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接
BP，以BP为边作等边 BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是
（ ）
A．2 B．4 C． D．
11．如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC
绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°；
②BE=CD；③EA平分∠CEF； ④ ，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图， 在等边△ABC中， AB=2 ， 点D在△ABC内或其边上，AD=2， 以AD
为边向右作等边△ADE，连接CD，CE．设CE的最小值为m； 当ED的延长线经过点B时， ， 则m， n的值分别为（ ）
A． ，55 B． ，60
C．2 -2，55 D．2 -2，60
13．如图，△ABC和△EFC都是等边三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若点E在直线
AD上运动，连接DF，则在点E运动的过程中，线段DF的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
14．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜
180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是__________．
15．如图，在 中， ， ，延长 至点P，使 ，将线段绕点C逆时针旋转角 得到 ，连结 ， ．
（1）当 时，点 到直线 的距离为_________；
（2）当 时，点 到直线 的距离为_________．
16．如图，点C为线段 的中点，E为直线 上方的一点，且满足 ，连接 ，
以 为腰，A为直角顶点作等腰 ，连接 ，当 最大，且最大值为 时，
则 _________．
17．如图，等边三角形ABC内有一点P，已知 ， ，则以AP，
BP，CP为边构成的三角形中最大内角的度数为_____________．
18．如图， 为等边三角形，点 为 外的一点， ， ，
，则 的面积为______．19．如图，△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2，AC＝3，点P是△ABC内部任意一点，连接
PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ___．
20．如图， 中， ， ， ， 是 上的动点，将线段
绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
点 到 的最短距离是______________________；
的最小值是______________．
21．如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋
△
转60°，得到线段AE，BD，连接BE，CD相交于点P，已知AB=3，AC=2 ，
∠APB=120°，则PA+PB+PC的大小为________．22．如图所示，在矩形 中， ， ， 为矩形 内部的任意一点，
则 的最小值为______．
23．如图，在 中， ， ， ，点 在 内，连接 、
、 ，则 的最小值是______．
三、解答题
24．问题的提出：如果点 是锐角 内一动点，如何确定一个位置，使点 到 的
三顶点的距离之和 的值为最小？(1)问题的转化：把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，这样就把确定
的最小值的问题转化成确定 的最小值的问题了，请你利用图
甲证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′
(2)问题的解决：当点 到锐角 的三顶点的距离之和 的值为最小时，请
你用一定的数量关系刻画此时点 的位置__________．
(3)问题的延伸：图乙是有一个锐角为 的直角三角形，如果斜边为2，点 是这个三角形
内一动点，请你利用以上方法，求点 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
25．若△ABC，△ADE为等腰三角形，AC＝BC，AD＝DE，将△ADE绕点A旋转，连接
BE，F为BE中点，连接CF，DF．
(1)若∠ACB＝∠ADE＝90°，如图1，试探究DF与CF的关系并证明；
(2)若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如图2，请直接写出CF与DF的关系．
26．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边
△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求
CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了
以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．
解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．∵△ABC、△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．
∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴ ，
∴AE＝BD＝5．
∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．
∵AD＝3，
∴CD＝DE＝ ．
【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝ ，BC＝4，以AC为直角边，A
为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝
CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．
27．综合与实践
如图1，在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究．在
中， ， ，在 中， ， ，点 ，
分别在 ， 边行，直角顶点重合在一起，将 绕点 逆时针旋转，设旋转
角 ，其中 ．（1）当点 落在 上时，如图2：
①请直接写出 的度数为______（用含 的式子表示）；
②若 ， ，求 的长；
（2）如图3，连接 ， ，并延长 交 于点 ，请判断 与 的位置关系，
并加以证明；
（3）如图4，当 与 是两个相等钝角时，其他条件不变，即在 与
中， ， ， ， ，则 的度数为______
（用含 或 的式子表示）．
参考答案
1．C
【解析】【分析】将 BPA顺时针旋转60°，到 BMN处，得到 BPM， ABN是等边三角形，证明
△ △ △ △
C、P、M、N四点共线，且∠CAN=90°，设BC=x，则AB=BN=2x，AC= ，利用勾股定
理计算即可．
【详解】
将 BPA顺时针旋转60°，到 BMN处，则 BPM， ABN是等边三角形，
∠B△PM=∠BMP=60°，∠BAN=△60°，PM=PB，△BA=BN，△PA=MN，
∵∠CPB=∠BPA=∠APC=∠BMN=120°，
∴∠BMP+∠BMN=180°，∠BPC+∠BPM =180°，
∴C、P、M、N四点共线，
∴CP+PM+MN=CP+PB+PA= ，
∵∠BAC=30°，∠BAN=60°，
∴∠CAN=90°，
设BC=x，则AB=BN=2x，AC= ，
∴ ，
解得x= ，x= - ，舍去，
故选C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性
质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．C
【解析】【分析】连接BD、BG，在旋转的过程中，BG的长度保持不变始终等于 EF=2，在
△DBG中，BG+BD>GD，当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，求出
BD即可求解.
【详解】
解：如图，△ BEF旋转到图中位置，连接BD、BG，
∵在△BEF中，∠EBF=90°，BE=2，∠BFE=30°，
∴EF=2BE=4，BF=2 ，
∵旋转前点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB=CD=4，BC=4 ，
∴BD=8.
∵在Rt△BEF中，点G是EF的中点，
∴BG= EF=2.
在△BEF的旋转过程中，BG的长不变，
∵在△DBG中，BG+BD>GD，
∴当D，B，G三点共线且B点在D、G之间时，DG最大，此时，DG=BG+BD=2+8=10，
∴DG的最大值为10.
故选C.
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，含30°角的
直角三角形性质，解题关键是判断出DG最长时G点的位置.
3．D
【解析】
【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’，得到△PP’B是等腰直角
三角形，再由当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短，故可得到△APP’是
等腰直角三角形，找到PC与AP的关系即可求解．【详解】
把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP’，连接PP’
则AP’=PC，BP=BP’，∠PBP’=90°，∠AP’B=∠CPB
故△PP’B是等腰直角三角形
∴∠PP’B=45°
∵∠BAP=∠CBP
∴∠BAP=∠ABP’
∴BP’ AP
∴∠APB=90°
当P’、P、C在同一直线上，且AP’⊥P’C时，AP’最短
∴∠AP’B=90°+45°=135°
∴∠PAP’=180°-∠AP’B=45°
∴△APP’是等腰直角三角形
∴AP= AP’=6
∴PC=AP’=3
故选D．
【点拨】此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是根据题意找到AP’最短的情况．
4．A
【解析】
【分析】把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝PA，连CD，DP，CP，由△ABC为
等边三角形ABC，得到∠DAC＝∠BAP，AC＝AB，于是有△DAC≌△PAB，则DC＝PB，所
以PC≤DP＋DC，即可得到PC所能达到的最大值．
【详解】
解：把PA绕点A逆时针旋转60°，得AD，
则DA＝PA，连CD，DP，CP，如图，∵△ABC为等边三角形ABC，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
∴∠DAC＝∠PAB，
在△DAC和△PAB中，
，
∴△DAC≌△PAB（SAS），
∴DC＝PB，
∵DA＝PA， ,
∴ 为等边三角形，
∴ ,
而PB＝2，PA＝1，
∴DC＝2，
∵PC≤DP＋DC，
∴PC≤3，
所以PC所能达到的最大值为3．
故选：A．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和三角形
全等的判定与性质．
5．C
【解析】
【分析】①通过证明△BOD≌△COE可得结论；②根据①的结论可以推出；③S△ODE随
OE的变化而变化；④当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长的最小值为2+ OE．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴①正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝S△OBC═ S△ABC，
故②正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝ OE，HE＝ OH＝ OE，
∴DE＝ OE，
∴S△ODE＝ × OE× OE＝ OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故③错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2+ OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝ ，
∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3，
故④正确．
综上所述，正确的有①②④共3个．
故选C．
【点拨】本题考查了等边角形性质，图形的旋转，三角形全等，勾股定理，动点问题，熟
练等边三角的性质是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】连接DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角
形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把
△ABD逆时针旋转60°后， AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对②进行判断；再根
据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对③④进行判断；由于四边形
ADCD′的面积=△ADD′的面积+△D′DC的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形
面积公式计算后可对⑤进行判断．
【详解】
解：连接DD′，如图，∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′=5，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以②正确；
∴D′C=DB=4，
∵DC=3，
∴在△DD′C中，DC2+D′C2=DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′=90°，
∴DC⊥CD′，
∴点D到CD′的距离为3，所以③正确；
∵四边形ADCD′的面积=S ADD+S DDC= ，所以④正确．
′ ′
△ △
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾
股定理的逆定理．
7．D
【解析】
【分析】证明△BO′A≌△BOC，得△OBO′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AOO′
是直角三角形，进而可判断．【详解】
解：如图，连接OO′，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S AOBO＝S AOO+S OBO═ ×3×4+ ×42＝6+4 ，
四边形 ′ ′ ′
△ △
故C正确；
如图2将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，
同理可得S +S =6+ ，
AOC AOB
△ △
故D错误；
故选D．
【点拨】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质
是解本题的关键．
8．D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可
证△ACD≌△BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得
等腰△BEF，则可计算出∠BEF的度数．
【详解】
解：由旋转性质可得： CD＝CE，∠DCE＝90°．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°．
∴∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CBE＝∠A＝45°．
∵AD＝BF，
∴BE＝BF．
∴∠BEF＝∠BFE＝ 67.5°．
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题
的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用
全等三角形性质解决相应的问题．
9．B
【解析】
【分析】A、由旋转知 =180º 计算即可，
B、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，由AC=A′C，∠CAA′=∠CA′A= 计算，可得 ，
C、由BC=BC′等边对等角∠B=∠B′，利用旋转角相等∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º计算即可
，
D、先求∠BAC=180º-∠ACB-∠B，再求∠CAA′，计算∠BAA′=∠BAC+∠CAA′即可．
【详解】
A、∠BAC=180º- ，
由旋转知 ，正确，
B、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，
∴∠CAA′=∠CA′A= ，故 ，不正确，
C、∴BC=BC′，∴∠B=∠B′，∴AC=A′C，∴∠ACA′=∠BCB′=180º-2×65º=50º，正确
D、∵∠BAC=180º-∠ACB-∠B=25º，∠CAA′= ，
∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25º+65º=90º，AB⊥AA′，正确
故选择：B．
【点拨】本题考查旋转变换问题，掌握旋转图形的性质，会找旋转角，会利用点B′在AB
上，求旋转角，利用三角形的内角和求∠CAA′，会求两角和证垂直是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝
PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
【详解】
如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵BE＝AE，
∴CE＝BE＝AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE，
∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，
∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC＝PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE＝4，∠A＝30°，
∴PE＝ AE＝2，
∴CQ的最小值为2，
故选：A．
【点拨】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直
角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题，学会用转化的思想思考问题．
11．C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根据旋转得出BF=DC，
∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判断①，证 EAF≌△EAD，即可判断③，
求出BF=DC，∠FBE=90°，根据勾股定理即可判断④，根据已△知判断②即可．
【详解】
解：正确的有①③④，
理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正确；
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠FEA=∠DEA，
即EA平分∠CEF，∴③正确；
∴EF=DE，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，∴④正确；
不能推出BE=DC，∴②错误；
∴正确的个数是3个；
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，
能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
12．D
【解析】
【分析】先判断点E在以A为圆心，2为半径的圆上，利用三角形三边关系得到CE≥AC-
AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），从而可求得m的值；当ED的延长线经过点B
时，如图，通过证明△ABD≌△ACE可得∠ADB=∠AEC，然后再求得∠AED的度数即可求
得答案．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2 ，∠BAC=60°，
∵△ADE是边长为2的等边三角形，
∴点E在以A为圆心，2为半径的圆上，
∴CE≥AC-AE（当且仅当A、E、C共线时取等号），
∴m=AC-2=2 -2；
当ED的延长线经过点B时，如图，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAE=∠AED=60°，AD=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠CAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
而∠ADB=180°-∠ADE=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，
即：n=60°，
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，综合
性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
13．A
【解析】
【分析】由 △ABC 和 △EFC都是等边三角形，联想基本图形，想到证全等，但是这样
的三角形不存在，于是想到连接 BF，构造 △BFC ≌ △AEC．显然当DF⊥BF时最小，即可求出DF最小值．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，AD是△ABC的高，
∴BD= BC= AB=2，∠EAC= ∠BAC=30°．
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴EC=CF，BC=AC，∠FCE=∠DCA．
∴∠FCE-∠DCE=∠DCA-∠DCE，即∠BCF=∠ACE．
在△BFC和△AEC中
EC=CF
∠BCF=∠ACE
BC=AC，
∴△BFC≌△AEC．
∴∠FBC=∠EAC=30°．
由垂线段的性质可知：当DF⊥BF时，DF有最小值．
在Rt△BDF中，∠FBD=30°，BD=2，
∴DF= BD= ×2=1．
∴DF的最小值为1．
故选：A．
【点拨】在此题中，E点为主动点，F点为从动点，从动点随主动点的运动而运动，且他
们的运动轨迹是一致的，找到了F点的运动轨迹，题目就好解决了．
14． 或
【解析】
【分析】分两种情况：当点C在边AD上，当点C在边DE上，由旋转的性质及三角形内
角和定理可求出答案．【详解】
解：当点C在边AD上，如图1，
∵ ，
∴ ，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转 得到△ADE，
∴ ，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转 得到△ADE，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综合以上可得α的度数是 或 ．
故答案为： 或 ．【点拨】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理．利用分类讨论的思想是解答本题的关
键．
15． 1
【解析】
【分析】（1）根据特殊直角三角形特性和CP长度即可就出30°角所对直角边长度．
（2）由P'向CP作垂线，垂足为D，设BD为x，再利用勾股定理建立关于x的方程求出
x，再解出P'D的长度．
【详解】
（1）过P'点作CP垂线，垂足为D，如下图
∵CP'=2且∠P'CB=30°
∴P'D= =1
（2）由P'向CP作垂线，垂足为D，设BD为x
所构成的图形中△CDP'，△BDP'都是直角三角形
所以P'B²-BD²=P'D²=CP'²-CD²
又BP'=AB= =
所以
解得x=
所以P'D= =
【点拨】本题考查锐角三角形求解和勾股定理的应用，掌握这些知识是本题关键．16．2
【解析】
【分析】如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．首先
证明△DAH≌△EAC（SAS），推出DH＝CE，由CD≤DH＋CH，推出当D，C，H共线时，
DC最大，如图2中，设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= ，列方程，即可解决问题．
【详解】
解：如图1中，将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段AH，连接CH，DC．
∵∠DAE＝∠HAC＝90°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∵DA＝EA，HA＝CA，
∴△DAH≌△EAC（SAS），
∴DH＝CE，
∵CD≤DH＋CH，，
∴当D，C，H共线时，DC最大值= ，如图2中，
设AC=x，则BC=CE=DH=x，CH= ，
∴ +x= ，解得：x=1，∴AB=2AC=2．
故答案是：2．
【点拨】点评：本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
三角形的三边关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造全等三角形．
17．
【解析】
【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，可以证明△APQ是等边三角形则QP＝
AP，则△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，然后分别求出△QBP的三个内角
的度数即可．
【详解】
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC
∴BQ＝CP，AQ＝AP，
∵∠1＋∠3＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴QP＝AP，
∴△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，
∵∠APB＝113°，
∴∠6＝∠APB−∠5＝53°，
∵∠AQB＝∠APC＝125°，
∴∠7＝∠AQB−∠4＝65°，
∴∠QBP＝180°−∠6−∠7＝62°，
∴最大内角的度数为65°
故答案为：65°．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，用到的知识点是等边三角形的性质和判定，证得
△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形是解题的关键．
18．【解析】
【分析】将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延
长线于点F，由设DF＝a，则EF＝ a，DE＝CE＝2a，由勾股定理可求出a的值，进而
即可求解．
【详解】
解：将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线
于点F，
∴CD＝CE，∠ECD＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝∠ECD＝60°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADC＝∠ECD，
∴AD∥CE，
∴S ACE＝S CDE，
△ △
∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，
∴S BCD＝S ACE，
△ △
∴S CDE＝S BCD，
△ △
∵∠ADC＝∠CDE＝60°，
∴∠EDF＝60°，
在Rt△FDE中，设DF＝a，则EF＝ a，DE＝CE＝2a，
∵ ， ，
∴AE= ，∴在Rt△AEF中， ，解得：a=1或a=-3（舍去），
∴S BCD= S CDE= ×2a× a= ×2× = ．
△ △
故答案是： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，
三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】将△ABP逆时针旋转60°到△ABP 构造出等边三角形，然后根据两点之间线段最
1 1
短得到PA+PB+PC的最小值即BC的长度，然后根据勾股定理即可求出．
1
【详解】
如图所示，将△ABP逆时针旋转60°到△ABP，连接PP，BC．
1 1 1 1
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴PA+PB+PC= ，
∵点B 和点C都是定点，
1
∴ 的最小值为线段BC的长度．
1
∵△ABP逆时针旋转60°到△ABP，
1 1∴∠BAB=60°， ，
1
又∵∠BAC＝30°，
∴∠CAB=90°．
1
∴在 中， ．
∴PA+PB+PC的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了全等三角形的旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线
段最短等知识，解题的关键是根据题意旋转三角形作出辅助线构造等边三角形．
20．
【解析】
【分析】（1）如图，过点C作CF⊥AB于F， 则CF为点 到 的最短距离，先利用直
角三角形性质及勾股定理求出 ，即可求得结果；
（2）如图，在AC上截取CM，使 ，利用旋转性质及全等三角形的判定及性质推
出 ，由垂线段最短得出当MD⊥AB时，MD有最小值，最后根据直角三角形的性
质即可求出 的最小值．
【详解】
解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F， 则CF为点 到 的最短距离，
∵ ， ， ，
∴ ，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）如图，在AC上截取CM，使 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
由旋转性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴当MD取最小值时，BE有最小值，
∵M为定点，当MD⊥AB时，MD有最小值，
如图，作MD⊥AB，
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
21．
【解析】
【分析】连接AD=CE，利用旋转的性质得到 ABD和 ACE是等边三角形，可推出
∠DAC=∠EAB，利用SAS证明 ADC≌△ABE，△利用全等△三角形的性质可证得
∠AEB=∠ACD，可得到∠APF=△60°，在PE上截取PF=PA，可推出 APF是等边三角形，利
用等边三角形的性质可得到∠PAF=60°；再证明∠EAF=∠PAC，可推△出 AFE≌△APC，由此
可证得AP+BP+CP=BE；过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，利△用勾股定理求出
GE，AG的长，从而可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BE的长，进而即可求解．
【详解】
连接AD，CE，
∵分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，
∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，
∴△ABD和 ACE是等边三角形，
∴∠DAC=∠△EAB=90°+60°=150°，
在 ADC和 ABE中
△ △∵ ，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠APB=120°，
∴∠APF=60°，
在PE上截取PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴∠PAF=60°，
∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠PAC，
∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，
∴△AFE≌△APC，
∴PC=FE
∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE
过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵∠GAE=180°-150°=30°，
∵AE=AC= ，
∴GE= ， ，
∴BG=AB+AG=3+3=6，
∴ ，
∴AP+BP+CP= ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的
判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键．
22．【解析】
【分析】将 绕点C逆时针旋转 ，根据旋转的性质，可以得到一个等边三角形，
通过边与边之间的等量代换，就会将所求的三条边之和的长，转变求三条线段连到一起的
折线段的长，当四点共线时会取到最小值．
【详解】
如解图，将 绕点C逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，由旋转的性质
可知 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当A､P､F､E四点共线时， 的值最小，最小值为AE的长，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ．
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了图形的旋转，会利用到等边三角形，勾股定理，锐角三角函数等
知识，解题的关键是：根据条件及所求将一个三角形逆时针旋转 得到一个等边三角形，通过等边三角形边之间的关系进行等量代换；当几点共线时会取到最小值，最后在直角三
角形中利用勾股定理求解．
23．
【解析】
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．作 垂直AB
的反向延长线于点E．过点A作 于点F．由旋转的性质易求出 ，即
利用含 角的直角三角形的性质可求出 ，即可证明
，即说明当点D在线段 上时，
最小，且最小值为 的长．由旋转又易求出 ，再次利用含
角的直角三角形的性质可求出 和 的长，即求出 的长．最后在 中，
利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】
如图，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．作 垂直AB
的反向延长线于点E．过点A作 于点F．
由旋转的性质可知 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点D在线段 上时， 最小，且最小值为 的长．
∵ ， ，
∴ ，∴在 中， ， ．
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查旋转的性质，含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，两点
之间线段最短以及勾股定理等知识，较难．能够想到利用旋转的性质作出复杂的辅助线是
解答本题的关键．
24．(1)见解析；
(2)见解析；
(3) 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为
【解析】
【分析】（1）问题的转化：根据旋转的性质证明 是等边三角形，则 ，可
得结论．
（2）问题的解决：运用类比的思想，把 绕点 逆时针旋转60度得到 ，连
接 ，，由“问题的转化”可知：当 、 、 、 在同一直线上时， 的
值为最小，确定当： 时，满足三点共线．
（3）问题的延伸：如图3，作辅助线，构建直角 ，利用勾股定理求 的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
(1)
解：如图，由旋转得： ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(2)
；
满足： 时， 的值为最小；
理由是：如图，把 绕点 逆时针旋转60度得到 ，连接 ，
由（1）可知：当 、 、 、 在同一直线上时， 的值为最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 、 、 在同一直线上，
由旋转得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 在同一直线上，
∴ 、 、 、 在同一直线上，
∴此时 的值为最小，
故答案为： ；(3)
如图， 中，∵ ， ，
∴ ， ，
把 绕点 逆时针旋转60度得到 ，连接 ，
当 、 、 、 在同一直线上时， 的值为最小，
由旋转得： ， ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
则点 到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为 ．【点拨】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等
知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会
利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)DF=CF且DF⊥CF
(2)DF⊥CF且CF＝ DF
【解析】
【分析】1）延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于
点N，先证明△BFC≌△EFM（SAS），再证△MED≌△CAD（SAS），得到△DCM为等腰直
角三角形，即可求解；
（2）延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，先
证明△BFC≌△EFM（SAS），再证△MED≌△CAD（SAS），得到△DCM为等腰三角形，即
可求解．
(1)
DF=CF且DF⊥CF；
延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，如图
1，∵BF=EF，CF=FM，∠BFC=∠EFM，
∴△BFC≌△EFM（SAS），
∴EM=BC=AC，∠FME=∠FCB，
∴BC∥EM，
∴∠N=∠MEN，
在四边形ACND中，∠ACB=∠ADE=90°，
∴∠N+∠CAD=360°-（∠ACB+∠ADE）=180°，
又∵∠MEN+∠MED=180°，
∴∠MED=∠CAD，
又 AD=DE，EM=AC，
∴△MED≌△CAD（SAS），
∴DM=DC，∠MDE=∠CDA，
∴∠MDC=∠NDC+∠MDE=∠NDC+∠CDA=∠ADE=90°，
∴△DCM为等腰直角三角形，
∵点F是CM中点，
∴DF= CM=CF，DF⊥CF；
(2)
DF⊥CF且CF＝ DF；
延长CF至点M，使CF=FM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，如图
2，∵BF=EF，CF=FM，∠BFC=∠EFM，
∴△BFC≌△EFM（SAS），
∴EM=BC=AC，∠FME=∠FCB，
∴BC//EM，
∴∠N=∠NER，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACN=120°，
∵∠ADE=120°，
∴∠ADN=60°，
∴∠N+∠CAD=360°-（∠ACN+∠ADN）=180°，
∵∠DER+∠DEM=180°，
∴∠DEM=∠CAD，
又 AD=DE，EM=AC，
∴△MED≌△CAD（SAS），
∴DM=DC，∠MDE=∠CDA，
∴△DCM为等腰三角形，
∴∠CDM=∠ADE=120°，
∵F是CM的中点，
∴DF⊥CF
∴
∴
∴CD=2DE
由勾股定理得，
∴解得，CF＝ DF（负值舍去）
∴DF⊥CF且CF＝ DF．
【点拨】本题考查了几何变换，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及
勾股定理等知识，熟练掌握三角形旋转后对应边与角的关系，灵活应用三角形全等的判定
和性质是解题的关键．
26．【问题背景】 ； ；4；【尝试应用】 ；【拓展创新】
AD的最大值为 ．
【解析】
【分析】问题背景：根据所给思路，结合图形进行求证即可得；
尝试应用：以点A为旋转中心，将 绕点A顺时针旋转 ，得 ，连接BE，根
据各角之间的数量关系可得 ，在在 与 中，利用两次勾股定
理求解即可得
拓展创新：以点D为旋转中心，将 绕点D顺时针旋转 ，得 ，连接AF，
由旋转的性质可得 ， ， ，利用等边对等角得出，
，结合图形当A、B、F三点共线时，AF最大，此时 ，过点
D作 ，得出 ， ，利用勾股定理可得 ，当AF
取得最大值时，AD取得最大值，代入求解即可得．
【详解】
问题背景：解：如图3所示，以DC为边作等边三角形 ，连接AE，
， 是等边三角形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 与 中，，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵在 中，
，
，
∴故答案为： ； ； ；
尝试应用：解：以点A为旋转中心，将4 绕点A顺时针旋转 ，得 ，连接
BE，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，
，
∵，
∴
在 中，
，
∵
，
∴
；
∴
拓展创新：以点D为旋转中心，将 绕点D顺时针旋转 ，得 ，连接AF，
， ， ，
∴ ，
∴当A、B、F三点共线时，AF最大，
， ，
∵ ，
∴如图 中，过点D作 ，且 ，
， ，
∴∵
化简得： ，当AF取得最大值时，AD取得最大值，
，
∴
AD的最大值为 ．
∴
【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形旋转的性质，勾股定理解三角形
等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
27．（1）① ；② ；（2） ，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①由等腰直角三角形得 ， ，故可求出 ；
②过点M作 于点 ，设 ，则 ，由 ， 得
是等腰直角三角形，得出 ，即可求出x的值，由勾股定理即可得出
答案；
（2）设 与 相交于点 ，由旋转得 ，根据SAS证明
，由全等三角形的性质得 ，由 得
即 ，故可证 ；
（3）设 与 相交于点 ，同（2）得 ，故 ，即可求
．
【详解】
（1）①∵ ， 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图2，作 于点 ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2） ，证明如下：
如图3，设 与 相交于点 ，
由旋转可知： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图4，
设 与 相交于点 ，同（2）得 ，
∴ ，
．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点
间的应用是解题的关键．
