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专题 3.1 概率的进一步认识
一．选择题（共13小题）
1．（2022•泰州）如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，
则甲和乙相邻的概率为
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意可知，
甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻是必然事件，
甲和乙相邻的概率为1，
故选： ．
2．（2022•临沂）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了 ， 两条体温快速检测通道，
该校同学王明和李强均从 通道入校的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
由图可知，共有4种等可能的结果，其中王明与李强均从 通道入校的结果只有1种．
王明和李强均从 通道入校的概率为 ．
故选： ．
3．（2022•黑龙江）袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
抽取的两个球数字之和大于6的概率是： ．
故选： ．
4．（2022•北京）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．
从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、
第二次摸到绿球的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
红 绿
红 （红，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为 ，
故选： ．
5．（2022•山西）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”
“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上
（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是A． B． C． D．
【解答】解：设立春用 表示，立夏用 表示，秋分用 表示，大寒用 表示，树状图如
下，
由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可
能性2种，
小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ，
故选： ．
6．（2022•常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
共有20种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8种，
这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为 ．
故选： ．
7．（2022•安徽）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、
白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成
黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的
有3种结果，
所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ，
故选： ．
8．（2022•宜昌）某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者
都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口
文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
① ② ③①
①，① ②，① ③，①
②
①，② ②，② ③，②
③
①，③ ②，③ ③，③
由表知，共有9种等可能结果，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种结果，
所以小明和小慧选择参加同一项目的概率为 ，
故选： ．
9．（2022•烟台）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是
A． B． C． D．1
【解答】解：把 、 、 分别记为 、 、 ，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即 、
、 、 ，
同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为 ，故选： ．
10．（2022•武汉）班长邀请 ， ， ， 四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤
号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则 ， 两位同学座位相邻的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
4个 中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中 ， 两位同学
座位相邻的结果数为12，
故 ， 两位同学座位相邻的概率是 ．
故选： ．
11．（2022•广州）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2
名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，
甲被抽中的概率为 ，
故选： ．
12．（2022•济南）某班级计划举办手抄报展览，确定了“ 时代”、“北斗卫星”、
“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一
个主题的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把“ 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为 、 、
，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为 ，
故选： ．
13．（2022•牡丹江）在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外
无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球
的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，
两次都摸到红球的概率是 ，
故选： ．
二．填空题（共6小题）
14．（2022•辽宁）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数 89 134 179 226 271 451 904
0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
合格率
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 0. 9 ．
【解答】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9，
故答案为：0.9．
15．（2022•益阳）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了
解南迁到该区域某湿地的 种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段
时间后观察发现，200只 种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 80 0 只
种候鸟．
【解答】解：设该湿地约有 只 种候鸟，
则 ，
解得 ．
故答案为：800．
16．（2022•重庆）有三张完全一样正面分别写有字母 ， ， 的卡片．将其背面朝上
并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽
取的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
【解答】解：根据题意列表如下：共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为 ，
故答案为： ．
17．（2022•聊城）如图，两个相同的可以自由转动的转盘 和 ，转盘 被三等分，分
别标有数字2，0， ；转盘 被四等分，分别标有数字3，2， ， ．如果同时转动
转盘 ， ，转盘停止时，两个指针指向转盘 ， 上的对应数字分别为 ， （当指针
指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点 落在直角坐标系第二象限的概率
是 ．
【解答】解：列表如下：
2 0
3
2
由表可知，共有12种等可能结果，其中点 落在直角坐标系第二象限的有2种，
所以点 落在直角坐标系第二象限的概率是 ，故答案为： ．
18．（2022•新疆）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为
．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率 ．
故答案为 ．
19．（2022•河南）为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，
某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率
为 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，
恰好选中甲和丙的概率为 ，
故答案为： ．
三．解答题（共11小题）
20．（2022•成都）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准
年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节
日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们
每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．等级 时长 人数 所占百分
（单位： 比
分钟）
4
20
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数为 5 0 ，表中 的值为 ；
（2）该校共有500名学生，请你估计等级为 的学生人数；
（3）本次调查中，等级为 的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活
动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为 （人 ，
所以 ；
故答案为：50； ；
（2） （人 ，
所以估计等级为 的学生人数为200人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率 ．
21．（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为 ：
篮球， ：足球， ：乒乓球， ：羽毛球， ：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机
抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目 所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列
表的方法求他俩选择相同项目的概率．
【解答】解：（1） （名 ，
所以此次调查共抽取了100名学生；
（2） 项目的人数为： （名 ，
条形统计图补充为：（3）在此扇形统计图中，项目 所对应的扇形圆心角为： ；
故答案为： ；
（4）画树状图为：
共有25种等可能的结果，其中相同项目的结果数为5，
所以他俩选择相同项目的概率 ．
22．（2022•遂宁）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，
激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的
人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选 1项），
制作了如图统计图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花
样滑冰运动的学生有 人；（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为 、花样滑冰记为 、自由式滑雪记为 、单板滑雪记为 ，学校
将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目
中恰有一项为自由式滑雪 的概率．
【解答】解：（1） 调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的
，
一共调查了 （人 ，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 （人 ，
故答案为：100，800；
（2） 一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占 ，
爱好单板滑雪的学生数为 （人 ，
爱好自由式滑雪的学生数为 （人 ，
补全条形统计图如下：
（3）从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记 的结果有： ， ， ， ， ，
， ，一共6种等可能的结果，
（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 ．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 的概率是 ．
23．（2022•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查
了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制
如下统计表：
等级 一般 较好 良好 优秀
阅读量 3 4 5 6
本
频数 12 14 4
频率 0.24 0.40
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 5 0 名学生；表中 ， ， ；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加
读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有： （名 ，
， ， ，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2） 所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为： ；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
所选2名同学中有男生的概率为 ．
24．（2022•资阳）某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读
四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成
如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列
表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为： （人 ，
则科普类的学生人数为： （人 ，
补全条形统计图如下：
（2）愿意参加劳动社团的学生人数为： （人 ；
（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为 、 、 ，
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为 ．
25．（2015•盘锦）为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部
门对 、 、 、 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过
检测得出 厂家的合格率为 ，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统
计图．（1）抽查 厂家的零件为 50 0 件，扇形统计图中 厂家对应的圆心角为 ；
（2）抽查 厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整；
（3）通过计算说明合格率排在前两名的是哪两个厂家；
（4）若要从 、 、 、 四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，
请用“列表法”或“画树形图”的方法求出（3）中两个厂家同时被选中的概率．
【解答】解：（1） 厂的零件比例 ，
厂的零件数 件；
厂家对应的圆心角为 ；
（2） 厂的零件数 件，
厂的合格零件数 件，
如图：
（3） 厂家合格率 ，
厂家合格率 ，
厂家合格率 ，
厂家合格率 ，合格率排在前两名的是 、 两个厂家；
（4）根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中 、 的有2种，
则 （选中 、 ．
26．（2022•东营）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主
义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了
：青年大学习； ：青年学党史； ：中国梦宣传教育； ：社会主义核心价值观培育
践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查
根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 20 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加 项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的
概率．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为： （名 ，
故答案为：200；（2） 的人数为： （名 ，
补全条形统计图如下：
（3） （名 ，
答：估计参加 项活动的学生为512名；
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为 ．
27．（2022•营口）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵
读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依
次记为 ， ， ， ．小雨和莉莉两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随
机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）小雨抽到 组题目的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．【解答】解：（1）小雨抽到 组题目的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果有4种，
小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率为 ．
28．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、
国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取
了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下
两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 30 0 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有 《出师表》、 《观沧海》、 《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方
法，求甲乙两人至少有一人抽到 《出师表》的概率．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为： （人 ；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为： （人 ；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为： ；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为： （人 ；
（5）列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到 有5种，
所以两人至少有一人抽到 《出师表》的概率为 ．
29．（2022•河池）为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四
个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 5 0 ，圆心角 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有 ， ， ， 四人成绩均为满分，现从中抽取 2人代表学校参
加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到 ， 两人同时参赛的概率．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是： ，
则圆心角 ，
故答案为：50，144；
（2）成绩优秀的人数为： （人 ，
补全条形统计图如下：（3） （人 ，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到 ， 两人同时参赛的结果有2种，
恰好抽到 ， 两人同时参赛的概率为 ．
30．（2022•连云港）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都
做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢
“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做
出3种手势中的1种．
（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．
【解答】解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 ；
故答案为： ；
（2）画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，
则乙不输的概率是 ．
