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专题 3.3 函数的奇偶性、周期性与对
称性
题型一 判断函数的奇偶性
题型二 利用奇偶性求函数值或参数值
题型三 利用奇偶性求解析式
题型四 函数周期性的应用
题型五 函数对称性的应用
题型六 单调性与奇偶性的综合问题
题型七 对称性、周期性与奇偶性的综合问题
题型一 判断函数的奇偶性
例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数 ， ，则大致图象如图
的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数 是（ ）A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增
的是（ ）
A． B． C． D．
练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是
严格增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 利用奇偶性求函数值或参数值
例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若 为奇函数，
则 （ ）
A． B．2 C． D．例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数 且
，则 的值为__________
练习6．（2022秋·高三课时练习） 为奇函数， 为偶函数，且
则 （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3
练习7．（2023·辽宁·校联考二模）“ ”是“函数 是奇函数”
的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
练习8．（2022秋·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数
是偶函数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
练习9．（2023·广西玉林·统考三模）函数 ，若 ，则
________．
练习10．（2023·上海金山·统考二模）已知 是定义域为 的奇函数，当 时，
，则 __________.
题型三 利用奇偶性求解析式
例5．（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数 则 __________．
例6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知 是定义域为R的奇函
数，当 时， ，则当 时， 的表达式为_________．练习11．（2023·安徽马鞍山·统考三模）函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是奇函数，函数 是偶函数．若
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则函数 的解析式为_________．
练习14．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）函数 为偶函数，当 时，
，则 时， ___________．
练习15．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知 是
定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)若方程 有两个实数解，求 的取值范围．
题型四 函数周期性的应用
例7．（2023·山西运城·统考三模）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例8．（2023·陕西商洛·统考三模）定义在R上的奇函数 满足 R，，且当 时， ，则 _________．
练习16．（2023春·江西·高三江西师大附中校考阶段练习）已知定义在 上的函数
满足 ，且当 时， ，则 的值为（
）
A．－3 B．3 C．－1 D．1
练习17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
练习19．（2023·广东·高三专题练习）已知 ，函数 都满足 ，
又 ，则 ______．
练习20．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数
满足 恒成立，且 ，则 的值为______．
题型五 函数对称性的应用
例9．（2023·湖北·统考二模）已知函数 图象的对称轴为 ，则 图象的对
称轴为（ ）
A． B．
C． D．例10．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数 满足： ，
且 .请写出符合条件的一个函数的解析式 ______.
练习21．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数 ，则 的图象
（ ）
A．关于直线 对称B．关于点 对称 C．关于直线 对称D．关于原点对称
练习22．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在 上的奇函数 满足
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2．
练习23．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数 满足 ，
若 与 图象的交点为 ，则
（ ）
A． B．0 C．4 D．8
练习24．（2021春·陕西汉中·高三统考期中）已知二次函数 ，满足
，且 ，则不等式 的解集为______．
练习25．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）写出一个非常数函数同时满足条件：①
，② . 则 ___________.
题型六 单调性与奇偶性的综合问题
例11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数 是
偶函数，当 时， 恒成立，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．例12．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）若函数 是定义在 上
的奇函数，当 时， ，则当 时，函数 的解析式为
_________；若函数 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数．则不等式
的解集为_________
练习26．（2023·广西·校联考模拟预测）下列函数既是奇函数又在 上是增函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
练习28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期末）若 是奇函数，且在
上是增函数，又 ，则 的解是（ ）
A． B． C． D．
练习29．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数 是定义在 上的
奇函数，当 时， ．
(1)求函数 的解析式．(2)若 ，求实数 的取值范围．
练习30．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数 是奇
函数．
(1)求 的值．
(2)若 时， 是 上的增函数，且 ，求 的取值范围．
题型七 对称性、周期性与奇偶性的综合问题
例13．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，满足 为奇
函数且 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．10
例14．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在 上的
函数 满足 ， 是偶函数， ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
练习31．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为偶函
数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
练习32．（2023·河南·校联考模拟预测）已知将函数 的图像向左平移1个单位后关于
轴对称，若 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
练习33．（2023春·安徽合肥·高三合肥市第八中学校考期中）若函数 的定义域为 ，
是偶函数，且 ．则下列说法正确的个数为（ ）① 的一个周期为2；
② ；
③ 的一条对称轴为 ；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
练习34．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为R， 为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
练习35．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知 上的偶函数 在区间
上单调递增，且恒有 成立，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数 B． 的图象关于点 对称
C．函数 在 处取得最小值 D．函数 没有最大值
