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专题3.21 圆内接正多边形（专项练习）
一、单选题
知识点一、已知正多边形求角度
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交
AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．如图，正五边形 内接于⊙ ， 为 上的一点（点 不与点 重合），则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(
)
A． B． C． D．
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
知识点二、求四边形外接圆的直径
5．如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(
)
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，下列等式中不一定成立的是
（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠5 C．∠BAD=∠DCE D．∠4=∠6
7．如图，已知 的半径为 ， 内接于 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．8．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最
大长度相等，则桌布下垂的最大长度 为( )
A． B． C． D．
知识点三、求正多边形的中心角
9．如图为正七边形ABCDEFG，以这个正七边形的顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点
画三角形，所画的三角形中，包含正七边形的中心的三角形个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
10．如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
A．6 mm B．12mm C．6 mm D．4 mm
11．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
12．如图，以正六边形 的对角线 为边，再作一个正六边形 ，若
，则 的长为（ ）A．2 B． C．3 D．
知识点四、由正多边形中心角求边数
13．如果一个正多边形的中心角为 ，那么这个正多边形的边数是（ ）．
A． B． C． D．
14．正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ，则这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
15．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
16．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
知识点五、正多边形和圆
17．已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（）
A． B． C． D．
18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
19．如图，已知正五边形 内接于 ，连结 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
知识点六、尺规作图-正多边形
20．设边长为 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 、 、 ，则
下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
21．下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．利用三角板画 的角 B．用直尺画一条线段
C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已
知线段
22．如图， 为 直径，作 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：1．作 的中垂线，交圆 于 两点；2．作 的中垂线，交圆 于 两点；
3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；
乙：1．以 为圆心， 长为半径作弧，交圆 于 两点；2．以 为圆心， 长为
半径作弧，交圆 于 两点；3．顺次连接 六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都不对 D．两人都对
23．如图，已知 ，求作： 内接正六边形 ，以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①先作直径 ；②作 的垂直平分线交 于点 、 ；③作 的垂直平分线
交 于点 、 ；④依次连接 ，六边形
即为所求（如图①）.
乙：① 上任取点 ，以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ；②以点 为圆
心， 为半径画弧交 于点 ；③同上述作图方法逆时针作出点 、 、 ；④依次
连接 ，多边形 即为正六边形（如图②）.
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都不对 B．甲对，乙不对
C．两人都对 D．甲不对，乙对
24．如图，以O为圆心， 长为半径画弧别交 于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以 长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接 、 ，则四边形 一定
是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
二、填空题
知识点一、已知正多边形求角度
25．如图，PA、PB是 的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则
∠A＋∠C＝_________°．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．
27．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则
∠DCE=_____°．
28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．
知识点二、求四边形外接圆的直径
29．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的
半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
30．如图，在△ABC中，∠C=45°，∠B=60°，BC为 +1，点P为边AB上一动点，过点
P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为_____．
31．如图，在圆内接四边形 中， ， ， ，则四边形
的面积为________．
32．如图，已知 为四边形 的外接圆， 为圆心，若 BCD=120 º ，
AB=AD=2cm，则 的半径长为__________ cm.知识点三、求正多边形的中心角
33．正八边形的中心角为______度．
34．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在 上，则∠CFD＝_____度．
35．如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点．若 为正多边形的中心，
则 __．
36．如图，在⊙ 的内接四边形 中， ， ，点 在弧 上．
若 恰好为⊙ 的内接正十边形的一边，弧 的度数为__________．知识点四、由正多边形中心角求边数
37．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十
边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .
38．如果正n边形的中心角是40°，那么n=_______.
39．如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝_____．
40．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若
∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为____________
知识点五、正多边形和圆
41．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
42．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
43．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM
的长为__．44．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝
_______.
知识点六、尺规作图-正多边形
45．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是 上的任意一点，则∠CPE的度
数为____．
46．如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x
轴上，顶点A的坐标为（1， ），则顶点D的坐标为______．
47．如图为4×4的网格（每个小正方形的边长均为1），请画两个格点正方形（顶点在小
正方形顶点处）要求：其中一个边长是有理数，另一个边长是大于3的无理数，并写出其
边长，∴边长为 ．∴边长为 ．48．如图， 、 、 是 上顺次三点，若 、 、 分别是 内接正三角形、
正方形、正 边形的一边，则 ______．
二、解答题
知识点一、已知正多边形求角度
49．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且弧CB=弧CD，
CE⊥DA交DA的延长线于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CAE；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．
知识点二、求四边形外接圆的直径
50．已知关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围；
（2）当 m = 2时，方程的两个根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．
知识点三、求正多边形的中心角
51．在下列正多边形中， 是中心，定义： 为相应正多边形的基本三角形．如图
1， 是正三角形 的基本三角形；如图2， 是正方形 的基本三角
形；如图3， 为正 边形 …的基本三角形．将基本 绕点 逆时
针旋转 角度得 ．
（1）若线段 与线段 相交点 ，则：
图1中 的取值范围是________；
图3中 的取值范围是________；
（2）在图1中，求证
（3）在图2中，正方形边长为4， ，边 上的一点 旋转后的对应点为 ，
若 有最小值时，求出该最小值及此时 的长度；
（4）如图3，当 时，直接写出 的值．知识点四、由正多边形中心角求边数
52．如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连
接CD，若 ，求 的半径．
知识点五、正多边形和圆
53．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=
AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在 上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．参考答案
1．B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度
数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°∠ABC=180°﹣105°=75°．∵ ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆
中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2．B
【分析】根据圆周角的性质即可求解.
【详解】
连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD= ,
故选B.
【点拨】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
3．C
【分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.
【详解】
根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，
根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，
根据圆周角定理可知∠D= ∠AOC，
因此∠B+∠D=∠AOC+ ∠AOC=180°，
解得∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．
故选C
【点拨】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4．B
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定
理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ ∠BDC＝65°，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理
解题意是解题的关键．
5．D
【详解】
∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故选D．
6．D【解析】
【分析】根据在同圆中，同弧所对的圆周角相等可得A、B选项中的结论正确，D选项错
误，根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得C选项中的结论正确．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠1=∠2，∠3=∠5，∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BAD=∠DCE，
则A、B、C选项结论都成立，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠4=∠ACD，但是不一定等于∠6，
故D选项结论错误，
故选D．
【点拨】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆周角定理，以及圆内接四边形的任
意一个外角等于它的内对角．
7．C
【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得
∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】
解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，∴AB= ，
故答案为：C．
【点拨】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．B
【详解】
如解图，正方形 是圆内接正方形， ，点 是圆心，也是正方形的对角线的
交点，则 ，又 是等腰直角三角形，作 ，垂足为 ，由垂径定理
知点 是 的中点，∴ ，∴ ．
解图
9．B
【详解】
分析：由题意可知分别以顶点A和其它六个顶点中的任两个顶点画三角形，要包含正七边
形的中心，只能与顶点相对应的两个顶点构成.
详解：如图：
故答案：B.
点睛：本题考查了多边形的对角线.
10．C【详解】
设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6mm,∠AOB=60°，
∴cos∠BAC= ，
∴AM=6× = (mm)，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= AC，
∴AC=2AM= (mm).
故选C.
11．B
【分析】利用正多边形的边长与半径相等得到正多边形为正六边形，然后根据正多边形的
中心角定义求解．
【详解】
解：因为正多边形的边长与半径相等，所以正多边形为正六边形，因此这个正多边形的中
心角为60°．
故选B．
【点拨】本题主要考查的是正多边形的中心角的概念，正确的理解正多边形的边长与半径
相等得到正多边形为正六边形是解决问题的关键．
12．C【分析】连接 ，根据六边形 是正六边形，得到 ，
，求得 .再利用六边形 是正六边形得到
，求出 ，证得 ，得到 ，
再利用勾股定理求得答案即可.
【详解】
如解图，连接 .
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ，CF平分∠AFE，
∴ .
∴ .
∵六边形 是正六边形，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .故选：C.
【点拨】此题考查正六边形的性质，三角形全等的判定及性质，此题的连线是解题的关键，
由此证得 ，将求线段 转化为求全等的对应线段CE.
错因分析 较难题.失分的原因是：没有掌握正六边形的基本性质.
13．B
【解析】
试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为 ．
考点：正多边形的中心角定义及求法．
14．A
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得
∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，
根据内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】
如图：
∵正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为 ，
∴半径之比为 ，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB， ，在直角△AOC中， ，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOB=60°，
则正多边形边数是： ，
∴多边形的内角和为： ，
故选：A．
【点拨】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化
成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．
15．B
【解析】
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．
【详解】
．
故这个正多边形的边数为12．
故选：B．
【点拨】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解
题的关键．
16．A
【解析】
分析：根据正多边形的中心角和为360°与正多边形的中心角相等，列式计算即可.
详解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数= =12．
故选：A．
点睛：本题考查了正多边形和圆的知识点，掌握正多边形的中心角和为360°与正多边形的
中心角相等，是解答本题的关键.
17．B【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【详解】
因为圆内接正三角形的面积为 ，
所以圆的半径为 ，
所以该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°＝ × ＝1，
故选B．
【点拨】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
18．A
【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝ ＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝ （180°﹣120°）＝30°，
故选A．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形
的内角和是解题的关键．
19．C
【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形
的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形 为正五边形
∴
∵∴
∴
故选C．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、
多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．
20．C
【分析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和
30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即 ，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 ，
由B中关系可得： ，解得 ，则 ，
所以C错误，D正确；
故选：C．【点拨】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
21．D
【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使
用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
【详解】
A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误；
B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误；
C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键．
22．D
【分析】
甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相
等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相
等
【详解】
甲：
∵BF是中垂线
∴四边形OCDE是菱形
∴△OCD, △OED都是等边三角形，
同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形乙：
∵AB=AO=BO=AF=OF
∴△OAB, △OAF都是等边三角形，
同理可得△OCD, △OED也是等边三角形
∴∠BOC=∠EOF=60°
∴△OBC, △OEF也是等边三角形
∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°
∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形
故选D
【点拨】
本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等
23．C
【详解】
由甲同学的作业可知， ，同理可知 ，
六边形 是正六边形，即甲同学的作业正确．由乙同学的作业可知 .
依次画弧易证 . 六边形 为正六边形．
24．B
【详解】
由题意可得： ，则四边形 是菱形．
25．219
【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝
∠PBA＝ （180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．
【详解】
解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝ （180°−102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为219°．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出
辅助线是解题的关键．
26．100°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角
互补是解题的关键.
27．n
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故答案为n
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角
互补．
28．115°
【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC
的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点拨】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
29．4 ．
【分析】连接BO并延长交AC于E，交 于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最
大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】连接BO并延长交AC于E，交 于D，连接AD、CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴ ，
∴OE⊥AC，点D为 的中点，
此时点D到AC的距离最大，
∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，
在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝ BD＝2，
由勾股定理得，AB＝ ＝2 ，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝ ×2×2 ×2＝4 ，
故答案为：4 ．
【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边
三角形的性质是解题的关键．
30．
【分析】当CP⊥AB时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：C、D、P、E四点
共圆，且直径为CP，由∠B=60°，BC为 +1，求出PC，从而得出半径OD的长度，然后
由∠ACB=45°，得到∠EOD=90°，利用等腰直角三角形的性质，可求出DE的值．
【详解】解：当CP⊥AB时，线段DE的值最小（因为四边形C、D、P、E四点共圆，PC是直径，
BC= 和∠B=60°是定值，所以直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小）；如图：
∵PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，
∴∠CDP=∠AEP=90°，
∴∠CDP+∠AEP=180°，
∴C、D、P、E四点共圆，且直径为CP，
∵∠B=60°，CP⊥AB，BC= ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵∠ACB=45°，
∴∠EOD=90°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴ ；
∴DE的最小值为： .故答案为： .
【点拨】本题考查了四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角
形，正确的判断当AP⊥BC时，线段DE的值最小是解题的关键．
31．
【解析】
【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，证△AEB≌△AFD，推出AE=AF，证
Rt△AEC≌Rt△AFC，推出四边形ABCD的面积是2S ，求出△ACF的面积即可．
△ACF
【详解】
如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
∵∠ADF+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADF=∠ABE.
∵∠ABE=∠ADF，AB=AD，∠AEB=∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积=四边形AECF的面积，AE=AF.
又∵∠E=∠AFC=90°，AC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC.
∵∠ACD=60°,∠AFC=90°，
∴∠CAF=30°，
∴CF= ,AF= ，
∴四边形ABCD的面积=2S =2× CF×AF= .
△ACF
故答案为 .【点拨】本题主要考查对含30°角的直角三角形，三角形的面积，圆内接三角形的性质，
全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理
是解此题的关键.
32．
【解析】
【分析】连接BD，作OE⊥AD，连接OD，先由圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，
再由AD=AB可得出△ABD是等边三角形，则DE= AD，∠ODE= ∠ADB=30°，根据锐
角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，∴OD= ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关
键．
33．45°
【分析】运用正n边形的中心角的计算公式 计算即可.
【详解】
解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为 ，
故答案为45°.
【点拨】本题考查了正n边形中心角的计算.
34．36．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD= =72°，
∴∠CFD= ∠COD=36°，
故答案为：36．【点拨】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
35．30°
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为 ，正多边形的每个外角相等即可求出多边形
的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径
OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可.
【详解】
多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
∴∠AOD=3× =120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA= =30°，
故答案为30°.
【点拨】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角、半径，等边对等角等知识，熟
练掌握相关知识是解题的关键.
36．
【解析】
连接 ， ， ， ，
∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 是正三角形，
∴ ， ，
∵ 恰好是⊙的内接正十边形的一边，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为84°.
37．15.
【分析】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结
果进行分析即可得.
【详解】
连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°-36°=24°，
即360°÷n=24°，∴n=15，
故答案为15.
【点拨】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．
38．9
【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【详解】
解： ．
故答案是：9．
【点拨】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边
形的边数之间的关系是关键．
39．9
【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【详解】
∵正n边形的中心角＝ ＝40°，
n＝ ＝9．
故答案为9．
【点拨】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边
形的边数之间的关系是关键．
40．15
【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】
如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°
∴这个正多边形的边数为 =15
故答案为：15．【点拨】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
41．72°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角
形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的
外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
【详解】
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键
42．1800°
【详解】
试题分析：这个正多边形的边数为 =12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
考点：多边形内角与外角．
43．3
【详解】
连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM= =30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6× =3 ，
故答案为3 .
44．48°
【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算
即可．
【详解】
连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB= =72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM= =120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题
的关键．45． ．
【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角
与圆周角的关系定理计算即可．
【详解】
连接OD,OC,OE,
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠COD=∠DOE= =45°,
∴∠COE=45°+45°=90°,
∴∠CPE= ∠COE
=45°.
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心
角是解题的关键．
46．（ ， ）
【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标．
【详解】
解：根据题意，点D与点A关于原点对称，
∵点A的坐标为：（1， ），
∴点D的坐标为：（ ， ）；
故答案为：（ ， ）；
【点拨】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键．
47．2；
【分析】利用勾股定理分别画出边长为无理数和有理数的正方形即可．
【详解】
如图所示：
边长为2，边长为 ，
故答案为：2； ．
【点拨】此题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质，勾股定理，无理数，解题的关键
是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
48．12
【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角 即可解决问题．
【详解】
如图，连接OA、OC、OB．∵若AC、AB分别是 内接正三角形、正方形的一边，
∴ ， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ 12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连
接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，
熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键．
49．（1）见解析；（2）见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）连接BD，根据圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，可得∠CAB
＝∠CAE；
（2）连接OC，由题意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可证∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得
∠ECO＝∠ACB＝90°，则可证CE是⊙O的切线；
（3）过点C作CF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得CE＝CF，可证△CED≌△CFB，可
得DE＝BF，根据勾股定理可求⊙O的半径长．
【详解】
证明：（1）连接BD
∵弧CB=弧CD，
∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC∵四边形ACBD是圆内接四边形
∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，
∴∠CAB＝∠CAE；
（2）连接OC
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°＝∠AEC，
又∵∠CAB＝∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∴∠BCO＝∠ACE，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（3）过点C作CF⊥AB于点F，
又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，
∴AE＝AF，
在△CED和△CFB中，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∠EDC=∠BFC，
CD=BC，∴△CED≌△CFB（AAS），
∴ED＝FB，
设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，
∴⊙O的半径的长为 ．
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正
确识别图形是解题的关键．
50．（1） ；（2）
【分析】（1）根据方程有实数根可得 ，即可得到结果；
（2）解方程求出x，根据矩形外接圆的性质可得，只要求出矩形对角线的长度即可；
【详解】
（1）∵关于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有实数根，
∴ ，
由方程可得： ， ， ，
∴ ，
∴
解得： ．
（2）当m=2时，方程为x2-5x+4=0，
解得： ， ，
∴矩形的两边分别为1和4，
根据矩形外接圆的性质可得对角线的长即为外接圆的直径，
∴外接圆直径= ．故该外接圆的直径是 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和方程求解，准确理解矩形外接圆，
判断出直径是解题的关键．
51．（1） ， ；（2）见解析；（3）最小值： ，此时
＝2+ ；（4）
【分析】（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题；
（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥ 于F，连接 ．利用全等三角形的性质分别
证明：BE＝ ， 即可解决问题；
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接 交BC于点
，连接 ，此时 的值最小，即 有最小值．
（4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；
【详解】
（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心，
∴∠AOB＝120°
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°，
图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝ ，
∴∠α的取值范围是：0°＜α≤ ，
故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤ ．（2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥ 于F，连接 ．
∵∠OEB＝∠OF ＝90°，
根据题意，O是中心，∴OB＝OC，
∴∠OBE＝∠ ，
∴△OBE≌△O F（AAS），
∴OE＝OF，BE＝ F
∵ ，
∴Rt△ ≌Rt△ （HL），
∴ ，
∴ ．
（3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接 交BC于点
，连接 ，此时 的值最小．∵∠ ＝135°，∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠ ＝45°，
∴ ∥BC，
∵OK⊥BC，OB＝OC，
∴BK＝CK＝2，OB＝2 ，
∵ ∥ ，OK＝KE，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝2+ ，
在Rt△ 中， ＝ ．
∵ ，
∴ 有最小值，最小值为 ，此时 ＝2+ ．
（4）如图3中，
∵ABCDEF…是正n边形，O是中心，
∴∠BOC＝ ，
∵OC⊥ ， ，∴∠ ＝ ∠ ＝ ∠BOC＝ ，
∴α＝ ．
【点拨】本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定
和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
52．6cm
【解析】
【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，AD为内接正十二边形的一
边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，进而证得△COD是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA、OD、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【点拨】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识.正确作出辅助线并证明三角形OCD是等腰直角三角形是解题的关键．
53．（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【分析】（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得 ，
结合DF=BE，即可完成证明；
（2）由（1）结论得AF=AE， ；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而
得到△EAF是等腰直角三角形，即EF= AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得
∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，H三点共线；根据BC=CD，得 ，从而推
导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可
得到答案．
【详解】（1）如图， ， ， ，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF= AE
即DE-DF= AE
∴DE-BE= AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD= BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4 ．【点拨】本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解
题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角
形、旋转的性质，从而完成求解．
