文档内容
专题 3.10 确定圆的条件（专项练习）
一、单选题
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2．有下到结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外
心到三角形各边的距离相等，其中正确的结论的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，
△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
4．下列判断结论正确的有（ ）
（1）直径是圆中最大的弦．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧．
（3）面积相等的两个圆是等圆．
（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25
6．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°．AB＝4，则⊙O的半径为 ( )
A． B．4C． D．5
7．如图， 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD
于点O.若OA =3，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（
）
A． B．
C． D．
9．如图，将 放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用
一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是A． B． C．2 D．
二、填空题
10．如图,AB是☉O的直径,AC是弦,D是AC的中点,若OD=4,则BC=_____.
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交它的外接圆于D、E两点．若∠B=24°，
∠C=106°，则 的度数为____
12．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．
13．已知⊙O的直径为 cm，点A在⊙O上，则线段OA的长为______cm．
14．如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点
都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．15． 的半径是3cm，P是 内一点， ，则点P到 上各点的最小距离
是_____cm，最大距离是_____cm.
16．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径
OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝_____．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结
PA，PB．若PB=4，则PA的长为_________．
18．如图，在△ABC中，∠A=60°，⊙O为△ABC的外接圆．如果BC=2 ，那么⊙O的
半径为_____．
19．如图，点 ， ， 均在 的正方形网格格点上，过 ， ， 三点的外接圆除
经过 ， ， 三点外还能经过的格点数为 ．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），
（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．21．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．
22．如图， 内接于 ， 为 的直径， ，弦 平分 ，
若 ，则 ________．
23．已知正 ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正 ABC的最小圆的半径是_____．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边
AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，
则AD的最小值为_____．25．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为 、 、 ，点E是
的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若 ，则点D的坐标为
______．
三、解答题
26．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．27．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点
E，连接BD，CD．
(1)求证：BD＝CD；
(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
28．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞
0）．
（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：
∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案
1．D
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选择：D．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上
的点到线段两端的距离相等．2．A
【分析】（1）根据确定圆的条件进行解答即可；（2）根据垂径定理即可得出结论；（3）
根据三角形外心的性质可得出结论.
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦，故（2）错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故（3）错误；
故答案选：A．
【点拨】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质．
3．D
【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾
股定理得到BP＝CP＝ ≠PA，于是得到结论．
解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝ ≠PA，
∴排除C选项，
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是
解题的关键．
4．B
【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）
面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误.
故选B．
【点拨】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念．
5．C
【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，
则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的
长．解：
过A作AD⊥BC于D，
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
则AD必过圆心O，
Rt△ABD中，AB=5，BD=3
∴AD=4
设⊙O的半径为x，
Rt△OBD中，OB=x，OD=4-x
根据勾股定理，得：OB2=OD2+BD2，即：
x2=（4-x）2+32，解得：x= =3.125．
故选C．
【点拨】本题考查三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，解
题的关键是掌握等腰三角形的性质和勾股定理.
6．A
试题解析：连接OA，OB．
∴在 中，
故选A.
点拨:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.7．D
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为
外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
解： ，AD是 的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为 外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆
心是解题关键．
8．D
解：A、由图示可知应用了垂径定理作图的方法，所以CD是Rt△ABC斜边AB
上的高线，不符合题意； B、由直径所对的圆周角是直角可知∠BDC=90°，所
以CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意； C、根据相交两圆的公共
弦被连接两圆的连心线垂直平分可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不
符合题意； D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选
D．
点拨：本题主要考查尺规作图，能正确地确定作图的步骤是解决此类问题的关
键.
9．A
【分析】根据题意得出 的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖
这个三角形的最小圆面的半径．
解：如图所示：点O为 外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： ．
故选A．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
10．8
∵AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，
∴AD=CD，OA=OB，
即OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=2×4=8.
故答案为：8.
11．82°
【分析】根据垂径定理的推理可判断DE为直径，根据垂径定理得到 ，设△ABC
的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，再利用三角形内角和计算出∠BAC=50°，利
用圆周角定理得到∠EOC=∠BAC=50°，∠AOC=2∠B=48°，然后计算出∠AOD的度数，再
根据 的度数等于它所对的圆心角的度数求解即可．
解：∵DE垂直平分BC，
∴DE为直径， ，
设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，∵∠B=24°，∠C=106°，
∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，
∴∠EOC=∠BAC=50°，
∵∠AOC=2∠B=48°，
∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，
∴ 的度数为82°．
故答案为82°.
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是把求弧的度数转化为求弧所对的圆心
角的度数．
12．8或10．
解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= =20，因此这个三
角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为10或8．
13．
【解析】∵⊙O的直径为 cm，
∴⊙O的半径为 cm，
∵点A在⊙O上，∴线段OA= cm．
故答案为： ．
14．
如图，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾
股定理得外接圆的半径= = ．
故答案为 .
点拨：此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径．
15．2 4
【分析】先由PO=1cm＜⊙O的半径为3cm，得出点P在⊙O内，进而得到点P到⊙O上各
点的最小距离为2cm．
解：∵⊙O的半径为3cm，平面上有一点P，PO=1cm，
∴点P在⊙O内，
∴点P到⊙O上各点的最小距离为3-1=2（cm），
点P到⊙O上各点的最大距离为3+1=4（cm）．
故（1）答案：2．
（2）答案：4
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离
OP=d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆上⇔d=r；
③点P在圆内⇔d＜r．16．4 .
【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，由等腰三角形的性质得到AB＝2OD＝2×2＝4，得
到∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ×90°＝45°，求得∠ABD＝∠ADB＝45°，求得AD＝
AB＝4，于是得到DC＝AD＝4，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴ ，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 ．
故答案为4 ．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的
识别图形是解题的关键．
17．3或
解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四边形ACBP为矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A= ，
∴PA的长为3或 ．
故答案为：3或 ．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
18．2
【分析】连接OC、OB，作OD⊥BC，利用圆心角与圆周角的关系得出∠BOC=120°，再利
用含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：连接OC、OB，作OD⊥BC，∵∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠DOC=60°，∠ODC=90°，
∴OC= ＝ ＝2，
故答案为：2．
【点拨】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出
∠BOC=120°．
19．5.
试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
考点：圆的有关性质.
20．（6，6）
【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得
ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与
性质等知识，其中判定△OMN为等腰直角三角形是解答本题的关键．
21．4
解：分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知
AC=CD，由勾股定理即可得出AD的长.
详解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，
∵AC=4∴AD=4 故答案为4 .点拨：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅
助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．
【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题.
解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴AB=AD÷cos30°=4 ，
∴AC=AB•cos60°=2 ，
故答案为2 ．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．2
【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出
△ABC外接圆的半径即可解决问题．
解：如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，
设⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE⊥BC于E，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，OE⊥BC，∴∠BOE=60°，BE=EC=3，
∴sin60°= ，∴OB=考点：（1）三角形的外接圆与外心；（2）等边三角形的性质
24．
【分析】如图，作辅助圆；根据勾股定理依次求出AE、EM、AM、DM的长度，即可解决
问题．
解：如图，
由题意得：DM＝MB，
∴点D在以M为圆心，BM为半径的圆上，作⊙M； 连接AM交⊙M于点D′，此时AD值
最小；
过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝EC＝ BC＝ ×6＝3，
由勾股定理得：AE＝ ＝4，
∵BM＝4，
∴EM＝4﹣3＝1，
∴AM＝ ＝ ＝ ，∵D′M＝BM＝4，
∴如图中AD′＝AM﹣D′M＝ ﹣4，
即线段AD长的最小值是 ﹣4；
故答案为： ﹣4．
【点拨】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问
题；解题的关键是作辅助圆，从整体上把握题意，准确找出图形中数量关系．
25．
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA=OB=2，OC=4，得到
△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根据圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推
出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根据全等三角形的性质得到E（2，﹣4），待
定系数法得到直线BE的解析式为y=﹣3x+2，于是得到结论．
解：连接CE，过E作EF⊥AC于F．
∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°．
∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE．
∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE．
在△OBC与△FCE中，∵ ，∴△OBC≌△FCE（AAS），
∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y=kx+b，∴
，∴ ，∴直线BE的解析式为y=﹣3x+2，当y=0时，x ，∴D（
，0）．故答案为：（ ，0）．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正
确的作出辅助线是解题的关键．
26．（1）证明见解析（2）4
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8× =4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内
角都等于60°，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8× =4
27．（1）见解析（2）是
试题分析： 利用等弧对等弦即可证明．
利用等弧所对的圆周角相等， 再等量代换得出 从
而证明 所以 三点在以 为圆心，以 为半径的圆.
试题解析:
(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由(1)知：
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE.
由(1)知：BD=CD
∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
28．（1）点B（3，4），点C（﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理
由见解析．
【分析】（1）由中心对称的性质可得OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），由两点距离公
式可求a的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB，AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO＝BO＝CO，可得△BCD是直角三角形，以BC为直径，作
⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC＝
∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，可证CH＝BH，∠BHC＝90°，由两点距离公式可求解．
解：（1）∵A（﹣5，0），OA＝OC，
∴OA＝OC＝5，
∵点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0），
∴OB＝OC＝5，点C（﹣a，﹣a﹣1），
∴5＝ ，
∴a＝3，
∴点B（3，4），
∴点C（﹣3，﹣4）；
（2）∵点B（3，4），点C（﹣3，﹣4），点A（﹣5，0），
∴BC＝10，AB＝4 ，AC＝2 ，
∵BC2＝100，AB2+AC2＝80+20＝100，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝45°，
∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，
∴CH＝BH，∠BHC＝90°，
∵BC＝10，
∴BH＝CH＝5 ，OH＝OB＝OC＝5，
设点H（x，y），
∵点H在第四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，
∴x＝4，y＝3，
∴点H（4，﹣3），
∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线
的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解
决问题是本题的关键．
