专题3.3函数的奇偶性与周期性2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 3.3 函数的奇偶性与周期性 练基础 1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数 ，则“ ”是“函数 为 奇函数”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 化简“ ”和“函数 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】 ，所以 ， 函数 为奇函数， 所以 ，所以 . 所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分必要条件. 故选：C 2．（2021·福建高三三模）若函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】 利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案 【详解】 解：由图可知，当 时， ， 取 ，则对于B， ，所以排除B，对于D， ，所以排除 D， 当 时，对于A， ，此函数是由 向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，所以 时， 恒成立，而图中，当 时， 可以小于1，所以排除A, 故选：C 3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断. 【详解】 A.函数 的定义域是 ，所以函数是非奇非偶函数，故错误； B. 在 上单调递减，故错误；C.因为 ，所以函数是奇函数，且在 上单调递增，正确； D.因为 ，所以函数是偶函数，故错误； 故选： C． 4．（2021·湖南高三月考）定义函数 则下列命题中正确的是（ ） A． 不是周期函数 B． 是奇函数 C． 的图象存在对称轴 D． 是周期函数，且有最小正周期 【答案】C 【解析】 当 为有理数时恒有 ，所以 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论 是有理数 还是无理数总有 ，所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称． 【详解】 当 为有理数时， ， ， 任何一个有理数 都是 的周期， 是周期函数，且无最小正周期， 选项 ， 错误， 若 为有理数，则 也为有理数， ， 若 为无理数，则 也为无理数， ，综上，总有 ， 函数 为偶函数，图象关于 轴对称， 选项B错误，选项C正确， 故选：C 5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是 （ ） A．若 是奇函数，则 的图像关于点 对称 B．若对 ，有 ，则 的图像关于直线 对称 C．若函数 的图像关于直线 对称，则 为偶函数 D．若 ，则 的图像关于点 对称 【答案】ACD 【解析】 四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、 周期性和奇偶性就可以得到正确答案. 【详解】 对A， 是奇函数，故图象关于原点对称， 将 的图象向右平移1个单位得 的图象， 故 的图象关于点（1，0）对称，正确； 对B，若对 ，有 ， 得 ，所以 是一个周期为2的周期函数， 不能说明其图象关于直线 对称，错误.； 对C，若函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确； 对D，由 得 ， ， 的图象关于（1，1）对称，正确. 故选：ACD. 6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数 在区间 上是增函数,则满足 的 的取值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【解析】 根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．． 【详解】 由题意 ，解得 ，只有BC满足． 故选：BC． 7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则 下列说法正确的是（ ） A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数 C． 为奇函数 D． 为奇函数 【答案】BD 【解析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合 ， 为奇函数判断. 【详解】 因为函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 ，即 ，故B正确A错误； 因为 ，且 为奇函数，所以 为奇函数，故D正确； 因为 与 相差1，不是最小周期的整数倍，且 为奇函数，所以 不为奇 函数，故C错误. 故选：BD. 8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对 ， ”的函数 ___________. 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 分析可知函数 的定义域为 ，且该函数为奇函数，由此可得结果. 【详解】 由题意可知，函数 的定义域为 ，且该函数为奇函数，可取 . 故答案为： （答案不唯一）. 9．（2021·全国高三二模（理））已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若 ，则 __________． 【答案】1【解析】 根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而 . 【详解】 函数关于点 对称，则 ， 又 为 上的奇函数，则 ， 因此函数的周期为4， 因此 . 故答案为：1. 10．（2021·上海高三二模）已知函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，且 ，若 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 通过计算 可得． 【详解】 因为 是奇函数，所以 ， 即 ，所以 ． 故答案为： ． 练提升 TIDHNE 1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为 的函数 的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于 轴对称的图象，则关于函数 的性质叙述一定正确的是（ ） A． B． C． 是周期函数 D． 存在单调递增区间 【答案】C 【解析】 通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解. 【详解】 定义域为R的函数 的图象沿 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于 轴 对称的图象， ∴ 的图象既有对称中心又有对称轴，但 不一定具有奇偶性，例如 ， 由 ，则 为奇函数，故选项A错误； 由 ，可得函数 图象关于 对称，故选项B错误； 由 时， 不存在单调递增区间，故选项D错误； 由已知设 图象的一条对称抽为直线 ，一个对称中心为 ，且 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的一个周期 ，故选项C正确. 故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数 在 上是减函数，且满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据对数运算性质和对数函数单调性可得 ，根据指数函数单调性可知 ；利 用 为减函数可知 ，结合 为奇函数可得大小关系. 【详解】 ， 即： 又 是定义在 上的减函数 又 为奇函数 ，即： . 故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且 ，当 时， ，则f(101)+f(105)的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】 根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由 求得函数f(x)是周期为4的周期函数，由 此可计算得选项． 【详解】 解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0， 又由x∈[0，1]时， ，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有 ， 又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数， 则 ， 故有f(101)+f(105)=3， 故选：A． 4．（2021·上海高三二模）若 是R上的奇函数，且 在 上单调递增，则下列结论： ① 是偶函数； ②对任意的x∈R都有 ； ③ 在 上单调递增； ④反函数 存在且在 上单调递增． 其中正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【解析】 根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择. 【详解】 对于①，由 是 上的奇函数，得 ，∴ ，所以 是偶函数，故①正确； 对于②，由 是 上的奇函数，得 ，而 不一定成立，所以对任意的 ，不一定有 ，故②错误； 对于③，因为 是 上的奇函数，且 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，且 ，因此 ，利用复合函数的单调性，知 在 上单调递增，故③正确. 对于④，由已知得 是 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值 域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数 存在且在 上单 调递增，故④正确； 故选：C 5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数 是偶函数， 是奇函数，并且当 ， ，则下列选项正确的是（ ） A． 在 上为减函数 B． 在 上 C． 在 上为增函数 D． 在 上 【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得 ，结合函数的解析式可得当 时函数的解析式，据此分析 可得答案． 【详解】 解：根据题意，函数 为奇函数，则有 ，即 ， 又由 为偶函数，则 ，则有 ， 即有 ， 当 ， 时， ， 若 ，则 ， 则 ， 则当 时，有 ，则 为增函数且 ； 故 在 上为增函数，且 ； 故选： ． 6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数 对任意 都有 成立， ， 则下列的点一定在函数 图象上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】 根据任意 满足 ，得到 是奇函数判断. 【详解】因为任意 满足 ， 所以 是奇函数， 又 ，所以令 ，则 ， 得 ， 所以点 ，且点 与 也一定在 的图象上， 故选：ABC． 7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 有2个零点 B．当 时， C．不等式 的解集是 D． ，都有 【答案】BCD 【解析】 根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】 对A，当 时，由 得 ，又因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，故函数 有3个零点，则A错； 对B，设 ，则 ，则 ，则B对； 对C，当 时，由 ，得 ；当 时，由 ， 得 无解；则C对； 对D， ，都有，则D对． 故选：BCD． 8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如： ， .已知函数 ，下列说法中正确的是（ ） A． 是周期函数 B． 的值域是 C． 在 上是减函数 D． ， 【答案】AC 【解析】 根据 定义将函数 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质. 【详解】 由题意可知 ， ， 可画出函数图像，如图： 可得到函数 是周期为1的函数，且值域为 ，在 上单调递减，故选项AC正确，B错误；对 于D，取 ，则 ，故D错误.故选：AC． 9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数 满足以下条件：① 的定义域是 ，且其图象是一条 连续不断的曲线；② 是偶函数；③ 在 上不是单调函数；④ 恰有2个零点.则函数 的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 利用函数图象变换画出选项A，B，C，D对应的函数图象，逐一分析即可求解. 【详解】 解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但 的定义域为 ，所以选项B错误； 函数 的定义域是 ，在 ， 单调递减，在 ， 单调递增，但 有3个零点，选项A错误； 函数 的定义域是 ，当 时， 的图象对称轴为 ， 其图象是开口向下的抛物线，故 在 ， 单调递增，在 ， 单调递减， 由图得 恰有2个零点，选项C正确； 函数 的定义域是 ，在 ， 单调递减，在 ， 单调 递增，且 有2个零点，选项D正确.故选：CD. 10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 的图象与 的图象的交点个数为___________. 【答案】7 【解析】 由题设可知 的周期为2，结合已知区间的解析式及 ，可得两函数图象，即知图象交点个数. 【详解】 由题意知： 的周期为2，当 时， ， ∴ 、 的图象如下： 即 与 共有7个交点， 故答案为：7. 【点睛】 结论点睛： 有 的周期为 . 练真题 TIDHNE 1. （2020·天津高考真题）函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】 由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选 项CD错误； 当 时， ，选项B错误. 故选：A. 2.（2020·全国高考真题（理））设函数 ，则f(x)（ ） A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】D 【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称， 又 ， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当 时， ， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，排除B； 当 时， ， 在 上单调递减， 在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确. 故选：D. 3．（2020·海南省高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 可得： 或 或 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ， 故选：D. 4.（2018年理全国卷II）已知f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x)．若 f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3) +⋯+f(50)=( ) A. −50 B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】 因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)，所以 f(1+x)=−f(x−1)∴f(3+x)=−f(x+1)=f(x−1)∴T=4,因此 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，因为 f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0， 从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C. f x 0, 5.（2019·全国高考真题（文））设 是定义域为R的偶函数，且在 单调递减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2     3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4    2    3   1 D． f   2 3    f   2 2    f   log 3 4   【答案】C 【解析】  1  f log  f log 4 ∵ f x 是R的偶函数，   3 4   3 ． 2 3 2 3     ∵ log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2， 3 3 3 f x 又 在(0，+∞)单调递减，  2   3  f log 4 f 2  3  f 2  2  ∴ 3 ，       3    2   1  f   2 2    f   2 3    f   log 3 4   ，故选C． f(x) x0 f(x)eax f(ln2)8 6.（2019·全国高考真题（理））已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 a __________. 【答案】-3 【解析】 f(x) x0 x0 f(x)f(x)eax 因为 是奇函数，且当 时 ， ． ln2(0,1) f(ln2)8 又因为 ， ， 所以 ealn2 8 ，两边取以e为底的对数得 aln23ln2 ，所以 a3 ，即 a 3 ．