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专题3.28 《圆》全章复习与巩固（提高篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图， 是 的直径，点 、 在 上， ， ，则
（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，
连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连
接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF= ,则AE2+BE2的值为 （
）
A．8 B．12 C．16 D．20
4．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E
为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）A． ﹣4 B．7 ﹣4 C．6﹣ D．
5．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD
的度数为（ ）
A．54° B．27° C．63° D．36°
6．如图，在 中， ，在 边上取点 为圆心画圆，使
经过 两点，下列结论：① ；② ；③以 圆心， 为半径的圆
与 相切；④延长 交 于点 ，则 是 的三等分点．其中正确结论的
序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
7．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若
AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
8．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点 在圆圈外，其他几个顶点都在圆
圈上，圆圈和 交于点 ，已知 ，则这个圆圈上的弦 长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的
动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( )
A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
10．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接
OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接
CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距
等于 BG．则其中正确的是（ ）A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
11．如图，CD是⊙O的直径，AB，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=16，CD=20，
EF=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．96+25π B．88+50π C．50π D．25π
12．如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；
②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13． 的圆心是原点 ，半径为5，点 在 上，如果点 在第一象限内，
那么 ______.
14． 是 的直径， ， 在 上且分布在 两侧， 是直径 所对弧的一个三等分点，则 __________．
15．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，
且OP⊥PQ，当点P在BC上移动时，则PQ长的最大值为__________．
16．如图，在 中， ， ， ，将 绕 O顺时
针旋转 后得 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得线段 ，分别以 ，
为圆心， 、 长为半径画弧 和弧 ，连接 ，则图中阴影部分面积是
________．
17．如图，四边形 是菱形， 经过点 、 、 与 相交于点 ，连接 、
，若 ，则 的度数为__________．
18．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为___________.19．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O 的坐标为（1，0），
1
以O 为圆心，OO为半径画圆，交直线l于点P，交x轴正半轴于点O，以O 为圆心，
1 1 1 2 2
OO为半径画圆，交直线l于点P，交x轴正半轴于点O，以O 为圆心，OO为半径画圆，
2 2 3 3 3
交直线l于点P，交x轴正半轴于点O；…按此做法进行下去，其中 的长为
3 4
_____．
20．如图， 的半径为5， 、 是圆上任意两点，且 ，以 为边作正方形
（点 ， 在直线 两侧）．若正方形 绕点 旋转一周，则 边扫过
的面积为__________
21．在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作
⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝
_____.22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB
上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
23．已知 的半径是 ，直线 与 相交于 、 两点． 是 上的一个动点，若
，则 面积的最大值是________．
24．如图等边 ，以 为直径的 交 于 点，交 于 ， 于 ，
下列结论正确的是：________．① 是 中点；② ；③ 是 的切线；④．
三、解答题
25．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE
的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点
P，且PC=PB．
（1）求证：∠BAD=∠PCB；
（2）求证：BG∥CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB= DH，∠COD=23°，求∠P的度数．
26．已知：如图（1），在⊙O中，直径 ，直线 相交于点 ．
（1） 的度数为___________；
（2）如图（2）， 与 交于点 ，请补全图形并求 的度数；
（3）如图（3），弦 与弦 不相交，求 的度数．27．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点⊙O与AB相切于点
M，与CD相切于点N
（1）求证：∠AOC=135°
（2）若NC=3，BC= ，求DM的长
28．如图，已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ，并且经过点
，直线 与抛物线交于 两点，以 为直径作圆，圆心为点 ，圆
与直线 交于对称轴右侧的点 ，直线 上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆 与 轴相切；
（3）过点 作 ，垂足为 ，再过点 作 ，垂足为 求 的值．29．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图
1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据奇妙
四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两
条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若⊙O的半径为6，∠
BCD=60°．求奇妙四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形作OM⊥BC于M．请猜测OM与
AD的数量关系，并证明你的结论．
30．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．
（1）点O到弦AB的距离为 ；．
（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP
折叠，得到A点的对称点为A′；
①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；
②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；
③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．参考答案
1．D
【分析】
根据邻补角的定义可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即
可求得∠AOD的度数．
【详解】
∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=70°，
∵AD∥OC，OD=OA，∴∠D=∠A=70°，
∴∠AOD=180°-2∠A=40°，
故选：D．
【点拨】本题考查了圆的有关性质，平行线性质及三角形内角和定理的运用．正确的
识别图形是解题的关键．
2．D
【详解】
分析：由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周
角定理可得答案．
详解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED= ∠COD=45°，
故选D．
点拨：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径
及圆周角定理．
3．C
【分析】
根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得
∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在
Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定
理可得 ,由此即可得结论.
【详解】
∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF= ，
∴EF=4；
连接BD，
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中， ,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，
会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.
4．A
【详解】
∵O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴ ，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°− (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S = (AB+AC+BC)⋅EO= AC⋅BC，
△ABC
∴EO= −1，
∴AE2=AO2+EO2=12+( −1)2=4−2 ，
∴扇形EAB的面积= = ，△ABE的面积= AB⋅EO=
−1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积= ，
∴阴影部分的面积= O的面积−弓形AB的面积= −( )= −4，
故选：A.
5．C
【详解】∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A. B. C. D都在以AB为直径的圆上，
∵点D对应54°，即∠AOD=54°，
∴∠ACD= ∠AOD=27°，
∴∠BCD=90°−∠ACD=63°.
故选C.
6．D
【分析】
①连接OB，△OAB是等腰三角形，则两底角相等为30°，在Rt△ABC中可求得
∠ABC的度数，做差得∠OBC，再利用30°的三角函数值得到线段间的关系；
②在Rt△OBC中，OB是斜边＞直角边BC的长度，而OA＝OB，可判断；
③过点O作OE⊥AB于点E，利用角平分线的性质定理，得到OC＝OE来判断；
④延长BC，交 于点D，连接AD，可得到DC＝BC，加上∠C为90°，可推断
△ABD为等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判断△ABD是等边△，即可得出.
【详解】
①如图，连接 ，则 ．
，
，
．
，故①正确；
②在 中， ，
，故②错误；
③如图，过点 作 于点 ，
，
，∴以 圆心， 为半径的圆与 相切，故③正确；
④如图，延长 ，交 于点 ，连接 ．
．
，
，
是等边三角形．
，
是 的三等分点，故④正确；
故正确的有①③④．
【点拨】本题综合性较强，考查了特殊角的三角函数值、角平分线的性质定理、等腰
三角形、等边三角形的判定和性质，需要熟练掌握灵活应用性质及判定.
7．D
【分析】
取AB的中点O，连接AF，OF，先证明△ABC是等边三角形，再把问题转化为S =S
阴
，由此即可解决问题．
扇形OBF
【详解】
解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，∵CF=BF，
∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，
易证△CEF≌△BOF，
∴S =S = = ，
阴 扇形OBF
故选D．
【点拨】考查扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会用转化的思想思考问题.
8．C
【分析】
作 于点E，连接BE，在 中求出EF的长，在 中求出CF的
长，即可求出CE的长.
【详解】
解：如图，作 于点E，连接BE，∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，AB是直径，
∴ ，
∵ 是含 的三角板，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴CF=4，
∴ = .
故选C.
【点拨】本题考查了圆周角定理及勾股定理，能够把求CE长度问题转化直角三角形
中的计算问题是解题的关键.
9．D【分析】
如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，
连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问
题.
【详解】
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH= OC=1，CH= ，
在Rt△CKH中，CK= = ，
∴CQ的最大值为1+ ，
故选D．
【点拨】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的
关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．A
【分析】
连接BD、OC、AG、AC，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，
从而有弧AC=弧AD，由垂径定理的推论即可判断①的正误；
由CD⊥PB可得到∠P+∠PCD=90°，结合∠P=∠DCO、等边对等角的知识等量代换可得到∠PCO=90°，据此可判断②的正误；假设OD∥GF成立，则可得到∠ABC=30°，判断
由已知条件能否得到∠ABC的度数即可判断③的正误；求出CF=AG，根据垂径定理和三角
形中位线的知识可得到CQ=OZ，通过证明△OCQ≌△BOZ可得到OQ=BZ，结合垂径定理即
可判断④.
【详解】
连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ= AG，OZ= AG，BZ= BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ= BG，
∴④正确．
故选A．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了垂径定理及其推论，切线的判定，等腰三角形
的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质.解答本题的关键是熟练掌握圆的有关
知识点.
11．C
【分析】
延长BO交⊙O于G，则BG是⊙O的直径，连接AG，根据圆周角定理得到
∠GAB=90 ，根据勾股定理得到AG=12，求得AG=EF，推出S =S ，根据已知
扇形AOG 扇形EOF
条件可知S =S ，于是得到阴影部分面积是⊙O面积的一半.
扇形EOF 阴影DEF
【详解】
解：延长BO交⊙O于G，则BG是⊙O的直径，连接AG、OE、OF，
∴∠GAB=90º，
∵AB=16，BG=CD=20，
∴AG= ，
∴AG=EF，∴ ，
∴S =S ，
扇形AOG 扇形EOF
∵CD∥EF，
∴S =S ，
△OEF △DEF
∴S =S ，
扇形EOF 阴影DEF
∴S = S ，
扇形AOG 阴影DEF
∴S = S = =50 .
阴影 ⊙O
故选C.
【点拨】本题考查了扇形的面积计算，将不规则图形面积转化为扇形的面积是解决本
题的关键.
12．C
【分析】
根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【详解】
解：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着 ，
∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵ ，∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着 ，
∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，
∴∠CDO+∠CAM=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠CAM＞∠CAO，
∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，
故选C．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系
等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
13．4
【分析】
如图,可得OA=5，OB=3，运用勾股定理可以求得AB的长，即为a的值.
【详解】
解：如图
由题意得：OA=5，OB=3，由勾股定理可得：AB=
即a=4
【点拨】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长
是解答本题的关键.
14． 或
【分析】
此题分两种情况进行计算，点C有两种位置，分别根据圆周角定理：在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进行计算即可．
【详解】
如图所示：连接CO，
∵C是直径AB所对弧的一个三等分点，
∴∠COB=120°，
∴∠BDC=60°，
连接C O，
1
∵C 是直径AB所对弧的一个三等分点，
1
∴∠C OB=60°，
1
∴∠BDC =30°，
1
故答案为 或 .
【点拨】此题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于画出图形.
15．
【解析】
如图3，连接OQ，∵在⊙O中，直径AB＝6，OP⊥PQ，
∴OQ=OB=3，∠OPQ=90°，∴PQ= ，
∴当OP最短时，PQ就最长.
∵点O是定点，点P是线段BC上的动点，
∴如图4，当OP⊥BC于点P时，OP最短，此时，点Q与点C重合，
∵OP⊥BC，∠ABC=30°，
∴OP= OB= ，
∴此时，PQ= .
即PQ的最长值为： .
点拨：本题的解题要点是：连接OQ并在Rt△POQ中由勾股定理得到：PQ=
，由此可知当OP最短时，PQ最长；从而可知，当OP⊥BC，
点Q与点C重合时，PQ最长，结合已知条件即可求得PQ的最大值.
16．
【详解】
如解图，过点D作 于点H，∵ ， ， ，
∴ ，由旋转的性质可知， ，，
，∴ ， ，
∴
．
【点拨】17．
【分析】
根据菱形的性质得到∠ACB＝ ∠DCB＝ （180°−∠D）＝51°，根据圆内接四边形
的性质得到∠AEB＝∠D＝78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝78°，
∴∠ACB＝ ∠DCB＝ （180°−∠D）＝51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝78°，
∴∠EAC＝∠AEB−∠ACE＝27°，
故答案为：27°．
【点拨】本题考查了菱形的性质，三角形的外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练
掌握菱形的性质是解题的关键．
18．
【分析】
首先根据题意画出图形，设出圆的半径，分别求出圆中内接正三角形、内接正四边形、
内接正六边形的边长，即可得出答案.【详解】
设圆的半径为r，
如图①，
过点O作 于点C
则
如图②，
如图③，
为等边三角形∴同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为
故答案为
【点拨】本题主要考查圆的半径与内接正三角形，正方形和正六边形的边长之间的关
系，能够画出图形是解题的关键.
19．22015π
【分析】
连接PO，PO，PO，易求得PO 垂直于x轴，可知 为 圆的周长，再找出
1 1 2 2 3 3 n n
圆半径的规律即可解题．
【详解】
解：连接PO，PO，PO…，
1 1 2 2 3 3
∵P 是⊙O 上的点，
1 1
∴PO＝OO ，
1 1 1
∵直线l解析式为y＝x，
∴∠P OO ＝45°，
1 1
∴△P OO 为等腰直角三角形，即PO⊥x轴，
1 1 1 1
同理，PO 垂直于x轴，
n n
∴ 为 圆的周长，
∵以O 为圆心，OO为半径画圆，交x轴正半轴于点O，以O 为圆心，OO为半径
1 1 2 2 2
画圆，交x轴正半轴于点O，以此类推，
3
∴OO ＝1＝20，OO ＝2＝21，OO ＝4＝22，OO ＝8＝23，…，
1 2 3 4∴OO ＝ ，
n
∴ ，
∴ ，
故答案为：22015π．
【点拨】本题考查了图形类规律探索、一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及
弧长的计算，本题中准确找到圆半径的规律是解题的关键．
20．
【分析】
连接 ，过点 作 与点 ， 交 于点 ，则 边扫过的面积为以
为外圆半径、 为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出 ，进而可
得出 ，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出 边扫过的面积．
【详解】
解：连接 ，过点 作 与点 ， 交 于点 ，则 边扫过的面积
为以 为外圆半径、 为内圆半径的圆环面积，如图所示．
， ，
．
又 为 的弦，
，
，
边扫过的面积为 ．
故答案为： ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，结合
边的旋转，找出 边旋转过程中扫过区域的形状是关键．
21．
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有
PD=PG=2a，CD=4-a，EC= ，CG= ，推出PC=PG+CG= ，在Rt△PCD中，
根据PD2+CD2=PC2，构建方程即可解决问题.
【详解】
如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=2 ，AH⊥BC，
∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH= =4，
∵PC是直径，∴∠PDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP=∠CED=90°，
∵PD=PG，
∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，
∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，
∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，
∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，
则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC= ，CG= ，
∴PC=PG+CG= ，
在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，
∴4a2+（4-a）2=（ ）2，
解得a= 或4（舍弃），
∴BD= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程方程解
决问题，属于中考常考题型．
22． ．
【解析】
【分析】当PC⊥AB时，线段PQ最短；连接CP、CQ，根据勾股定理知PQ2=CP2﹣CQ2，先求
出CP的长，然后由勾股定理即可求得答案．
【详解】
连接CP、CQ；如图所示：
∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，根据勾股定理得：PQ2=CP2﹣CQ2，∴
当PC⊥AB时，线段PQ最短．
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=2 ，∴CP= =
= ，∴PQ= = ，∴PQ的最小值是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意
当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
23．
【分析】
过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D点，连结OA、OB、DA、DB根据圆周角定理推
出△OAB为等腰直角三角形，求得AB= OA=2 ，当M点到AB的距离最大，
△MAB的面积最大，即M点运动到D点，问题得解．【详解】
过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D点，连结OA、OB、DA、DB如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB= OA=2 ，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；即M点运动到D点，
∴△AMB面积的最大值= ×AB•DC= ×2 ×（2+ ）=2 +2，
故答案为2 +2．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和圆周角定理的运用，正确的
作出辅助线是解题的关键．
24．①②③④
【解析】
【分析】连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线
段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、
弦间的关系来证明 ；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可．
【详解】连接AP．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴点P是线段BC的中点，故①正确；
同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，
故④正确；
∵连接PE．
点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE= AB（三角形中位线定理），BP= BC= AB，
∴BP=PE（等量代换），
∴ ，
故②正确；
连接OP．
∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切线；
故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为①②③④．
【点拨】此题考查的是切线的判定与性质、等边三角形的性质及圆周角定理．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）97°
【分析】
（1）根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.
（2）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由圆内接四边形的性质得：
∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可
得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结
论；
（3）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：
∠ACB=60°，最后由PC=PB，得出∠P=180°﹣2×（ ）°=97°．
【详解】
（1）证明：如图1，
∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，
∵AB= DH，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=60°，
连接OD，
∵∠COD=23°，OD=OC，
∴∠OCD= （180°﹣23°）=（ ）°，
∴∠PCB=180°﹣∠ACB﹣∠OCD=（ ）°，
∵PC=PB，
∴∠P=180°﹣2×（ ）°=97°．
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的判定，三角函数．综合运用知
识的能力是解答关键.
26．（1）60°；（2）见解析，60°；（3）60°【分析】
（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周
角是直角，求出∠E的度数；
（2）同理解答（2）（3）．
【详解】
（1）如图（1），连接 ． 为等边三角形，
． 为直径， ，
．故答案为60°．
（2）如图（2），直线 交于点 ，连接 ．
为等边三角形， ．
为直径， ，
， ，
（3）如图（3），连接 ． ， 为等边三角形，
， 为直径， ，
．
【点拨】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确
作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．27．（1）见解析；（2）DM=1．
【分析】
(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC
中，根据 ，构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB
∴OM=OE
即：E为⊙O的切点；
∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD
∴OC平分∠ACD
∵CD⊥AB
∴∠ADC=90°
∴∠DAC+∠ACD=90°
∴∠OAC+∠OCA=45°
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，
即：∠AOC=135°
（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，∵AB=AC
∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x
∵CD=3+x
在Rt∆BCD中，由勾股定理得：
即：
解得：x=1或x=-1（舍去）
即DM=1．
【点拨】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建
方程．
28．（1） （2）见详解（3）
【分析】
（1）可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）根据抛物线与直线 交于 、 两点，直接将两式联立可以求出 、
坐标，从而确定点 的纵坐标以及 的长度，进一步可得出圆心 到 轴的距离等于半
径 ，即可得证最后结论；
（3）在（1）、（2）结论以及已知条件分别求出 、 的长，即可求得答案．
【详解】
解：（1）设抛物线方程为
∵抛物线的顶点坐标是
∴
∵抛物线经过点
∴∴
∴抛物线的解析式是：
（2）∵直线 与抛物线交于 、 两点
∴
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点
∴点 的纵坐标是
∵
∴ 的半径
∴圆心 到 轴的距离等于半径
∴ 与 轴相切
（3）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如图：∵由（2）可知， ，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案是：（1） （2）见详解（3）
【点拨】此题主要考查了求二次函数解析式，以及一次函数、二次函数以及圆的综合
应用，综合性比较强，难度较大．
29．（1）不是；
（2）54；（3） .
【分析】
（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理，得到BH=DH，根据圆周
角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°，在Rt△OBH
中可计算出 ， ，则 ，然后根据
奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到
AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等
得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有 ．
【详解】
解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四边形；
故答案为不是；
（2）
连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD中，∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，∴ ，
∴
∴
∵四边形ABCD是奇妙四边形，
∴ ，
∴ ；
（3） ．
理由如下：
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴在等腰△AOD中， ，
又∵ ，
∴∠BOM=∠BAC，同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中
∴ ，
∴OM=AE，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性
质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
30．（1）1；（2）①点A′在⊙O上；② ；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°
【分析】
（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．
（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题．
②证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长
即可解决问题．
③直接写出α的取值范围即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；
∵OA=OB，
则∠AOC=∠BOC= ×120°=60°，
∵OA=2，
∴OC=1．
故答案为1．
（2）①∵∠AOB=120°
∴∠APB= ∠AOB=60°，
∵∠PBA=30°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是⊙O的直径，
由翻折可知：∠PA′B=90°，
∴点A′在⊙O上．
②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，
∵BA′与⊙O相切，
∴∠OBA′=90°，
∴∠ABA′=120°，
∴∠A′BP=∠ABP=60°；
∵∠APB=60°，
∴△PAB为正三角形，
∴BP=AB；
∵OC⊥AB，
∴AC=BC；而OA=2，OC=1，
∴AC= ，
∴BP=AB=2 ．
③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
【点拨】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
