文档内容
3.1 图形的平移
典例体系 （本专题共 4 6 题 3 1 页）
一、知识点
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等
二、考点点拨与训练
考点1：生活中的平移现象
典例：．（2020·北京东城区·七年级期末）如图所示的车标图案，其中可以看作由“基本图案”经过平移
得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．
故选B．
方法或规律点拨本题考查生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，等边 的顶点 ， ，规定把等边
“先沿1．（2020·浙江杭州市·七年级期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．汽车在平直的马路上行驶 B．吹肥皂泡时小气泡变成大气泡
C．铅球被抛出 D．红旗随风飘扬
【答案】A
【详解】解：A、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故A选项符合；
B、吹肥皂泡时小气泡变成大气泡，不属于平移，故B选项不符合；
C、铅球被抛出是旋转与平移组合，故C选项不符合；
D、随风摆动的红旗，不属于平移，故D选项不符合．
故选：A．
2．（2019·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）下列图中的“笑脸”，由如图平移得到的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、B、C都是由旋转得到的，D是由平移得到的．
故选：D．
3．（2020·贵州安顺市·七年级期末）下列运动中，属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中，小气泡上升成为大气泡B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．随手抛出的彩球运动 D．随风飘动的风筝在空中的运动
【答案】B
【详解】
解：A、气泡在上升的过程中变大，不属于平移；
B、急刹车时汽车在地面上的滑动属于平移；
C、随手抛出的彩球运动既发生了平移，也发生了旋转，不属于平移；
D、随风飘动的树叶在空中的运动，既发生了平移，也发生了旋转．
故选B．
4．（2021·辽宁营口市·七年级期末）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓
意．图1是一沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图1经过平移得到的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故选：D．
5．（2020·重庆市渝北中学校七年级月考）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中
行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘．上架设小桥，若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，
则小桥总长为(矩形即长方形) ( )
A．280m B．140m C．260m D．130m
【答案】B
【详解】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：280÷2=140（m）．
故选：B．
6．（2020·江苏泰州市·七年级期末）下列现象属于数学中的平移的是（ ）
A．树叶从树上随风飘落 B．升降电梯由一楼升到顶楼
C．汽车方向盘的转动 D．“神舟”号卫星绕地球运动
【答案】B
【详解】A.树叶从树上随风飘落，不属于平移；
B.升降电梯由一楼升到顶楼属于平移；
C.汽车方向盘的转动属于旋转；D. “神舟”号卫星绕地球运动属于旋转；
故选B．
7．（2019·浙江杭州市·七年级开学考试）下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是____．
（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）汽车玻璃上雨刷的运
动；（5）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．
【答案】（2）（5）
【详解】
解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；
（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；
（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；
（4）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；
（5）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．
故可以看成平移的是（2）（5）．
故答案为：（2）（5）．
8．（2020·黑龙江佳木斯市·七年级期末）在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送
带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动，属于平移现
象的有__（只填序号）
【答案】①②③
【详解】
解：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；是平移运动；
②传送带上，瓶装饮料的移动；是平移运动；
③在笔直的公路上行驶的汽车；是平移运动；
④随风摆动的旗帜；不是平移运动；
⑤钟摆的摆动，不是平移运动；
∴属于平移现象的有：①②③；
故答案为：①②③．
9．（2020·江苏宿迁市·七年级期末）下列现象：①升国旗；②荡秋千；③手拉抽屉，属于平移的是
________（填序号）
【答案】①③
【详解】解：①升国旗是平移；②荡秋，运动过程中改变了方向，不符合平移的性质；③手拉抽屉是平移；
故答案为：①③．
考点2：平面直角坐标系中的平移
典例：（2020·浙江杭州市·九年级期末）在平面直角坐标系中，有 ， 两点．若点A关于y
轴的对称点为点C，点B向左平移6个单位到点D．（1）分别写出点C，点D的坐标；
（2）一次函数图象经过A，D两点，求一次函数表达式．
【答案】（1）C（-2，3），D（-4，-1）；（2）
【详解】解：（1）∵A、B的坐标分别为：A（2，3），B（2，-1），
点C与点A关于y轴对称，故C为（-2，3），
将点B向左平移6个单位到点D，则D为（-4，-1）．
（2）设一次函数表达式为y=kx+b，将A（2，3）和D（-4，-1）代入得：
，解得 ，
故一次函数表达式为 ．
方法或规律点拨
本题考查点的对称和平移及用待定系数法求一次函数解析式，在解题中要明确点关于坐标轴对称及平面内
点平移的规律，待定系数法求函数解析式为函数问题基本解题方法，因此要理解透彻．
巩固练习
1．（2021·江苏南京市·八年级期末）如图，等边 的顶点 ， ，规定把等边
“先沿 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后， 顶点C的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵△ABC是等边三角形AB=3-1=2∴点C到x轴的距离为1+ ，横坐标为2
∴C(2， )
由题意可得:第1次变换后点C的坐标变为(2-1， )，即(1， )，
第2次变换后点C的坐标变为(2-2， )，即(0， )
第3次变换后点C的坐标变为(2-3， )，即(-1， )
第n次变换后点C的坐标变为(2-n， )(n为奇数)或(2-n， )(n为偶数)，
∴连续经过2021次变换后，等边 的顶点 的坐标为(-2019， )，
故选：D．
2．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）点 向右平移5个单位后所得到的点与点M关于y轴对称，
则x的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【详解】
因为点M（x，-5）向右平移5个单位所得的点（x+5，-5）与点M关于y轴对称，
所以x+x+5=0，
∴x=
故选：D．
3．（2020·淮北市相山区张集中学八年级期中）平面直角坐标系中，若点 、则点 ．若将坐
标原点移至点 ，则此时点 的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，相当于将点O向右平移了2个单位，向下平移了3个单位，
故点O的坐标变为（0+2，0﹣3），即（2，﹣3），
故选：B．
4．（2020·浙江八年级期末）把点 向左平移3个单位到点B，则点B的坐标是________．
【答案】（-1，5）
【详解】解：将点A（2，5）向左平移3个单位，得到点B的坐标为（2-3，5），
即：（-1，5）．故答案为：（-1，5）．
5．（2021·浙江宁波市·八年级期末）将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单
位得到点Q，则点Q的坐标是_____．
【答案】（﹣5，﹣1）
【详解】
解：根据题意，点Q的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1；
即点Q的坐标是(﹣5，﹣1)．
故答案为：(﹣5，﹣1)．
6．（2021·浙江宁波市·八年级期末）把点 向左平移2个单位，所得点 的坐标为________．
【答案】
【详解】点P(-2、7)向右平移2个单位，所得 点的坐标为( 、 )，即( 、 )
故答案为：( 、 )．
7．（2021·浙江温州市·八年级期末）将点 向右平移4个单位得到点 ，则点 的坐标为
__________．
【答案】
【详解】
解：将点P（2，﹣3）向右平移4个单位长度得点P′，
则点P′的坐标为（6，﹣3）．
故答案为：（6，﹣3）．
8．（2021·安徽蚌埠市·八年级期末）如果将点 向右平移 个单位长度再向下平移 个单位长度
得到点 ，那么点 的坐标是_____．
【答案】
【详解】
根据题意得，
故答案为： ．
9．（2021·全国七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，将四边形 先向下平移，再向
右平移，得到四边形A B C D ，已知点 ，点 ，点 ，则点 的坐标为___．
1 1 1 1【答案】（2，1）
【详解】
解：由A（-3，5），A（3，3）可知四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形
1
AB C D，
1 1 1 1
∵B（-4，3），
∴B 的坐标为（2，1），
1
故答案为：（2，1）．
10．（2020·通辽市科尔沁区第七中学七年级期中）如图所示， 是 经过平移得到的，A(2,-
1),B(4,3),C(1，2)， 中任意一点 平移后的对应点为 ．
请写出三角形ABC平移的过程；
分别写出点 ， ， 的坐标；
求 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）A′（-4，3），B′（-2，7），C′（-5，6）；（3）5
【详解】
解：（1）∵△ABC中任意一点P（x，y）平移后的对应点为P′（x-6，y+4），
1 1 1 1
∴平移后对应点的横坐标减6，纵坐标加4，
∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A′B′C′或△ABC先向上平移4个单位，再向左
平移6个单位得到△A′B′C′；
（2）∵A（2，-1），B（4，3），C（1，2），
由（1）可知，A′（-4，3），B′（-2，7），C′（-5，6）；
（3）如图所示，
S = = ．
ABC
△11．（2020·山西八年级月考）如图，五边形各顶点的坐标分别为
将五边形先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到新五边形 点
分别对应点 ．
（1）画出平移后的新五边形并标明字母；
（2）如果将新五边形 看成是由原五边形 经过一次平移得到的，请直接写出这一平
移的平移方向和平移距离．
【答案】（1）图见解析；（2）由 到 的方向，平移距离是 个单位长度．
【详解】
（1）如图示，五边形 即为所求作图形．
（2）连接 ，
则
∴这一平移的平移方向是:由 到 的方向，
平移距离是: 个单位长度．
考点3：图形平移性质的应用典例：（2020·河南郑州市·郑州外国语中学七年级期中）如图，在 中，
，把 沿着直线BC的方向平移 后得到 ，连接AE，AD，有以
下结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵△ABC沿着直线BC的方向平移 后得到△DEF，
∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，CF=AD=2.5cm，故①②③正确.
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，
∵AB//DE
，故④正确.
综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，
故选D.
方法或规律点拨
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的
平移与旋转或翻转．
巩固练习
1．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟） 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种
图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]
【答案】D
【解析】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．故选D．
2．（2019·浙江台州市·七年级期末）三个边长分别为 ， ， ，的正方形如图所示摆放，则阴影部分的
周长（ ）
A．只与 ， 有关 B．只与 ， 有关 C．只与 ， 有关 D．与 ， ， 有关
【答案】B
【详解】
解：阴影部分的周长：
故选：B．
3．（2021·全国七年级）如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每
段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．
【答案】42
【详解】解：由平移的性质，得:
草坪的长为8﹣1＝7（米），宽为6米，
草坪的面积＝7×6＝42（平方米）．
故答案为：42．
4．（2020·忠县乌杨初级中学校七年级月考）如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为
_______米2．
【答案】144
【详解】解：由图形得到了的总长度为20+10-2=28米，
所以道路的总面积为28×2=56米2，
所以草地面积为20×10-56=144米2．
故答案为：144
5．（2020·江苏扬州市·七年级期末）如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，
那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米．
【答案】98
【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB，铅直距离等于
（AD-1）×2，
又∵长AB=50米，宽BC=25米，
∴小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，
故答案为98．
6．（2020·莆田擢英中学七年级月考）如图是一块从一个边长为50 cm的正方形材料中剪出的垫片，现测
得FG＝5 cm，则这个剪出的垫片的周长是________cm.
【答案】210
【解析】
【详解】如图所示：这块垫片的周长为：50×4+FG+NH=200+10=210（cm），
故答案为210
7．（2020·湖南益阳市·七年级期末）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形
ABCD沿着AB方向平移________cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面
积为24cm2．
【答案】6
【详解】解：设AE=x，根据题意列出方程：
6（10-x）=24，
解得x=6，
∵A的对应点为E，∴平移距离为AE的长，
故向右平移6cm．
8．（2020·河北衡水市·七年级期末）如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三
角形的周长为_____．【答案】12
【解析】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．
故答案为12．
考点4：图形平移的性质综合应用
典例：（2021·全国八年级）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，将线段AB进行平移，使
点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为 ， ，连接
交y轴于点C， 交x轴于点D．
（1）线段 可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出 ， 的坐标；
（2）求四边形 的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究 与 的数量关系，给出结论并说明理由．
【答案】（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位， ， ；（2）24；（3）见解析
【详解】
解：（1） 点 ， ，
又 将线段 进行平移，使点 刚好落在 轴的负半轴上，点 刚好落在 轴的负半轴上，
线段 是由线段 向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
， ．
（2） ．
（3）连接 ．
， ，
的中点坐标为 在 轴上，
．，
轴，
同法可证 ，
，
，
，
同法可证， ，
， ，
当点 在点 的下方时，
， ，
，
，
当点 在点 的上方时， ．
方法或规律点拨
本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨
论的思想解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为 ，点
B的坐标为 ，将 沿x轴向左平移得到 ，若点 的坐标为 ，点 落在直
线 上，则k的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵点B的坐标为 ，将 沿x轴向左平移得到 ，且点 的坐标为 ，
∴向左平移的距离为 ，
∵点A的坐标为 ，
∴点 的坐标为（-8,6），
∵点 落在直线 ，
∴6= -8k，解得k= ，
故选：B.
.
2．（2021·全国九年级）如图，三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形AB C 的位置，BC与AC
1 1 1 1 1
相交于点O，若∠C的度数为x，则∠AOC的度数为（ ）
1
A．x B．90°﹣x C．180°﹣x D．90°＋x
【答案】C
【详解】
解：∵三角形ABC沿AB方向向右平移后到达三角形AB C 的位置，BC与AC 相交于点O，
1 1 1 1 1
∴∠C ＝∠C， ，
1∴∠COC ＝∠C （两直线平行内错角相等），
1 1
∴∠AOC＝180°﹣x，
1
故选：C．
3．（2020·浙江台州市·八年级期中）如图，在 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将 沿直
线BC方向平移2.5个单位得到 ，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论：
① ；② 为等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四边形AEFD的面积为9．其中正
确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【详解】
解：由平移的性质得：AD∥BE，AD=BE=2.5，
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=
∴CE=2.5，
∴AD=CE，
∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠ECG，
在△AGD和△CGE中，
∴△AGD≌△CGE（AAS），
∴①正确；
∵∠BAC=90°，BE=CE，
∴AE= BC=CE=2.5，
∴AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形，∴②正确；
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECG，
∵∠DAG=∠ECG，
∴∠EAC=∠DAG，
∴AC平分∠EAD，
∴③正确；
如图，过A作AH⊥BC于H，
∵△ABC的面积= BC•AH= AB•AC，
∴AH= = ，
∴四边形AEFD的面积= （AD+EF）×AH= （2.5+5）× =9，
∴④正确；
正确的个数有4个，
故选：D．
4．（2020·湛江市第二十二中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知 、 、
，平移线段 至线段 ，点 在四边形 内，满足 ，
，则点 的坐标为________．
【答案】
【详解】如图，设 ，
∵ ， ， ，
∵平移线段 至线段 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
，
∵ ，∴
∴ ，∴点
∵ ，
∴
∵ 解之：
∴点
5．（2020·安徽阜阳市·八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 和
， ， ，将 平移可得到 ，点 ， ， 的对应点分别为点
， ， ．（1）求点 的坐标．
（2）求直线 与 轴的交点坐标．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】解：（1）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，则
，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ， ．
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（2）∵在平移过程中，点 对应点 ，点 对应点 ，
∴ ．
设直线 的函数表达式为 ，则 ，
解得
∴直线 的函数表达式为 ．
令 ，则 ，
∴直线 与 轴的交点坐标为 ．
6．（2021·全国八年级）如图1，长方形 的边 在数轴上，O为原点，长方形 的面积为
12， 边长为3
（1）数轴上点A表示的数为______．
（2）将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形 与原
长方形 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S
①设点A的移动距离 ．当 时， ______．
②当S恰好等于原长方形 面积的一半时，求数轴上点 表示的数为多少．
【答案】（1）4；（2）① ，②6或2
【详解】
解：（1） ，
故答案为：4；
（2）当 时，
①若正方形 平移后得图2，
重叠部分中 ， ．
故答案为： ；
②当S恰好等于原长方形 面积的一半时，点A向右或向左移动 ，
因此点 表示的数为 或 ，
故点 所表示的数6或2．7．（2020·石家庄外国语教育集团八年级期末）如图，在 网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点 ，则点 的坐标为______；
（2）将 向左平移5个单位，向上平移2个单位，则点 的坐标变为______；
（3）若将 的三个顶点的横纵坐标都乘以 ，请画出 ；
（4）图中格点 的面积是______；
（5）在 轴上有一点 ，使得 最小，请画出点 的位置，并直接写出 的最小值是
______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析；（4）5；（5）图见解析， ．
【详解】
解：（1）如图，点 的坐标 ；
（2）将 向左平移5个单位．向上平移2个单位，则点 的坐标变为 ．
（3）如图， 为所作；
（4）图中格点 的面积 ；
（5）如图，点 为所作， 的最小值 ．8．（2020·山西大同市·七年级月考）如图，已知三角形 把三角形 先向上平移 个单位长度，
再向右平移 个单位长度，得到三角形 ．
（1）在图中画出三角形 ，并写出 的坐标；
（2）连接 ，求三角形 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得三角形 与三角形 面积相等？若存在请直接写出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）画图见解析， ；（2） ；（3）存在， 或
【详解】
解: 如图所示，三角形 即为所求
；；
设P（0，p）
∵△BCP与△ABC同底等高。
∴|2+p|=3，即p+2=1或p+2=-3，解得p=1或p=-5
1 2
∴P（0，1）或（0，-5）．
答:存在. 或 ．
9．（2020·洛阳市第五十六中学七年级月考）如图，点A、B、C的坐标分别为(﹣1，1)、 (3，﹣3)、 (1，
﹣2)三角形AB C 是由三角形ABC向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的，其中点
1 1 1
A、B 、C 分别是点A、B、C的对应点
1 1 1
（1）画出三角形AB C ，并写出点A、B 、C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）连接AA 和CC ，若x轴上有一点P(x，0)，使得三角形PA C 的面积等于四边形ACC A 的面积，求
1 1 1 1 1 1
x的值
【答案】（1）见解析，(1，3)，(﹣1，﹣1)，(3，0)；（2） 或﹣
【详解】解：（1）如图，△AB C 为所作，点A、B 、C 的坐标分别为（1，3），（﹣1，﹣1），（3，0）；
1 1 1 1 1 1
（2）四边形ACC A 的面积＝4×5﹣ ×2×2﹣ ×2×3﹣ ×2×2﹣ ×2×3＝10，
1 1
•3•|3﹣x|＝10，
所以x＝ 或﹣ ．
10．（2020·河南焦作市·七年级期末）在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A(0，a)、B(b，0)
满足： ．
（1）直接写出A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C(-3，m)，如图(1)所示．若S =16，求点D的坐标；
ΔABC
（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图(2)所示，P为线段AB上一动点(不与A、B重
合)，连接OP，PE平分∠OPB，交x轴于点M，且满足∠BCE=2∠ECD．
求证：∠BCD=3(∠CEP-∠OPE)．
【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）D（1，－ ）；（3）见解析
【详解】
（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）如图1中，设直线CD交y轴于E．
∵CD//AB，
∴S =S ，
ACB ABE
△ △
∴ AE×BO=16，
∴ ×AE×4=16，
∴AE=8，
∴E（0，-5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（0，3），（4，0）代入解析式中得：
，
∴直线AB的解析式为y= ，
∵AB//CD，
∴直线CD的解析式为y= ，
又∵点E（0，－5）在直线CD上，
∴c=5，即直线CD的解析式为y= ，又∵点C（-3，m）在直线CD上，
∴m= ，
∴C（-3， ），
∵点A（0，3）平移后的对应点为C（-3， ），
∴直线AB向下平移了 个单位，向左平移了3个单位，
又∵B（4，0）的对应点为点D，
∴点D的坐标为（1，－ ）；
（3）如图2中，延长AB交CE的延长线于点M．
∵AM∥CD，
∴∠DCM=∠M，
∵∠BCE=2∠ECD，
∴∠BCD=3∠DCM=3∠M，
∵∠M=∠PEC-∠MPE，∠MPE=∠OPE，
∴∠BCD=3（∠CEP-∠OPE）．
11．（2020·云南昆明市·七年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，
现同时将点 分别向上平移 个单位长度，再向右平移 个单位长度，分别得到点 的对应点 ，
连接
问题提出:
（1）请直接写出点 的坐标 ， ，及四边形 的面积
﹔
拓展延伸:（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标，若
不存在，试说明理由.
迁移应用:
（3）如图②，点 是线段 上的个动点，连接 ，当点 在 上移动时(不与 重合）给
出下列结论：① 的值不变，② 的值不变，其中有且只有一个是正确的，
请你找出这个结论并求其值.
【答案】（1） ；（2）存在，M（0,6）或（0，-2）或（-3,0）或（1,0）；（3）结论①正
确，
【详解】
解：（1）由题意可知：C点坐标为 ，D点坐标为（4，2）
∴AB=4，OC=2
S =AB×OC=4×2=8
四边形ABDC
故答案为：（0，2）；（4，2）；8
（2）存在，且
①当点 在 轴上时，令
或
此时点 的坐标为
②当点 在 轴上时，令
或b=1
此时点 的坐标为
综上，点M的坐标为
（3）结论①正确
过 点作 交 与 点
∵AB∥CD
12．（2020·河南周口市·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 两点，且a、b满
足 点 在射线AO上（不与原点重合）．将线段AB平移到DC，点
D与点A对应，点C与点B对应，连接BC，直线AD交y轴于点E．请回答下列问题：（1）求A、B两点的坐标；
（2）设三角形ABC面积为 ，若4＜ ≤7，求m的取值范围；
（3）设 ，请给出 ，满足的数量关系式，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）当点C在x轴的正半轴上时， ；当
点C在点A和点O之间时， ，理由见解析.
【详解】
解：（1）由题意可知
解得
所以
（2）三角形的面积为
由 得4＜ ≤7
所以 ；
（3）作OF//BC，
当点C在x轴的正半轴上时，如图1，
当点C在点A和点O之间时，如图2，
．13．（2020·全国八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，
， ，线段 两端点的坐标分别为 ， ， ，直线
轴交 轴于 ，且线段 与 关于 轴对称，线段 与 关于直线 对称．
（1）求点 ， 的坐标（用含 ， 的代数式表示）．
（2） 与 通过平移能重合吗？请说明理由．若能，请你说出一个平移方案（平移的单位长度
数用 ， 表示）．
【答案】（1） ， ；（2）能重合，见解析，平移方案：先将 向上平
移 个单位长度，再向左平移 个单位长度
【详解】
（1）∵ 与 关于 轴对称， 两端点的坐标分别为 ， ，
∴ ， ．
设 与直线 之间的距离为 ．
∵ 与 关于直线 对称， 与 轴之间的距离为 ，
∴ 与 轴之间的距离为 ．
∵ ，
∴点 的横坐标为 ，
∴ ， ．
（2）能重合．理由如下：∵ ， ，
又∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 通过平移能重合．
平移方案：先将 向上平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度（或先将 向左平移
个单位长度，再向上平移 个单位长度）．
