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专题 3.1 概率的进一步认识
用树状图或表格求概率
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的
方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合
事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是
一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象
树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
1．下列说法错误的是
A．“从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件
B．如果明天降水的概率是 ，那么明天有半天都在降雨
C．“随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为13”是不可能事件
D．随机事件发生的概率介于0和1之间
【解答】解： 、“从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件，故选项
不符合题意；
、如果明天降水的概率是 ，那么明天不一定有半天都在降雨，故选项 符合题意；
、画树状图如下：
共有36种等可能的结果，其中朝上面的点数之和为13的结果不存在，
“随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为13”是不可能事件，故选项 不符合题意；
、随机事件发生的概率介于0和1之间，故选项 不符合题意；
故选： ．
2．投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的
概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现3点”；③投掷前
默念几次“出现4点”，投掷结果“出现4点”的可能性就会增大；④连续投掷5次，出
现点数之和不可能为31．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①根据题意，投掷一枚普通的正方体骰子，出现“点数为奇数”的概率与出
现“点数为偶数”的概率均为 ，故①正确；
②投掷一枚普通的正方体骰子，“出现3点”是随机事件，故②错误；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果“出现4点”的可能性是随机事件，故③错误；
④连续投掷5次，出现点数之和不可能为31，故④正确．
正确的有2个，
故选： ．
3．下列说法中不正确的是
A．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关
B．随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为
C．任意画一个三角形内角和为 是随机事件
D．连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是
【解答】解： 、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率与抛硬币的次数无关，故选项
不符合题意；
、画树状图如图：共有4个等可能的结果，头胎、二胎都是男孩的结果有1个，
随机选择一户二孩家庭，头胎、二胎都是男孩的概率为 ，故选项 不符合题意；
、任意画一个三角形内角和为 ，不是 ，是确定性事件，不是随机事件，故选项
符合题意；
、画树状图如图：
共有36个等可能的结果，前后点数之和为偶数的结果有18个，
连续投两次骰子，前后点数之和为偶数的概率是 ，故选项 不符合题意；
故选： ．
4．下列说法正确的是
A．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件
B．抛掷一枚均匀的硬币，10次都是正面朝上是随机事件
C．“明天下雨的概率是 ”就是说“明天有 的时间都在下雨”
D．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出一个球是红球的概率是
【解答】解： 、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项错误；
、抛掷一枚均匀的硬币，10次都是正面朝上是随机事件，故本选项正确；
、“明天下雨的概率是 ”就是说“明天有 的可能性在下雨”，故本选项错误；
、从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出一个球是红球的概率是 ，故本选项错误；
故选： ．
5．有两个袋子，装着形状、大小相同的小球，其中甲袋有红球2个，白球1个，乙袋有红
球1个，白球1个，从两个袋中各随机摸出一个球，两个都是红球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画树状图如下：共6种等可能的情况数，其中两个都是红球的有2种，
则两个都是红球的概率是 ．
故选： ．
6．两个不透明的塑料袋中，分别装着标有8，0，3和1，9，2的只有数字不同的3个小球，
夏夏和鑫鑫约定，他们分别从其中一个袋中摸出一个小球，若数字之和为奇数，鑫鑫胜；
若数字之和为偶数，则夏夏胜．则夏夏获胜的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：分别从两个袋中各随机摸出一个小球，两球数字之和所有可能出现的结果如
下：
共有9种可能出现的结果，其中两个数字之和为奇数的有5种，是偶数的4种，
所以鑫鑫胜，即和为奇数的概率为 ；夏夏胜，即和为偶数的概率为 ，
故选： ．
7．甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为 1，2，3，4的四
个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球，记下标号．若两个小球的
标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数，则乙获胜．乙获胜的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结果有10种，
乙获胜的概率 ，
故选： ．
8．如图，电路图上有三个开关 ， ， 和两个小灯泡 ， ，随机闭合开关 ， ，
中的两个，能让灯泡 发光的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡 发光的结果数为2，
能让灯泡 发光的概率为： ．
故选： ．
9．如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是A． B． C． D．1
【解答】解：把 、 、 分别记为 、 、 ，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即 、
、 、 ，
同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ，
故选： ．
10．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中
下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射
千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下
驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字
标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和
田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
A． B． C． D．【解答】解：画树状图如图所示，
从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有9种等可能的情况，其中田忌能赢有3种情况，
．
故选： ．
11．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其
中标有数字“1”的扇形的圆心角为 ．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个
扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向
两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为
止）．若连续转动转盘两次，转出的数字之积为正偶数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解： 数字“ ”的扇形的圆心角为 ，
数字“3”的扇形的圆心角为 ，
两个“2”总的扇形的圆心角也为 ，
根据题意画图如下：
1 3
1 1 3
4
3 3 9
共有9种等可能的情况数，其中两次分别转出的数字之积正偶数的有1种，
则转出的数字之积为正偶数的的概率是 ；故选： ．
12．小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4个分别标有数字1、2、3、4的小
球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球数字记为 ，然后将小球放回．
再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为 ．如果 ， 满足 ，就称小林、小华
两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有16种可能性，其中 的可能性有10种，
小林、小华两人“心有灵犀”的概率是 ，
故选： ．
13．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大
小均相同的15张卡片，
其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为 2，3，4，6，两人各
随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”
“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分
胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出“剪子”还是先摸出“布”获胜的可能性更大？
【解答】解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，
故甲摸出“石头”的概率为 ；（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片
“锤子”或“布”才能获胜，
这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为 ；
（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出，
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子” 的概率为 ；
若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子” 的概率为 ；
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布” 的概率为 ；
若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头” 的概率为 ．
故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．
14．某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检
测点 、 、 ，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测
点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为 ．
15．某学校开设了四门校本课程供学生选择： ．趣味数学； ．快乐阅读； ．魔法英
语； ．硬笔书法．
（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程 的概率是
；
（2）该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小压在选课程的过程中，若第一次都
选了课程 ，那么他俩第二次同时选择课程 或课程 的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【解答】解：（1）共有4门课程，每门课程被选中的可能性是均等的，所以随机选中一门
课程是课程 的概率为 ，
故答案为： ；
（2）两人随机选中一门课程，所有可能出现的结果如下：
共有16种可能出现的结果，其中两人同时选择课程 或课程 的有4种，
所以两人第二次同时选择课程 或课程 的概率为 ．
16．在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴
领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲
一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目
制成编号为 ， ， 的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．
现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片 的概率为 ；
（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中
随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张
卡片分别用它们的编号 ， ， 表示）
【解答】解：（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片 的概率为 ，故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，
这两个班抽到不同卡片的概率为 ．
17．为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委
随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进
行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有 ， ， ， 四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参
加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到 ， 两人同时参赛的概率．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是： ，
则圆心角 ，
故答案为：50，144；（2）成绩优秀的人数为： （人 ，
补全条形统计图如下：
（3） （人 ，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到 ， 两人同时参赛的结果有2种，
恰好抽到 ， 两人同时参赛的概率为 ．
18．某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、
民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生
进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整
的统计图．根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有 《出师表》、 《观沧海》、 《行路
难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方
法，求甲乙两人至少有一人抽到 《出师表》的概率．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为： （人 ；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为： （人 ；
补全条形图如下：（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为： ；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为： （人 ；
（5）列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到 有5种，
所以两人至少有一人抽到 《出师表》的概率为 ．
19．为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其
中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从
七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩
均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 7中位数 8
优秀率
（1）填空： ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请
说明理由（写出一条即可）；
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表
法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解答】解：（1）由众数的定义得： ，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分 ，
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3） （人 ，
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为 ，八年级获得10分的学生记为 ，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为 ．20．某校以“我最喜爱的冰雪运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项
目有短道速滑，花样滑冰，速度滑冰，冰壶以及其他项目（每个同学必须选择且只能选择
一个项目），并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次调查共抽取了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有1200名学生，请估计最喜欢冰壶的有多少人？
（4）在学校举办的“共筑冰雪中国梦”的主题演讲比赛中，小明获得了一等奖，他可以在
包装完全相同的 ， ， ， 四枚冬奥纪念章中选取两枚，请用列表或画树状图法求出
小明选到的纪念章恰好是“ ”和“ ”图案的概率．
【解答】解：（1） （人 ，
答：本次调查共抽取了120名同学．
（2）速度滑冰的人数为： （人 ，
补全条形统计图如图所示：（3） （人 ，
答：估计最喜欢冰壶的有180人．
（4）列表如下：
一共产生12种结果，每种结果发生的可能性相同，其中恰好选中 和 的结果有2种，分
别是 ， ，
．用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅
度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个
固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的
可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
21．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次 10 20 50 100 200 500 1000
数
击中靶心 9 16 41 88 168 429 861
的次数
击中靶心 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【解答】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，
故选： ．
22．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率
最有可能接近的数值为
A．0.83 B．0.52 C．1.50 D．1.03
【解答】解：当抛掷的次数很大时，正面朝上的频率最有可能接近正面向上的概率 ，
故选： ．
23．某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽 100 200 400 600 800 1000 1200
毛球数
优等品的 93 192 380 561 752 941 1128
频数
优等品的 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940频率
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，
正确的是
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在 的范围内
【解答】解： ．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在 0.94附近摆动，
此表述正确，符合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取一只，优等品的可能性较大，但不确定其一定是优等品，原
表述错误，不符合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品约有 （只 ，原表述不准确，不
符合题意；
．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940附近，原表述错误，不符合
题意；
故选： ．
24．小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图
则符合这一结果的实验最有可能的是
A．抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上
B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”
【解答】解： ．抛掷一枚硬币，落地后硬币正面朝上的概率为 ，不符合题意；
．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
，不符合题意；
．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率为 ，符合题意；
．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”的概率为 ，不符
合题意；
故选： ．
25．北京2022年冬奥会的吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会的吉祥物为“雪容融”，体现了
人与自然和谐共生，深受青少年的喜爱．现有两张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除
正面图案不同外，其余均相同，其中一张正面印有“冰墩墩”图案，另一张正面印有“雪
容融”图案，将两张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，小颖和同学抽取卡片获
得的数据如下表：
抽取卡片的次 100 200 300 400 500
数 次
抽到冰墩墩的 53 98 156 201 248
次数 次
若抽取卡片的次数为1000，则“抽到冰墩墩”的频数最接近
A．250 B．500 C．700 D．850
【解答】解：由表格知，随着抽取次数的增加，抽到冰墩墩的概率约为 ，
所以当抽取卡片的次数为1000时，“抽到冰墩墩”的频数最接近 ，
故选： ．
26．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据
表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为
随机抽取的零件个数 20 50 100 500 1000合格的零件个数 18 46 91 450 900
0.9 0.92 0.91 0.9 0.9
零件的合格率
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【解答】解： 随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选： ．
27．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植的成活情况进行
了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是
A．随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近
B．这种树苗成活的频率稳定在0.8，成活概率的估计值为0.8
C．若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活 万棵
D．如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约15万棵
【解答】解： 、随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近，
正确，不符合题意；
、这种树苗成活的频率稳定在0.8，成活概率的估计值为0.8，正确，不符合题意；
、若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活： 万棵，故
本选项错误，符合题意；
、如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约： 万棵，
正确，不符合题意；
故选： ．
28．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试
验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【解答】解：设袋子中有 个黑球，
根据题意得 ，
解得： ，
故选： ．
29．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成
活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
数
成活数 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
量
成活频 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
率
估计树苗移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）
A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．无法计算
【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故选： ．
30．下列判断错误的是
A．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
B．一组数据2，5，3，5，6，8的众数和中位数都是5
C．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，那么甲组队员的身高
比较整齐
D．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多
次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
【解答】解： ．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，此选项正确，不符合
题意；
．一组数据2，3，5，5，6，8的众数和中位数都是5，此选项正确，不符合题意；．甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 ， ，那么乙组队员的身高比
较整齐，此选项错误，符合题意；
．一个不透明的袋子里装有红球、蓝球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次
试验发现，摸出红球的频率稳定在 0.25左右，则袋子中红球的个数可能是
（个 ，此选项错误，不符合题意；
故选： ．
31．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班
学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋
中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是这次活
动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的 63 123 247 365 484 606
频数
摸到白球的 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403
频率
（1）按表格数据格式，表中的 ；
（2）请估计：当次数 很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到 ；
（3）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只．
【解答】解：（1） ；
故答案为：0.404；
（2）当次数 很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，
故答案为：0.4；
（3）设红球有 个，根据题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
故答案为：15．
32．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位： ，并绘制了如两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1） ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于 的概率．
【解答】解：（1）样本容量为 ，
组人数为 （人 ，
则 ，即 ，
故答案为：30；
（2）补全直方图如下：（3）估计这名学生身高低于 的概率 ．
33．一个袋中装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，从袋中随
机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 1000 2000
摸到红球的次数 59 121 174 295 600 1202
0.605 0.58 0.59 0.60 0.601
摸到红球的频率
（1）上表中的 ；
（2）根据上表，从袋中随机摸出一个球，是红球的概率大约为 （精确到 ；
（3）如果袋中共有30个球，请估计袋中红球的个数．
【解答】解：（1） ，
故答案为：0.59；
（2）从袋中随机摸出一个球，是红球的概率大约为0.6；
故答案为：0.6；
（3）根据题意得： （个 ，
答：估计袋中红球的个数有18个．
34．瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品
也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象
由于烧制结果不是等可能的，所以我们常用合格品的频率来估计合格品的概率．
某瓷砖厂对最近出炉的一批瓷砖进行了质量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
0.950 0.960 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961
合格品频率
（1）计算： ； ．（结果保留三位小数）
（2）根据上表，在这批瓷砖中任取一个，它为合格品的概率大约是多少？（结果保留两位
小数）【解答】解：（1） ；
；
故答案为：0.957；0.962；
（2）观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 时，合格品概率 稳定在0.962附近，
所以可取 作为该型号的合格率．
35．在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习
小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他
差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸
球试验获得的统计数据：
摸球的次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到黑球的频数 64 123 367 486 600
摸到黑球的频率 0.427 0.410 0.415 0.408 0.405
（1）表中的 ； ；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是 ；（精确到
（3）袋中白球个数的估计值为 ．
【解答】解：（1） ， ，
故答案为：249，0.4；
（2）当次数 很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
（3）设白球有 个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
估算这个不透明的口袋中白球有15个．
故答案为：15．
36．如图，某商场有一个可以自由转动的圆形转盘．规定：顾客购物 100元以上可以获得
一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701
0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
落在“铅笔”的频率
（1）转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为 ；（结果保留小数点后一位）
（2）经统计该商场每天约有5000名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔单价和为4
元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是8000元，请计算该商场每支铅笔和每瓶饮料的费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在4000元左右，则转盘上
“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度．
【解答】解：（1）（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7．
故答案为：0.7；
（2）设该商场每支铅笔 元，每瓶饮料 元，根据题意得：
，
解得： ，
则 （元 ，
答：该商场每支铅笔1元，每瓶饮料3元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度，
则 ，
解得： ，
所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 ．
37．某数学小组在同一条件下做抛掷一枚质量分布均勾的硬币试验，试验数据如表：抛掷次数 50 100 200 300 500 800 1000 1500
“正面向上”的频 26 53 94 142 242 395 498 753
数
“正面向上”的频 0.520 0.530 0.470 0.473 0.484 0.494 0.498 0.502
率
（1）根据如表估计抛掷该硬币“正面向上”的概率约为 （保留两位小数）．
（2）小明在同一条件下抛掷一枚质量分布均匀的硬币两次，请用画树状图（或列表）的方
法，求两次抛掷的硬币都“正面向上”的概率．
【解答】解：（1）观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在
常数0.50附近，
所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.50，
故答案为：0.50；
（2）画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次“正面向上”的结果有1种，
（两次正面向上） ．
38．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000 1500
“射中九 15 49 71 137 264 534 666 1001
环以上”
的频数
“射中九 0.750 0.613 0.710 0.685 0.660 0.668 0.666 0.667
环以上”
的频率
（1）根据上表估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为 （结果
保留两位小数）．
（2）小明想了解该运动员连续两次射击都“射中九环以上”的概率，他将这个问题进行了
简化，制作了三张不透明卡片，其中两张卡片的正面写有“中”，第三张卡片的正面写有
“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机
抽取一张，记录文字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率．
【解答】解： 从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.67附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.67．
故答案为：0.67；
（2）根据题意列表如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次抽取的卡片上都写有“未中”的有1种，
则两次抽取的卡片上都写有“未中”的概率是 ．
39．某家庭计划购买1台热销的净水器，使用寿命为十年，该款净水器的过滤由滤芯来实
现，在使用过程中，滤芯需要不定期更换，在购进净水器时，可以额外购买滤芯作为备件
每个40元．在净水器使用期间，如果备件不足再购买，则每个需要100元．商家收集整理
了100台这款净水器在十年使用期内更换滤芯的个数，得到如图所示的条形图供客户参考．
记 表示1台净水器在十年使用期内需更换的滤芯数， 表示1台净水器在购买滤芯上所
需的费用．（单位：元）
（1）以这100位客户所购买的净水器在十年使用期内更换滤芯的个数为样本，估计一台净
水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于10的概率；
（2）假设这100台净水器在购买的同时每台都购买9个滤芯或每台都购买10个滤芯，分
别计算这100台净水器在购买滤芯上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台净
水器的同时应购买9个还是10个滤芯？【解答】解：（1）由图可知，再100位客户中，10位客户更换滤芯的个数是10个，
在十年使用期内更换滤芯的个数大于10的概率： ，
即估计一台净水器在十年使用期内更换滤芯的个数大于10的概率为 ；
（2）若每台净水器在购买同时都购买9个滤芯，则这100台净水器中有70台在购买滤芯
上的费用为 ，20台的费用为 ，10台的费用为 ，
这100台机器再购买滤芯上所需费用的平均数为 ，
若每台净水器在购买同时都购买10个滤芯，则这100台净水器中有90台在购买滤芯上的
费用为 ，
10台的费用为 ，
这100台机器在购买滤芯上所需费用的平均数为 ，
比较两个平均数可知，购买1台净水器同时应购买9个滤芯．
40．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸
球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复
上述过程，下表是试验中的部分统计数据：
摸球的次数 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000
摸到白球的次数 4 7 10 28 45 97 127 252 498
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249（1）摸到白球的概率的估计值是多少？请说明理由．（精确到
（2）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是
（填序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为 1到 ，落地时面朝上点数“小于
3”．
【解答】解：（1）摸到白球的概率的估计值是0.25；
理由：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值；
（2）①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是 ．
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是 ．
③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到 ，落地时面朝上点数“小于3”
的概率是 ．
则符合（1）中结果的试验最有可能的是②．
故答案为：②．
1． 的对角线 、 相交于 ，给出四个条件① ，② ，③
，④ ．从所给的四个条件中任意选择两个，能判定 是正方形的
概率是A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中能判定 是正方形的有①②、②①、①③、
③①、③④、④③这6种结果，
能判定 是正方形的概率是 ，
故选： ．
2．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机
摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在 0.2，则摸
到绿球的概率约为
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【解答】解：大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率，
经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，
摸到绿球的概率约为0.2，
故选： ．
3．太阳中学初二年级举行羽毛球比赛，已知打入半决赛的四名选手分别是攀攀、欢欢、嘉
嘉和小皮，现需从四名选手中随机选两名打一场表演赛，则攀攀被选中的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：攀攀、欢欢、嘉嘉和小皮分别用甲、乙、丙、丁表示，
画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选中的两名同学恰好同班的有4种结果，
所以选中的两名同学恰好同班的概率为 ．
故选： ．
4．某学校在手抄报活动中，济济和洋洋分别从抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题中
随机选择一个参加，两人恰好选择同一专题的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：抗击疫情，缅怀先烈，预防溺水三个专题分别用 、 、 表示，
根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一专题的结果为3种，
则两人恰好选择同一专题的概率是 ；
故选： ．
5．甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母 和 ；乙口袋中装有2个相同的小
球，它们分别写有字母 ， ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母 和 ．
从三个口袋中各随机取出1个小球．（本题中， ， 是元音字母； ， ， ， 是辅
音字母），3个小球上恰好有1个元音字母的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：共有8种等可能的结果，其中3个小球上恰好有1个元音字母的有4种，
则3个小球上恰好有1个元音字母的概率是 ．
故选： ．
6．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再
把这四张小图片均匀混合在一起．从四张小图片中随机取一张，接着再随机摸取一张，则
这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：将四张小图片分别记作 、 、 、 ，
列表如下：
所有等可能的情况有12种；其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有4种，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为 ，
故选： ．
7．某鱼塘里养了若干条草鱼、100条鲤鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕
捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．可估计该鱼塘中鱼的总数量为
A．300 B．200 C．150 D．250【解答】解： 通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
摸到鲤鱼和罗非鱼的频率约为0.5，
鱼塘中鱼的总数量为 （条 ，
故选： ．
8．一个口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到
红球的频率为 ，则估计红球的个数约为
A．35个 B．60个 C．70个 D．130个
【解答】解： 摸到红球的频率依次是 ，
估计口袋中红色球的个数 （个 ．
故选： ．
9．若 是从 、0、1、3中随机取的一个数， 是从 、0、2022中随机取的一个数，则
点 在坐标轴上的概率是 ．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中点 在坐标轴上的有6种，
则点 在坐标轴上的概率是 ；
故答案为： ．
10．如图所示的转盘，被分为6个面积相等的扇形，分别标有数字2、3、4、5．任意转动
转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域的数字（指针指向区域分界线时，重新转动）
则两次所指数字之和为7的倍数的概率是 ．【解答】解：列表如下：
2 3 3 4 5 5
2
3
3
4
5
5
存在36种可能性，其中两次所指数字之和为7的倍数有 ， ， ， ，
， ， ， 共8种可能性，
故两次所指数字之和为7的倍数的概率是 ，
故答案为： ．
11．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是
．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种，
一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率为 ，故答案为： ．
12．某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中
心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中 15 34 88 184 356 910
心区域”的
频数
“投掷到中 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
心区域”的
频率
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为 0.9 ．（结果保
留小数点后一位）
【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出将冰壶“投掷到中心
区域”的概率为0.9，
故答案为：0.9．
13．小明和小丽所在小区的管理人员为了方便业主合理规范摆放机动车，在小区内部道路
的一侧按照标准画出了一些停车位．
（1）如图1，小明家楼下的道路上有五个空停车位，标号分别为1，2，3，4，5．如果有
一辆机动车要随机停在这五个停车位中的一个里边，求该机动车停在“标号是奇数“停车
位的概率；
（2）如图2，小丽家楼下的道路上有四个空停车位，标号分别为1，2，3，4，如果有两辆
机动车要随机停在这四个停车位中的两个里边，请用列表或画树状图的方法求出这两辆机
动车停在“标号是个奇数和个偶数”停车位的概率．
【解答】解：（1）该机动车停在“标号是奇数“停车位的概率为 ；
（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中这两辆机动车停在“标号是个奇数和个偶数”停车位的结果
有8种，
这两辆机动车停在“标号是个奇数和个偶数”停车位的概率为 ．
14．由中宣部建设的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社
会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对
党员的某天学习成绩进行了整理，分成5个小组 表示成绩，单位：分，且 ，
根据学习积分绘制出部分频数分布表，其中第 2、第5两组测试成绩人数之比为 ，请结
合如表中相关数据回答问题：
（1）填空： 4 ， ；
（2）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，现在从这组中
随机选取2人介绍经验，请用列表、画树状图等方法，求出甲、乙两人同时被选中的概率．
学习积分频数分布表
组别 成绩 分 频数 频率
第1组 5
第2组
第3组 15 0.30
第4组 10
第5组
【解答】解：（1）样本容量为： ，
第2、第5两组测试成绩人数之和为： ，
第2、第5两组测试成绩人数之比为 ，
第2、第5两组测试成绩人数分别为16人、4人，
， ，
故答案为：4，0.08；
（2） 甲、乙两位党员的学习积分分别为63分、67分，甲、乙两人在第5组，第5组共有4人，把其余2人记为丙，丁，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，甲、乙两人同时被选中的结果有2种，
甲、乙两人同时被选中的概率为 ．
15．2021年12月9日，“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王
亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！某校为了培
养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校800名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从
中随机抽取了 名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为 分）分成四组，
组： ； 组： ； 组： ； 组： ，并得到如下
不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中，表示“ ”的扇形圆心角的度数是 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若规定学生竞赛成绩 为优秀，则估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是 ．
（4）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀 的甲，乙，丙，丁四名同学中随机
抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概
率是多少？
【解答】解：（1）被调查的总人数为 （人 ，则扇形统计图中，表示“ ”的扇形圆心角的度数是 ，
故答案为： ；
（2） 组人数为 （人 ， 组人数为 （人 ，
补全频数分布直方图如下：
（3）估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为： （人 ，
故答案为：480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
恰好抽到甲、乙两名同学的概率为 ．
