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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.11 第3章圆单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020 秋•巩义市期末）如图， 是 的直径，点 、 是圆上两点，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】先利用圆周角定理得到 ，然后利用邻补角的定义计算 的度数．
【解析】 ，
．
故选： ．
2．（2021•柳州一模）如图， 、 、 是 上的三个点， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用圆周角定理解答．
【解析】如图， 、 、 是 上的三个点， ，
，
故选： ．3．（2021•滨江区一模）已知，如图，线段 是 的直径，弦 于点 ．若 ， ，
则 的长度为
A． B． C． D．5
【分析】连接 ，设 的半径为 ，由垂径定理得 ，在 中，由勾股定理
得出方程，解方程即可．
【解析】连接 ，如图所示：
设 的半径为 ，
弦 于点 ． ，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ，
故选： ．4．（2021•柳南区三模）如图，点 、 、 分别表示三个村庄， 千米， 千米，
千米．某社区拟建一个文化活动中心．要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心 的位置应在
A． 中点 B． 中点
C． 中点 D． 的平分线与 的交点
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出即
可．
【解析】 千米， 千米， 千米，
，
，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出活动中心 的位置应为斜边 的中点，
故选： ．
5．（2021•大东区二模）已知一个正六边形的边心距为 ，则它的外接圆的面积为
A． B． C． D．
【分析】过 作 于 ，连接 、 ，证 是等边三角形，得 ，再由锐角三角
函数定义求出 ，然后由圆的面积公式求解即可．
【解析】如图， 为正六边形六边形 的中心，过 作 于 ，连接 、
则 为正六边形 的外接圆的半径， 为正六边形 的边心距，
即 ，，
是等边三角形，
，
，
，
，
它的外接圆的面积 ，
故选： ．
6．（2016•青羊区校级自主招生）如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按
箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了
A．6圈 B．5圈 C．4.5圈 D．4圈
【分析】分别得出圆在菱形的四条边上和四个顶点处转的圈数，再相加即可．
【解析】 菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
圆在菱形的边上转了4圈
圆在菱形的四个顶点处共转了 ，
圆在菱形的四个顶点处共转1圈
回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．故选： ．
7．（2020•云南）如图，正方形 的边长为4，以点 为圆心， 为半径，画圆弧 得到扇形
（阴影部分，点 在对角线 上）．若扇形 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面
圆的半径是
A． B．1 C． D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 ，
根据题意可知：
， ，
底面圆的周长等于弧长：
，
解得 ．
答：该圆锥的底面圆的半径是 ．
故选： ．
8．（2020•凉山州）如图，等边三角形 和正方形 都内接于 ，则A． B． C． D．
【分析】连接 、 、 ，过 作 于 ，由垂径定理得出 ，证出 是
等腰直角三角形， ， ，得出 ， ，则
，进而得出答案．
【解析】连接 、 、 ，过 作 于 ，如图所示：
则 ，
等边三角形 和正方形 ，都内接于 ，
， ，
，
是等腰直角三角形， ，
， ，
，
，
故选： ．
9．（2021•兴庆区校级一模）如图，正方形 中，分别以 ， 为圆心，以正方形的边长 为半径画
弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为A． B． C． D．
【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为 ，且半径为 的扇形的面积与正方形的面积的差，
可据此求出阴影部分的面积．
【解析】由题意可得出： ，
故选： ．
10．（2019•长丰县二模）如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，圆心 的坐标为
，圆 与 轴相切于点 ．若将圆 沿 轴向左移动，当圆 与该直线相交时，横坐标为整数的点
的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直线与坐标轴的交点，得出 ， 的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，
进而得出相交时的坐标．
【解析】 直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，
圆心 的坐标为 ，
点的坐标为： ，
点的坐标为： ，，
将圆 沿 轴向左移动，当圆 与该直线相切于 时， ，
根据△ ，
，
，
的坐标为： ， ，
将圆 沿 轴向左移动，当圆 与该直线相切于 时， ，
根据△ ，
，
，
的坐标为： ， ，
从 到 ，整数点有 ， ， ，故横坐标为整数的点 的个数是，3个．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•湖州）如图，已知 是半圆 的直径，弦 ， ， ，则 与 之间
的距离是 3 ．【分析】过点 作 于 ，连接 ，如图，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计
算出 ，从而得到 与 之间的距离．
【解析】过点 作 于 ，连接 ，如图，则 ，
在 中， ，
所以 与 之间的距离是3．
故答案为3．
12．（2020秋•武进区期中）在 中， ， ， ，则其外接圆的直径为 ．
【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先由勾股定理求出斜
边长，则可得出答案．
【解析】在 中，
， ， ，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的直径为 ．
故答案为： ．
13．（2020秋•龙凤区期末）如图，四边形 是 的外切四边形，且 ， ，则四边形
的周长为 4 8 ．
【 分 析 】 根 据 切 线 长 定 理 得 到 ， ， ， ， 得 到，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解析】 四边形 是 的外切四边形，
， ， ， ，
，
四边形 的周长 ，
故答案为：48．
14．（2020•资中县一模）已知 的面积为 ，则 的内接正六边形的面积是 ．
【分析】过点 作 于点 ，连接 ， ，先求出 的半径，又由圆的内接正六边形的性质，
即可求得答案．
【解析】 的面积为 ，
的半径为2，
过点 作 于点 ，连接 ， ，
，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
故答案为： ．15．（2020•吉州区一模）已知等腰 内接于半径为5的 ，已知圆心 到 的距离为3，则这个
等腰 中底边上的高可能是 2 或 8 或 ．
【分析】分三种情况讨论：①当 是底， 是锐角三角形时，②当 是底， 是钝角三角形时，
③当 是腰时，由勾股定理分别求出答案即可．
【解析】①当 是底， 是锐角三角形时，如图1，
连接 交 于点 ，
，
，
， ，
，
②当 是底， 是钝角三角形时，如图2，
同理可得， ．
③当 是腰时，连接 并延长到 于 ，作 于点 ，
在 中， ， ，，
，
设 ，在 中， ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
．
故答案为：2或8或 ．
16．（2021•泰州）如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 与 轴相切，点 在 轴正
半轴上， 与 相切于点 ．若 ，则点 的坐标为 ．
【分析】连接 ，过点 分别作 轴、 轴，利用根据圆的切线性质可知 、 为
直角三角形， ，利用直角三角形中 角的性质和勾股定理分别求出 、 的长度，进而
求出 、 的长度即可求得答案．
【解析】过点 分别作 轴于点 、 轴于点 ，连接 ，
当点 在点 是上方时，如图，轴， 轴，
四边形 为矩形，
， ，
与 轴相切，
为 的半径，
点 坐标为 ，
， ，
是切线，
，
，
，
在 中，根据勾股定理得，
，
，
点 在 轴的正半轴上，
点 坐标为 ，
故答案为： ．
17．（2021秋•柯桥区月考）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，对称轴与抛物线交
于点 ，与 轴交于点 ， 的半径为1， 为 上一动点， 为 的中点，则 的最大值为 3．
【分析】如图，连接 ．利用三角形的中位线定理证明 ，求出 的最大值，即可解决问题．
【解析】如图，连接 ．
， ，
，
当 的值最大时， 的值最大，
，
， ，
，
当点 在 的延长线上时， 的值最大，最大值 ，
的最大值为3，
故答案为：3．
18．（2021秋•余干县期中）已知正方形ABCD中，AB＝2， A是以A为圆心，1为半径的圆，若 A绕
点B顺时针旋转，旋转角为 （0°＜ ＜180°），则当旋转后⊙的圆与正方形ABCD的边相切时， ＝⊙ 45 °
或 135 ° ． α α α
【分析】由 A的半径为1，可知当圆在矩形内部时，则与AB、AD、DC、BC都相切，设与BC的切点
为E，此时圆⊙心为A′，连接A′E、A′B，可求得∠A′BE＝45°，则可求得∠ABA′；当圆在矩形外部与BC相切时，设圆心为A″，同理可求得∠A″BE＝45°，则可求得∠A″BA，当与AB相切时，设
圆心为A′′′，则A′′′到AB的距离为1，到B的距离为 ，可求得∠A′′′BA＝45°，可求得
答案．
【解析】∵ A是以A为圆心，半径r＝1的圆，AB＝2，
∴当圆在正⊙方形形内部时，则与AB、AD、DC、BC都相切，
设与BC的切点为E，此时圆心为A′，连接A′E、A′B，如图，
则在Rt△A′BE中，A′E＝BE＝1，A′B＝ ，
∴∠A′BE＝45°，
∴∠A′BA＝90°﹣45°＝45°；
当圆在矩形外部与BC相切时，设圆心为A″，
同理可求得∠A″BE＝45°，
∴∠A″BA＝90°+45°＝135°；
当圆与AB相切时，设圆心为A′′，可知A′′到AB的距离＝1，A′′′B＝ ，
同理可求得∠A′′′BA＝45°，
综上可知 ＝45°或135°，
故答案为：α45°或135°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•云岩区模拟）如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值．
【分析】（1）连接 ， ，根据正方形 内接于 ，结合圆周角定理可得 ；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出 的度数，进而得出答案．
【解析】（1）连接 ， ，
正方形 内接于 ，
．
；
（2）连接 ， ，
正方形 内接于 ，
，
点 为 的中点，
，
，
．
20．（2020秋•开化县期末）如图， 是 的直径，点 是 上一点，连接 ， ，点 是
的中点，连结并延长 交圆于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，根据垂径定理得到 ，由平行线的判定定理即可得
到结论；（2）连接 ，设 ，根据勾股定理得到 ，推出 ，得到 ，根
据扇形和三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：连接 ，
设 ，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ．21．（2021•邓州市一模）如图，在 中， ， 为 的直径， 为 上任意一点，连接
交 于点 ，过 作 交 的延长线于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：①当 4 5 时，四边形 是正方形．
②若四边形 的面积为6，则 的长为 ．
【分析】（1）根据 证明 ，即可根据全等三角形的性质得解；
（2）①当 的度数为 时，四边形 是正方形，证明 即可解决问题；
②证明 即可解决问题．
【解答】（1）证明： 为 直径，
，
，
又 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：①当 时，四边形 是正方形．
理由：由（1）知， ，，
，
，
，
， 都是等腰直角三角形，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
四边形 是正方形．
故答案为：45；
②由（1）知， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
22．（2020•焦作一模）如图，在 中， ， 为 的直径， 为 任意一点，连接
交 于点 ， 交 的延长线于 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）填空：①当 的度数为 时，四边形 是正方形；
②若四边形 的面积为4，则 的长为 ．【分析】（1）根据 证明 即可．
（2）①当 的度数为 时，四边形 是正方形，证明 即可解决问题．
②证明 即可解决问题．
【解答】（1）证明： 为 直径，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 ，
（2）解：①当 时，四边形 是正方形．
理由： ，
，
，
， 都是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形 是菱形，
，
四边形 是正方形．故答案为： ．
② ，
， ，
，
，
，
故答案为 ．
23．（2020•广州）如图， 为等边 的外接圆，半径为2，点 在劣弧 上运动（不与点 ，
重合），连接 ， ， ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）四边形 的面积 是线段 的长 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理
由；
（3）若点 ， 分别在线段 ， 上运动（不含端点），经过探究发现，点 运动到每一个确定的位
置， 的周长有最小值 ，随着点 的运动， 的值会发生变化，求所有 值中的最大值．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得 ， 圆 周 角 定 理 可 得，可得结论；
（2）将 绕点逆时针旋转 ，得到 ，可证 是等边三角形，可得四边形 的面积
，即可求解；
（3）作点 关于直线 的对称点 ，作点 关于直线 的对称点 ，由轴对称的性质可得 ，
，可得 的周长 ，则当点 ，点 ，点 ，点 四点
共线时， 的周长有最小值，即最小值为 ，由轴对称的性质可求 ，
，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求 ，则当 为
直径时， 有最大值为 ．
【解答】证明：（1） 是等边三角形，
，
， ，
，
是 的平分线；
（2）四边形 的面积 是线段 的长 的函数，
理由如下：
如图1，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
点 ，点 ，点 三点共线，， ，
是等边三角形，
四边形 的面积 ，
；
（3）如图2，作点 关于直线 的对称点 ，作点 关于直线 的对称点 ，
点 ，点 关于直线 对称，
，
同理 ，
的周长 ，
当点 ，点 ，点 ，点 四点共线时， 的周长有最小值，
则连接 ，交 于 ，交 于 ，连接 ， ， ， ，作 于 ，
的周长最小值为 ，
点 ，点 关于直线 对称，
， ，
点 ，点 关于直线 对称，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
当 有最大值时， 有最大值，即 有最大值，为 的弦，
为直径时， 有最大值4，
的最大值为 ．
24．（2021秋•秦淮区校级期中）问题情境：如图1， 是 外的一点，直线 分别交 于点 ， ，
则 是点 到 上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在 上任取一点 （不与点 ， 重合），连接 ， ．求证： ．
（2）直接应用：如图3，在 中， ， ，以 为直径的半圆交 于 ，
是弧 上的一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形 中， ， 是 边的中点， 是 边上一动
点，将 沿 所在的直线翻折得到△ ，连接 ，则 长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点 ， 为圆心，以1，2为半径作 ，
， ， 分别是 ， 上的动点， 为 轴上的动点，直接写出 的最小值为 ．
【分析】（1）在 中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）连接 交 于点 ，根据勾股定理求得 ，进而求得 ；
（3） 的轨迹是以 为圆心，半径是1的圆，故连接 ，求得 ，进而求得 的最小值；
（4）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，求出 的长，进而求得 得最小值．【解答】（1）证明：如图1，
，
，
，
；
（2）如图2，
连接 角半 于 ，则 最小，
在 中，
，
，
故答案是 ；
（3）如图3，连接 ，交 （半径是 是 ，
四边形 是菱形，
，
，
是等边三角形，
是 的中点，
，
，
；
故答案是 ；
（4）如图4，
作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 于点 ，交 轴于点 ，
连接 交 于 ，
，
，
， ，，
，
故答案是7．
