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专题 3.1 最值问题
一．选择题（共9小题）
1．如图， 是等边三角形 的 边上的高，点 是 上的一个动点（点 不与点
重合），连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，若
，则线段 长度的最小值是
A．3 B． C．1.5 D．1
【解答】解：如图，连接 ，
是等边三角形 的 边上的高， ，
， ，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
点 在射线 上运动，
当 时， 有最小值，
此时， ， ，
，
线段 长度的最小值是1.5，
故选： ．
2．如图，在 中， ， ，直线 于点 ， 是 上
的一个动点，连接 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则
在点 的运动过程中， 的最小值是
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【解答】解：取线段 的中点 ，连接 ，如图所示．
， ，
为等边三角形，且 为 的对称轴，
， ，
，
．
在 和 中，，
，
．
当 时， 最小，
点 为 的中点，
此时 ．
故选： ．
3．如图， 是等边三角形， 是 的中点， 是直线 上一动点，线段 绕点
逆时针旋转 ，得到线段 ，当 点运动时，若 的最小值为 ，那么等边
三角形 的边长为
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：如图，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，是等边三角形， 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在与 成 的直线上运动，
当 时， 有最小值，
，
，
，
，
故选： ．
4．如图，线段 绕点 旋转，线段 的位置保持不变，在 的上方作等边 ，若
， ，则在线段 旋转过程中，线段 的最大值是A． B．4 C． D．5
【解答】解：如图，以 为边，在 的左侧作等边 ，连接 ，
， 是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
当点 在 的延长线上时， 的最大值 ，
的最大值为4，
故选： ．
5．如图，在 中， ， ， ，点 是 上的动点，连接
，以 为边作等边 ，连接 ，则点 在运动过程中，线段 长度的最小值
是A．2 B．4 C． D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．则 ，
， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
当 时， 的值最小，
在 中， ， ，，
的最小值为2，
故选： ．
6．如图，边长为5的等边三角形 中， 是高 所在直线上的一个动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ．则在点 运动过程中，线段
长度的最小值是
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
旋转角为 ，
，
又 ，
，
是等边 的对称轴，
，
，
又 旋转到 ，
，
在 和 中，
，，
，
根据垂线段最短， 时， 最短，即 最短，
此时 ， ，
，
，
故选： ．
7．如图，已知 ， ， ，点 为 内一动点，连接 、 、
，将 绕着点 逆时针方向旋转 得到 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 ， ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，由旋转可得：
， ， ，
是等边三角形，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
在 中， ，
的最小值为： ，
故选： ．
8．如图，在 中， ， ， ，将 绕顶点 顺时针旋转得
到△ ，取 的中点 ， 的中点 ，则在旋转过程中，线段 的最大值为A．1 B．0.5 C．2 D．1.5
【解答】解： ， ， ，
， ，
由旋转得， ， ， ，
点 是 的中点，
，
△ 是等边三角形，
，
，
当点 、 、 三点共线时， 最大， ，
点 是 的中点， ，
，
．
故选： ．
9．如图，在 中， ， ， ， 为 边上一点， ，
为 边上一动点，连接 ，以 为边并在 的右侧作等边 ，连接 ，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：以 为边，在 右侧作等边三角形 ，连接 ，如图：
和 是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
，
，
当 最小时， 最小，此时 ，如图：
过 作 于 ，
， ，
，
， ，
而 ，
四边形 是矩形，，
而 ，
最小值是2．
故选： ．
二．填空题（共6小题）
10．如图， 是等边三角形，直线 于点 ，点 在直线 上一动点，以
为边向右作等边三角形 ，连结 ，已知 ，则 的最小值是 6 ．
【解答】解：连接 ，
和 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
过点 作 于点 ，
点 在直线 上一动点，
点 与点 重合时， 有最小值，
，
，
，
，
的最小值为6．
故答案为：6．
11．数学兴趣活动课上，小方将等腰 的底边 与直线 重合，问：（1）已知 ， ，点 在 边所在的直线 上移动，小方发现
的最小值是 3 ；
（2）在直角 中， ， ， ，点 是 边上的动点，连接
，将线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，线段 的最小值是 ．
【解答】解：（1）如图1中，作 于 ．
， ，
，
，
根据垂线段最短可知，当 与 重合时， 的值最小，最小值为10．
故答案为：10．
（2）如图（2），在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ．
， ，
，
，
，
， ，，
，
时， 的值最小，最小值为5，
的最小值为5．
故答案为：5．
12．如图， 是等边三角形， 是 的中点， 是直线 上一动点，线段 绕点
逆时针旋转 ，得到线段 ，当点 运动时，若 的最小值为 ，则 的
面积为 ．
【解答】解：如图，连接 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
是等边三角形， 是 的中点，
， ， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
点 在与 成 的直线上运动，
当 时， 有最小值，
，
，
，
，
的面积为 ，
故答案为： ．
13．如图，在 中， ， ， ，点 是边 上的动点，连接
，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最小值
3 ．
【解答】解：延长 到点 ，使 ，， ，
垂直平分 ， ，
，
是等边三角形，
，
线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
，
当 时， 最小，
，
故答案为：3．
14．如图，在 中， ， ， ， 是 边上一点，线段 绕
点 顺时针旋转 得到 ，连结 ，若 是 的中点，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接 ，作 于点 ，作 于点 ，
，
四边形 为矩形，， ，
绕点 顺时针旋转 得到 ，
是等腰直角三角形，
是 的中点，
， ，
，
，
，
，
平分 ，点 在射线 上运动，
当 时， 最短，
，
，
．
故答案为： ．
15．如图，已知 中， ， ，斜边 ，点 是三角形内
的一动点，则 的最小值是 ．【解答】解：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，过点
作 的垂线，交 的延长线于 ，
， ， ，
， ，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
，
， ， ， ， ，
是等边三角形，
，
，
当点 ，点 ，点 ，点 共线时， 有最小值，最小值为 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
的最小值是 ，
故答案为： ．
