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专题 3.2 图形的旋转
判断图形的旋转
【例1】下列运动中，属于旋转运动的是
A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千
【解答】解： 、不是旋转，是平移，故本选项不符合题意；
、不是旋转，是平移，故本不符合题意；
、不是旋转，是平移，故本选项不合题意；
、属于旋转，故本选项符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列运动属于旋转的是
A．火箭升空的运动 B．足球在草地上滚动
C．大风车运动的过程 D．传输带运输的东西的运动
【解答】解： 、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；
、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不是旋转，故此选项不符合题意；
、大风车运动的过程，是旋转，故此选项符合题意；
、传输带运输的东西的运动，是平移，故此选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是
A．国旗上升的过程 B．球场上滚动的足球
C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西
【解答】解： 、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意；
、球场上滚动的足球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题
意；
、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意；
、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意．
故选： ．【变式训练3】下列现象属于旋转的是
A．摩托车在急刹车时向前滑动
B．火箭冲向空中的时候
C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号
D．幸运大转盘转动的过程
【解答】解： 、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项不符合题意；
、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项不符合题意；
、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项不符合题意；
、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项符合题意．
故选： ．
求旋转角
【例2】如图，在 中， ，将 在平面内绕点 旋转到△ 的位
置，使 ，则旋转角的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
在平面内绕点 旋转到△ 的位置，
等于旋转角， ，
，
，
旋转角为 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，将 绕点 按逆时针方向旋转得到△ ．若点 刚好落在
边上，且 ，若 ，则 旋转的角度为A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
绕点 按逆时针方向旋转得到△ ，
，
，
旋转角 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，
点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ．当点 ， ， 在同一条直线上时，则旋转
角 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 将 绕点 逆时针旋转得到 ，
， ，
，
，
故选： ．
【变式训练3】如图，将 绕点 顺时针旋转角 ，得到△ ，此时点 ，点 ，点 在一条直线上，若 ，则旋转角
A． B． C． D．
【解答】解： ，
．
故选： ．
求相关角度
【例3】如图， 是由 绕点 顺时针旋转 所得，边 ， 相交于点 ．
若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 将 顺时针旋转 得到 ，
， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，若点 恰好在 的延
长线上，则 的度数为A． B． C． D．
【解答】解：如图，
是由 旋转得到，
，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 后得
到△ （点 的对应点是点 ，点 的对应点是点 ，连接 ．若 ，
则 的大小是
A． B． C． D．
【解答】解：由旋转的性质可知， ，
，可知 为等腰直角三角形，则 ．
，
，
，
，
故选： ．【变式训练3】如图， 是由 绕点 顺时针旋转 后得到的图形，若点 恰好
落在 上，且 的度数为 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得， ， ，又 ，
．
故选： ．
求长度
【例4】如图，已知 中， ， ，将 绕点 顺时针方向旋
转 到△ 的位置，连接 ，则 的长为
A． B． C． D．1
【解答】解：如图，连接 ，
绕点 顺时针方向旋转 得到△ ，
， ，
是等边三角形，
，
在 和△ 中，，
△ ，
，
延长 交 于 ，
则 ，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，将 绕
点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 交 于点 ，则 与 的周长之和
为 4 2 ．【解答】解： 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
， ，
，
为等边三角形，
，
在 中， ，
与 的 周 长 之 和
，
故答案为：42
【变式训练2】如图， 中， ， ， ，将 绕点
顺时针旋转得到△ ，若直线 经过点 ，则 的长为
A．1 B．2 C． D．4
【解答】解： 将 绕点 顺时针旋转得到△ ，
， ， ，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】已知，如图，在 中， ， ， ．将
绕顶点 按顺时针方向旋转到△ 处，此时线段 与 的交点 恰好为
的中点，则线段 的长是
A． B． C． D．
【解答】解： 在 中， ， ， ，
，
点 为 的中点，
．
将 绕顶点 ，按顺时针方向旋转到△ 处，，
．
故选： ．
旋转的变化过程
【例5】下列正多边形，绕其中心旋转 后，能和自身重合的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、正三角形的最小旋转角度为 ，故本选项不符合题意；
、正方形的最小旋转角度 ，故本选项不符合题意；
、正误边形的最小旋转角度为 ，故本选项符合题意；
、正六边形的最小旋转角度为 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度
可能是
A． B． C． D．
【解答】解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，
因而旋转的角度是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为
A． B． C． D．
【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，
所以 ，
所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，
那么这个角度至少为 ．
故选： ．
【变式训练3】风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，我国近年来在西部地区大力发
展风电产业，如图的风力发电转子叶片图案绕中心旋转 后能与原来的图案重合，那么
的值可能是
A．60 B．90 C．120 D．150
【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转 的整数倍，就可以与自身重合，
故 的值可能为120
故选： ．
确定旋转中心
【例6】如图，在正方形网格中， 绕某一点旋转某一角度得到 ．则旋转中心可
能是A．点 B．点 C．点 D．点
【解答】解：如图，
绕某一点旋转某一角度得到 ，
连接 、 、 ，
作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过 ，
即旋转中心是 ．
故选： ．
【变式训练1】如图 的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得
到三角形②，则其旋转中心是A．点 B．点 C．点 D．点
【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点
为旋转中心．
故选： ．
【变式训练2】如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转一定的角度，得到
，则旋转中心是点
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ， 可得其垂直平分线相交于点 ，
故旋转中心是 点．
故选： ．
【变式训练3】如图，在 的正方形网格中， 绕某点旋转 ，得到△ ，则其旋转中心是
A．点 B．点 C．点 D．点
【解答】解：如图，作出 、 的垂直平分线，交点为 ，则点 是旋转中心，
故选： ．
判断中心对称图形
【例7】下列图形中，中心对称图形是
A． B． C． D．
【解答】解：选项 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以是中心对称图形；
选项 、 、 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
所以不是中心对称图形；
故选： ．
【变式训练1】如图图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：左起第1个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第3个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第5个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数为2个．
故选： ．
【变式训练2】下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
【解答】解：选项 、 、 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原图
重合，所以不是中心对称图形；
选项 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原图重合，所以是中心对称图
形；
故选： ．
【变式训练3】下列图形中，不是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项 、 、 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所
以是中心对称图形，
故选： ．
简单的图案设计
【例8】在我们日常生活中存在很多较小的或眼睛不易辨清的物体，利用放大镜“放大”，
可以使人看得更清楚．如图，利用放大镜可以看清辣椒表面的纹路，这种图形的变换是
A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换
【解答】解： 利用放大镜将标尺上的数码放大，放大后的数码与标尺上的数码形状相同，
放大后的数码与标尺上的数码是相似图形，
这种图形变换是相似变换，
故选： ．
【变式训练1】图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是
A．平移 B．翻折
C．旋转 D．以上三种都不对
【解答】解：图2是由图1经过平移或旋转或翻折得到，
故选： ．
【变式训练2】平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到 （如图），下列说法错误的是
A．将线段 沿 的方向平移 长度可以得到
B．将 绕边 的中点 旋转 可以得到
C．将 绕点 旋转 可以得到
D．将 沿 翻折可以得到
【解答】解： 、将线段 沿 的方向平移 长度可以得到 ，正确，本选项
不符合题意．
、将 绕边 的中点 旋转 可以得到 ，正确，本选项不符合题意．
、将 绕点 旋转 可以得到 ，正确，本选项不符合题意．
、将 沿 翻折不可以得到 ，错误，本选项符合题意．
故选： ．
【变式训练3】如图是 的网格图．将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，
使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：如图，观察图象可知，把③涂灰，所有的灰色图形构成中心对称图形．
故选： ．作图题
【例9】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系
中， 的三个顶点 、 、 均在格点上．
（1）请画出 绕原点 顺时针旋转 后的图形△ ．
（2）直接写出：点 坐标 ，点 坐标 ．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求；
（2）点 坐标 ，点 坐标 ．
故答案为： ， ．
【变式训练1】如图，已知点 ， 的坐标分别为 ， ．
（1）画出 关于原点 对称的图形 （点 对应点 ；
（2）将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 （点 对应点 ．画出 ；（3）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
【解答】解：（1）如图， 即为所求；
（2）如图， 即为所求；
（3）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ．
故答案为： ， ．
【变式训练2】如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均
在格点上，点 为原点，点 ， 的坐标分别是 ， ．
（1）若将 向下平移3个单位，则点 的对应点坐标为 ；
（2）将 绕点 逆时针旋转 后得到△ ，请在图中作出△ ，并求出这时
点 的坐标为 ；（3）求旋转过程中，线段 扫过的图形的弧长．
【解答】解：（1）点 的对应点坐标为 ，
故答案为： ；
（2）如图，△ 即为所求，这时点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（3） ，
线段 扫过的图形的弧长 ．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ．
（1）画出 绕点 顺时针旋转 后的△ ；
（2）求四边形 的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ 即为所求作的三角形；
（2）根据勾股定理得： ，
．
常见的证明题
【例10】在 中， ，点 是直线 上一动点（不与 、 重合），将线段
绕点 逆时针旋转 的度数，得到线段 ，连接 ，设 ，
．（1）如图1，当点 在线段 上时，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点 在线段 延长线上时，补全图形，用等式表示 与 之间的数量关
系，并证明．
【解答】解：（1） ．
证明： ，
．
即 ．
又 ， ，
．
．
．
．
，
．
（2）当点 在线段 延长线上时， ．其理由如下：
类似（1）可证 ，
，
又由三角形外角性质有 ，
而 ，
．
【变式训练1】如图，等边 ，点 为 延长线上一点，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ．连接 ．求证： ．
【解答】证明： 是等边三角形，
， ，
由旋转的性质可得： ， ，
，
，
在 和 中，
，，
．
【变式训练2】如图，在 中， ，点 在 上，把 绕点 逆时
针旋转 得到 ．
（1） 与 的数量和位置关系分别是 相等 ， ；
（2）若 ，求证： ．
【解答】（1）解： 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
与 的数量和位置关系分别是相等，垂直．
故答案为：相等，垂直；
（2）证明：由旋转可知： ， ，
，
，
，
．
【变式训练3】如图， 中， ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，
的延长线与 相交于点 ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．【解答】（1）证明： ， ，
是等边三角形，
，
，
；
（2）解： 是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
