文档内容
专题3.1 图形的平移（知识讲解）
【学习目标】
1．理解平移的概念，了解图形的平移变换；
2．掌握并平移的要素：平移方向、平移距离
3．掌握图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，
4．应用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.
【要点梳理】
要点一、平移的定义
平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做
平移.
要点二、平移的基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行
且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。
特别说明：
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
(2)图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。
(3)多次连续平移相当于一次平移。
(5)平移是由方向和距离决定的。
(6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行(或
共线)且相等。
要点三、平移的要素
平移的要素:确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
要点四、作图
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、
移、连．
(1)定：确定平移的方向和距离；
(2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
(4)连：按原图形顺次连接对应点．
【典型例题】
类型一、平移定义
1．如图，点A，B，C，D，E，F都在网格纸的格点上，你能平移线段 ，使
得 与 重合吗？你能平移线段 ，使得 与 重合吗？【答案】都能，可以平移线段 ，使得 与 重合，但不能平移线段 ，使得
与 重合
【分析】根据平移的性质解决问题即可．
解：将线段AB向右平移2个单位，再向上平移一个单位可以与线段CD重合．
平移线段AB不可能与线段EF重合．
【点拨】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
举一反三：
【变式1】在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其形成过程的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形
的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
B.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意；
D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．【点拨】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，
学生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
【变式2】下列哪个图形是由图1平移得到的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解：A.不是由图1平移得到的，故错误；
B.是由图1平移得到的，故正确；
C.不是由图1平移得到的，故错误；
D.不是由图1平移得到的，故错误；
故选：B．
【点拨】考查平移的性质，平移前后，图形的大小和形状没有变化.
类型二、平移的性质
2．如图，在 中， ， ， ，将 沿BC方
向平移 到 ，AC与DE交于G点，则 的面积为______ ．【答案】
【分析】过点 作 于点 ，根据平移的性质求得 是等边三角形，
，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，过点 作 于点 ，
，
将 沿BC方向平移 到 ，
，
在 中，故答案为：
【点拨】本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形
的性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图， 是由 通过平移得到，且点 在同一条直线上，
如果 ， ．那么这次平移的距离是_________．
【答案】4
【分析】根据平移的性质得BE=CF，再利用BE+EC+CF=BF得到BE+6+BE=14，然
后解方程即可．
解：∵三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到，
∴BE=CF，
∵BE+EC+CF=BF，
∴BE+6+BE=14，
∴BE=4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个
新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中
的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
【变式2】线段 与 的位置关系如图1所示， ， 与 的交点为
O，且 ．分别将 和 平移到 ， 的位置（如图2）．
（1）求 的长和 的度数；
（2）求证： ．【答案】（1） ， ；（2）见解析．
【分析】（1）根据平移的性质，可得 和 平行且相等，从而得到 ，
，即可求解；
（2）连接 ，根据平移的性质，可得 和 平行且相等，从而得到
，再证明 是等边三角形，可得 ，即可求
证．
解：（1）因为 平移到 的位置，
所以 和 平行且相等，
所以 ， ，
又因为 ，
所以 ；
（2）连接 ，
因为 平移到 的位置，
所以 和 平行且相等，
所以在 中， ，
因为 ， ，
所以 ，
因为由（1）知 ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
所以 ．
【点拨】本题主要考查平移的性质，同时还要综合运用对顶角、平行线的性质，以及
等边三角形的判定与性质、三角形三边之间的关系进行推理论证，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．
类型三、平移作图3．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．
【分析】先连接AA′然后作AA′的平行线，利用平移性质分别确定A、B、C平移后
的对应点A′、B′、C′，然后再顺次连接即可．
【详解】
解：如图所示，
（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线 ，在 上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对
应点．
（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，
就得到平移后的三角形A′B′C′．
【点拨】本题主要考查了平移作图，根据题意确定A、B、C平移后的对应点A′、B′、
C′是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图所示的方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图
所示的平面直角坐标系.
（1）请写出△ABC各点的坐标A B C ；
（2）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得 ，在图中画出
，
（3）求△ABC 的面积【答案】（1） ；（2）见解析；（3）7
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可；
（2）分别将点 的横坐标和纵坐标都加2得到 ，并顺次连接 ，
则 即为所求
（3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求得△ABC 的面积
解：（1）根据平面直角坐标系可得
故答案为：
（2）如图所示，分别将点 的横坐标和纵坐标都加2得到 ，并顺次连接
，则 即为所求
（3） 的面积等于【点拨】本题考查了坐标与图形，平移作图，掌握平移的性质是解题的关键．
类型四、利用平移解决实际问题
4．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，下面三个图形
都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
①如图1，阴影部分为1米宽的小路，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草
地的面积为 ；
②如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
③如图3，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，
所走的路线（图中虚线）长为 ．
【答案】① 平方米；② 平方米；③ 米
【解析】
【分析】①结合图形，利用平移的性质求解；
②结合图形，利用平移的性质求解；
③结合图形，利用平移的性质求解．
解：①将小路往左平移，直到E、F与A、B重合，
则平移后的四边形 是一个矩形，并且 ， ，
则草地的面积为： （平方米）；
②将小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为： （平方米）；
③将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为： （米）．【点拨】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的
大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方
举一反三：
【变式】将直角梯形 平移得梯形 ，若 ，则图中
阴影部分的面积为_________平方单位．
【答案】36
【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD
的面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
解：根据平移的性质得S ABCD=S EFGH，
梯形 梯形
DC = HG = 10，MC= 2，MG = 4，
DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，
S = S ABCD-S EFMD
阴影 梯形 梯形
=S EFGH-S EFMD
梯形 梯形
=S HGMD
梯形
=
= ×(8+10)×4
= 36．
故答案为：36．
【点拨】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不
变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去梯形EFMD的
面积，恰好等于梯形EFGH的面积减去梯形EFMD的面积．
类型五、平面坐标系中的平移
5．在平面直角坐标系中，点 ， 中将线段 平移得到线段 ，
点 的对应点 在 轴负半轴上，连接 交 轴于点 ，当 时，则点 的坐标为______．
【答案】 或
【分析】如图，设N（0，m），则M（−1，m＋1），求出直线BM的解析式，可得
点H的坐标，分两种情形构建方程求解即可．
解：设N（0，m），则M（−1，m＋1），
设BM的解析式为y＝kx＋b，则有
，
解得 ，
∴ ，
如图，当H位于x轴上方时，
∵
∴ ，
解得： ；
如图：当H位于x轴下方时，∵
∴ ，
解得： ，
综上：点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形变化−平移，一次函数的性质等知识，解题的关键是理
解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，
且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（ ，﹣ ）为三角形ABC内部一点，且
与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____．【答案】（ ， ）
【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平
移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标．
解：由图可得，C（2，0），C'（0，3），
∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，
又∵点P（ ，﹣ ）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，
∴对应点P′的坐标为（ ﹣2，﹣ ＋3），即P'（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后
的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
【变式2】第一象限内有两点 ， ，将线段 平移，使平移后的
点 、 都在坐标轴上，则点 平移后的对应点的坐标是_________．
【答案】 或
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y
轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0-（n-2）=-n+2，
∴n-n+2=2，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，2）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0-m=-m，
∴m-4-m=-4，∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，2）或（-4，0）．
故答案为：（0，2）或（-4，0）．
【点拨】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与
图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上
移加，下移减．
类型六、平移的综合题（图形变换）
6．如图，将 水平向右平移得到 ， ， 两点的距离为1，
， ．根据题意完成下列各题：
（1） 和 的数量关系为__________； 和 的位置关系为___________；
（2）求 的度数；
（3） __________．
【答案】（1）AC=DF，AC∥DF；（2）∠1=110°；（3）4．
【分析】（1）根据平移前后对应线段平行且相等直接回答即可；
（2）平移前后对应角相等；
（3）用EC的长加上两个平移的距离即可．
解：（1）AC和DF的关系式为AC=DF，AC∥DF．
故答案为：AC=DF，AC∥DF；
（2）∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，
∴AB∥DE，
∵∠A=70°，
∴∠1=110°；
（3）BF=BE+CE+CF=1+2+1=4．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了平移的性质，正确得出对应角是解题关键．
举一反三：【变式1】如图，在 中， ， ，将 沿 方向平移得到 ，
且 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）求四边形 的周长．
【答案】(1)8；(2)31
【分析】（1）根据平移的性质可以得到 ，然后可以算出AD的长；
(2) 根据平移的性质和已知条件得出四边形 的各边边长，即可算出四边形
的周长．
解：（1）∵ 沿 方向平移得到 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ 沿 方向平移得到 ，
∴ ，
．
∴四边形 的周长 ．
【点拨】本题考查平移的性质和应用，熟练把握平移性质并算出平移距离是解题关键．
【变式2】平面直角坐标系中，已知A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（1，0）．
（1）求△ABC的面积；（提示：三角形ABC的面积可以看作一个长方形的面积减去
一些小三角形的面积）
（2）在x轴上找一点P，使△PAC的面积等于△ABC面积的2倍；
（3）将线段AB沿水平方向以每秒1个单位的速度平移至MN（A对应M、B对应
N），几秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等？【答案】（1）9
（2）P（ ， ）或( ， ）
（3）1或8秒
【分析】（1）由面积和差关系可求解．
（2）先求出AC解析式，可求点E坐标，由三角形面积公式可求解．
（3）由面积和差关系可求解．
解：（1）由题意做出辅助线可得：
∴
（2）由题意可得：∴
∴
∴P（ ， ）或( ，﹣ ）
（3）设 秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等，
∴
若向左移动，则M（-1-t，5），N（-3-t，1）
∴
解得
若向右移动，则M（-1+t，5），N（-3+t，1）(t＞3)
∴
解得
答：1秒或8秒后，△MNO的面积与△ABC面积相等．
【点拨】本题主要考查了坐标的平移和三角形面积的应用，运用等量代换，三角形的
面积建立等式是解题的关键．
