文档内容
专题 3.5 指数与指数函数
题型一 指数幂的运算
题型二 指数函数的概念
题型三 指数函数的图象问题
题型四 指数型函数过定点问题
题型五 指数函数的定义域和值域问题
题型六 利用指数的单调性解不等式或比较大小
题型七 由指数函数的单调性求参数
题型八 指数函数的最值问题
题型九 指数函数的实际应用
题型一 指数幂的运算
例1．化简
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据指数幂的运算法则，可得：
.
例2．（2022秋·高一课时练习）计算：
(1) ；
(2)已知： ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；
（2）在等式 两边平方可得出 ，再利用平方关系可求得 ，代入计算
可得出 的值.【详解】（1）解：原式 .
（2）解：因为 ，则 ，所以， ，
所以， ，可得， ，
因此， .
练习1．（2022秋·高一课时练习） 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算性质求解即可.
【详解】解：
故选：D.
练习2．（2022秋·高三课时练习）化简 的结果
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式化简即可.
【详解】=
=
=
=
=
=
=
故选：B
练习3．（2022秋·高三课时练习）化简求值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)100
(2)4
【分析】根据指数幂运算性质运算求解即可.
【详解】（1）解：
.
（2）解：练习4．（2022秋·高三课时练习）已知 ，则 的值是（ ）
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
又由立方差公式， ，
故选：A．
练习5．（2022秋·高三课时练习）化简： = ______．（用分数指数幂
表示）.
【答案】
【分析】先把根式转化成指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则，即可求出结果.
【详解】因为
.
故答案为： .
题型二 指数函数的概念
例3．（2022秋·高三单元测试）（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数的定义判断各项是否为指数函数即可.
【详解】由指数函数形式为 且 ，显然A、D不符合，C符合；对于B， 且 ，故符合.
故选：BC
例4．（2021秋·高三课时练习）如果指数函数 的图象经过点 ，那么 的
值为__________.
【答案】 /0.5
【分析】利用待定系数法求出幂函数 的解析式，再计算 的值.
【详解】设幂函数 ，已知图象过点 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
所以 .
故答案为： .
练习6．（2022秋·高三课时练习）若 ＋ 有意义，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【分析】根据根式、指数幂的性质列不等式组求参数范围即可.
【详解】由题设知： ，可得 .
故选：D
练习7．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数中，是指数函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用指数函数的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】形如 ( 且 )形式的为指数函数，以上满足的条件的为AD.故选：AD.
练习8．（2023秋·云南大理·高三统考期末）（多选）已知函数 （a>0且 ）
的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A． B． =2 C． =3 D． =6
【答案】AD
【分析】将点（2,4），（4,2），代入 求得 的值.
【详解】由已知得 ，两式相比得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
故选：AD．
练习9．（2022秋·高一课时练习）若函数 为指数函数，则
（ ）
A． 或 B． 且
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.
【详解】因为函数 为指数函数，
则 ，且 ，解得 ，
故选：C
练习10．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）（多选）若指数函数 经过点 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据指数函数的定义，代入已知点，求得函数解析式，明确函数单调性，逐项验
证可得答案.
【详解】由题意，设 ，则 ，解得 ，即 ，易知
在 上单调递减，
对于A、B，由 ，则 ，故A错误，B正确；对于C，由 ，则 ，故C错误；
对于D，由 ，则 ，故D正确.
故选：BD.
题型三 指数函数的图象问题
例5．（2022秋·内蒙古兴安盟·高三乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（多选）若函数
( 且 )的图像经过第一、二、三象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数 ( 且 )的图像经过第一、二、三象限，判断a， b
的范围，再由指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】解：因为函数 ( 且 )的图像经过第一、二、三象限，
所以 ， ，
所以 是增函数， 是减函数，
则 ， ，
故选：BC.
例6．（2021秋·高三课时练习）函数 （ ）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合指数函数的性质，分 和 两种情况求解即可.
【详解】当 时， ，因此 ，且函数 在 上单调
递增，故A、B均不符合；
当 时， ，因此 ，且函数 在 上单调递减，故C符合，D不符合．
故选：C．
练习11．（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若存在
且 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出函数 的图象，结合 ，得到 ，再利用基
本不等式求得 ，即可求解.
【详解】如图所示，画出函数 的图象，
结合图象和题意，可得 ，所以 ，
由 ，即 ，可得 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
练习12．（2022秋·高三单元测试）函数① ；② ；③ ；④ 的图象
如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数： ， ， ， 中的一个，则a，b，c，d的
值分别是（ ）A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， ， D． ， ， ， ，
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线 与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而
.
故选：C．
练习13．（2023秋·河南安阳·高三统考期末）已知函数 是指数函数，函数
，则 与 在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和二次函数的性质，判断图像的形状.
【详解】当 时， 为增函数， 的图像的对称轴为直线 ，A选项错误，C选项正确；
当 时， 为减函数， 的图像的对称轴为直线 ，B
选项错误，D选项错误．
故选：C
练习14．（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）（多选）函数 的图象的大
致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】化简得 ，分 、 ，分别讨论 和 的单调性及
取值范围，即可得答案.
【详解】解：因为 ，
当 时， 在 上单调递增，且当 趋于 时， 趋于 ；
在 上单调递减，当 趋于 时， 趋于 ,故排除D；
当 时， 在 上单调递减，当 趋于 时， 趋于 ； 在
上单调递增，当 趋于 时， 趋于 ,故排除C.
故选：AB.
练习15．（2022秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）已知实数a，b满足等式
，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】在同一坐标系内分别画出函数 和 的图象，结合图象即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数 和 的图象，如图所示：
由图象知，当 时， ，所以选项 正确；
作出直线 ，当 时，若 ，则 ，所以选项 正确；
当 时，若 ，则 ，所以选项 正确．
所以不可能成立的是 ，
故选： ．
题型四 指数型函数过定点问题
例7．（2023秋·吉林松原·高三松原市实验高级中学校考期末）函数
且 的图象恒过定点 ，点 又在幂函数 的图象上，则 的值为______.
【答案】
【分析】由已知可得 ，待定系数法设出 ，代入求出 ，即可求出
的值.
【详解】由 可得， ，所以 .
设 ，由 可得， ，所以 ，即有 ，
所以 .
故答案为： .
例8．（2020秋·广东梅州·高三校考期中）函数 （ ，且 ）的图象过定
点P，则点P的坐标是（ ）
A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)
【答案】A
【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得.
【详解】当 时， ，
所以 .
故选：A.练习16．（2022秋·高三课时练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令指数为零，求出 的值，代入函数解析式可得出函数 图象所过定点的坐标.
【详解】对于函数 ，则 ，可得 ，则 ，
所以，函数 （ 且 ）的图象恒过定点坐标为 .
故选：C.
练习17．（2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考期末）已知幂函数
的图象经过点 ，则函数 的图象必经过定点______．
【答案】
【分析】先设出 ，代入点 可得 ，则可得到 ，令
即可得定点.
【详解】设 ，则由已知 ，得 ，
，
，
令 ，得 ，
则
所以函数 的图象必经过定点 .
故答案为： .
练习18．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）已知函数 且 ，当 任
意变化时， 的图像恒过点 ，则实数 ___________.
【答案】
【分析】根据 的图像恒过点 ，由 求解.
【详解】解：因为 的图像恒过点 ，
所以 ，
当 任意变化时，该式恒成立，
所以 ，即 .故答案为：-1
练习19．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高三铁路一中校考期中）已知函数 （
，且 ）的图象过定点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由指数函数过定点 ，可求得 ，即有 ，再根据指数幂的运算
法则即可求得答案.
【详解】解：因为指数函数 过定点 ,
所以 （ ，且 ）的图象过定点 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
练习20．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）函数 的图
像恒过定点 ，若点 的坐标满足方程 ，则 的最小值
__________．
【答案】
【分析】先判断出 ，代入得到 ，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.
【详解】令 ，解得： .由 可得：函数 的图像恒过定点
.
因为点 的坐标满足方程 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以（当且仅当 ，即 时等号成立）
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型五 指数函数的定义域和值域问题
例9．（2021·全国·高一专题练习）定义区间 （ ）的长度为 ．已知函数
的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】作出函数在值域为 上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由此可
得结论．
【详解】如图是函数 在值域为[1，2]上的图象．使函数 的值域为[1，2]的定义
域区间中，长度最小的区间为 或[0，1]，
长度最大的区间为 ，从而由定义可知区间 的长度的最大值与最小值的差为
．
故选：B
例10．（2022秋·高三单元测试）若定义运算 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数定义写出 在对应区间上的解析式，结合指数函数性质求值域.
【详解】若 ，即 时 ；
若 ，即 时 ；
综上， 值域为 .
故选：A
练习21．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数 在区间 上的最大值比最小
值大4，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果.
【详解】∵ 在R上单调递增，∴ 在 上单调递增，
∴当x=2时， 取得最小值为4；当x=a时， 取得最大值为 ，
∴ ，解得：a=3.
故选：C.
练习22．（2022秋·高三课时练习）函数 的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围.
【详解】由题意可得 ，解得： ，所以函数的定义域为 .
故答案为： .
练习23．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）（多选）已知函
数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．在 上单调递增 D．在 上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的定义域与值域可判断AB；根据指数函数、二次函数及复合函数的单调性可判断CD.
【详解】函数 ，可得函数定义域为 ，故A正确；
设 ，
由指数函数的单调性得到，函数值域为 ，故B正确；
在 上是单调递增的，
而 在定义域内是单调递减的，
根据复合函数单调性法则，得到函数在 上单调递减，
故C错误；D正确．
故选:ABD．
练习24．（2023秋·江苏镇江·高三统考期末）已知函数 ，则 的值域为
________﹔函数 图象的对称中心为_________.
【答案】
【分析】将函数的解析式变形为 ，结合不等式的基本性质可求得 的值
域；利用函数对称性的定义可求得函数 的对称中心的坐标.
【详解】因为 ，则 ，所以，
，
所以，函数 的值域为 ，
因为 ，则 ，
因此，函数 图象的对称中心为 .
故答案为： ； .
练习25．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为___________
【答案】
【分析】利用根号的性质及指数单调性求解即可.【详解】由题 ，即 ，即 ，
因为 为单调递增函数，所以 ，即
故答案为：
题型六 利用指数的单调性解不等式或比较大小
例11．（2022·海南·校联考模拟预测）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，将不等式转化为 ，利用单调性可解.
【详解】构造函数 ，易知函数 在 上为单调递增函数．
因为不等式 等价于 ，
又 ，所以 ，
所以由函数 的单调性知 ，即 ，
解得 或 ，所以原不等式的解集为 .
故选：D
例12．（2021秋·高三课时练习）已知 > ，则a，b的大小关系为____(用“<”连
接).
【答案】a ，得到 > ，再利用函数y= 是R上的减函数求解.
【详解】解：因为 > ，
所以 > ，
又函数y= 是R上的减函数，
所以a甲>丙.
故选：A
练习44．（2023·全国·高三专题练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区
农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长
率增长，那么2022年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：
1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)
【答案】4 500
【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，即可得到答案；
【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，
依题意有y＝3 000×1.06x，
因为2014年年底到2022年年底经过了7年，
故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.
故答案为：4 500
练习45．（2020秋·江苏苏州·高三昆山市第一中学校考阶段练习）若一个人喝了少量酒后，
血液中的酒精含量迅速上升到 之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时
的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过
，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】先根据题意设 小时后才能开车．再结合题中条件：“血液中的酒精含量不超过
0.09mg/mL,”得到一个关于 的不等关系,代入选项验证即可求解.
【详解】设 小时后才能开车,
则有 ,
即 ,
由于没有对数参考值，
根据选项代入验证，当 时不等式不成立，当 时，不等式成立，
故 最小为5.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据问题的实际背景，抽象出指数不等式，利用验证的的方式寻求
不等式成立的最小正整数解.
