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专题 3.3 函数的奇偶性、周期性与对
称性
题型一 判断函数的奇偶性
题型二 利用奇偶性求函数值或参数值
题型三 利用奇偶性求解析式
题型四 函数周期性的应用
题型五 函数对称性的应用
题型六 单调性与奇偶性的综合问题
题型七 对称性、周期性与奇偶性的综合问题
题型一 判断函数的奇偶性
例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数 不是偶函数，判断选项A，根据
函数 的定义域判断选项B，判断得 ，从而得函数 为偶函
数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据
，得函数 为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断
选项D.
【详解】对A，二次函数 的对称轴为 ，
不是偶函数，故A错误；
对B，函数 的定义域为 ，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；
对C， ，
定义域为 ，所以函数 是偶函数，
结合三角函数的性质易判断函数 无最小值，故C错误；
对D， ，定义域为 ，
所以函数 是偶函数，因为 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 有最小值 ，故D正确.
故选：D
例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数 ， ，则大致图象如图
的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】 ， 的定义域均为 ，且 , ，
所以 为奇函数， 为偶函数.
由图易知其为奇函数，而 与 为非奇非偶函数，故排除AB.
当 时， ，排除C.
故选:D．
练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.
【详解】显然各项函数的定义域均为R，
，偶函数，A不符合；
，奇函数，B符合；
，非奇非偶函数，C不符合；
，非奇非偶函数，D不符合.
故选：B
练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数 是（ ）A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】由函数 可知，定义域为 关于原点对称，又
，故函数为 内的偶函数.
故选：B
练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.
【详解】对于A, 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函
数，故A错误，
对于B， 的定义域为 ，定义域关于原点对称，又
，所以 为奇函数，但在 单调递减，故B错误，
对于C， 的定义域为 ,关于原点对称，又 ，故 为偶
函数，故C错误，
对于D， 由正切函数的性质可知 为奇函数，且在 单调递增，
故D正确，
故选：D
练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是
严格增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数 在定义域 上不是严格的单调函数，不符合题意；
对于B中，函数 的定义域为 ，所以为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C中，函数 ，可得 ，
所以函数 不是奇函数，不符合题意；对于D中，函数 ，在定义域 上严格的单调递增函数，
且 ，所以函数 为奇函数，符合题意.
故选：D.
练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性证明函数 为偶函数；分别求出 ，利用排
除法，结合选项即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，
则函数 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；
又 ，故排除AB，D符合题意.
故选：D.
题型二 利用奇偶性求函数值或参数值
例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若 为奇函数，
则 （ ）A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义，对 分类讨论即可得解.
【详解】因为函数 为奇函数，所以 的定义域关于原点对称.
若 ，则 的定义域 不关于原点对称，
所以 的定义域为 且 ，
所以 ，解得 .
所以 ，定义域为 .
令 ，得 ，故 ，
此时经检验， 为奇函数.
故选：C.
例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数 且
，则 的值为__________
【答案】
【分析】由函数 的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知
的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性
质求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
故答案为： .
练习6．（2022秋·高三课时练习） 为奇函数， 为偶函数，且
则 （ ）
A．3 B．-1 C．1 D．-3【答案】A
【分析】根据函数奇偶性可知 ，解方程组即可求得 .
【详解】因为 为奇函数， 为偶函数，
则
所以
两式相加可得 ，即
故选：A.
练习7．（2023·辽宁·校联考二模）“ ”是“函数 是奇函数”
的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】函数 为奇函数，解得 ，判断 与 的互推关
系，即可得到答案.
【详解】当函数 为奇函数，
则 ，
解得 .
所以“ ”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
练习8．（2022秋·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数
是偶函数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据 为偶函数求出 ，再利用基本不等式求解.
【详解】由 为偶函数可得 ，即 ，
所以 ．
因为 ，且 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，当且仅当 ，即 时， 取最小值4．
故选：A
练习9．（2023·广西玉林·统考三模）函数 ，若 ，则
________．
【答案】3
【分析】根据题意可得 ，结合 计算即
可求解.
【详解】由题得 ，
∴ ，
所以 ．
故答案为：3.
练习10．（2023·上海金山·统考二模）已知 是定义域为 的奇函数，当 时，
，则 __________.
【答案】
【分析】根据奇函数性质求解即可.
【详解】因为函数 是定义域为 的奇函数，
所以 ，
故答案为： .
题型三 利用奇偶性求解析式
例5．（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数 则 __________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，先求当 时， ， ，再进一步求解
.
【详解】当 时， ， ，
则 ．
故答案为： .
例6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知 是定义域为R的奇函数，当 时， ，则当 时， 的表达式为_________．
【答案】 /
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出 时的解析式作答.
【详解】 是定义域为R的奇函数，当 时， ，
则当 时， ， ，
所以当 时， 的表达式为 .
故答案为：
练习11．（2023·安徽马鞍山·统考三模）函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶函数的定义可得 ，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可得 ，解得 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
练习12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是奇函数，函数 是偶函数．若
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得 ，联立可得 ，
即得答案.
【详解】由函数 是奇函数，函数 是偶函数， ，
故 ，即 ，
将该式和 相减可得 ，则 ，
故选：C
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
，则函数 的解析式为_________．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解即可.
【详解】由于函数 是 上的奇函数，则 .
当 时， ，
设 ，则 ，则 ，
所以 .
综上所述， .
故答案为：
【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：
（1）设：要求哪个区间的解析式， 就设在哪个区间；
（2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导；
（3）转：根据 的奇偶性，把 写成 或 ，从而解出 .
练习14．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）函数 为偶函数，当 时，
，则 时， ___________．
【答案】
【分析】由偶函数的定义求解．
【详解】 时， ， 是偶函数，
∴ ，
故答案为： ．
练习15．（2022秋·安徽马鞍山·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）已知 是
定义在 上的奇函数，当 时， ．(1)求 的解析式；
(2)若方程 有两个实数解，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，则 ， ，然后由函数 是定义在 上的奇函
数求解 的解析式.
（2）在同一坐标系中作出函数 的图象，根据方程 有两个解，转化
为函数 的图象有两个交点求解.
【详解】（1）设 ，则 ，
所以 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以
所以 ；
（2）在同一坐标系中作出函数 的图象，
因为方程 有两个解，
所以函数 的图象有两个交点，
由图象知： 或 ，
所以 的取值范围是 .
题型四 函数周期性的应用
例7．（2023·山西运城·统考三模）已知定义在 上的函数 满足 ，为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数 的周期以及满足等式 ，赋值求得 ，
利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为
6，
又 为奇函数，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
例8．（2023·陕西商洛·统考三模）定义在R上的奇函数 满足 R，
，且当 时， ，则 _________．
【答案】1012
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.
【详解】因为 是奇函数，且 ，
所以 ，
故 是周期为4的周期函数．
所以 ，
令 ,可得 ，所以 ，
因为函数为奇函数且周期为4，所以 ，
则 ，
则 ．
故答案为:1012.
练习16．（2023春·江西·高三江西师大附中校考阶段练习）已知定义在 上的函数
满足 ，且当 时， ，则 的值为（
）
A．－3 B．3 C．－1 D．1【答案】D
【分析】根据 ，可得 ，从而可得函数的周期，再根
据函数的周期性计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
则 .
故选：D.
练习17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过 ， 和 的方程联立，得到 ，根据函数的
周期性赋值求解.
【详解】当 时，由 ①，
得 ②，
①②联立，可得 ,
得 ③
把①代入③可得 ，即 ，
故 ，
故选：C.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】先利用 求出函数 的周期，利用周期性转化 代入
即可求解.
【详解】依题意，
因为 ，所以 ，所以 ，所以函数 的周期为4，
所以 .
又因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 .
故选：B.
练习19．（2023·广东·高三专题练习）已知 ，函数 都满足 ，
又 ，则 ______．
【答案】 /
【分析】首先确定函数的周期，再根据条件和函数的周期，求函数值.
【详解】根据题意， ，显然 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 的周期为8，所以 .
故答案为：
练习20．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知定义在R上的奇函数
满足 恒成立，且 ，则 的值为______．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性得到 ，且 ，结合函数的周期和 ，
求出 ，得到答案.
【详解】因为 是定义在R上的奇函数，
故 ，且 ，
又 ，所以 ，
且 ，
当 时， ，故 ，解得： ，种，当 时， ，
又 ，所以 ，
故 .
故答案为：-1
题型五 函数对称性的应用
例9．（2023·湖北·统考二模）已知函数 图象的对称轴为 ，则 图象的对
称轴为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设条件可得 ，故可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
故 ，整理得到 ，
所以 图象的对称轴为 .
故选：C.
例10．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数 满足： ，
且 .请写出符合条件的一个函数的解析式 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据已知 ，且 得出对称轴和对称中心，确定一个
具体函数即可.
【详解】因为 .得出对称中心 ，且 得出对称轴为 轴，
且周期为4的函数都可以.
故答案为：
练习21．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数 ，则 的图象
（ ）
A．关于直线 对称B．关于点 对称 C．关于直线 对称D．关于原点对称【答案】B
【分析】利用函数的对称性及奇偶性即可求解.
【详解】对于A，由 ，所以 的图象不关于直线
对称，故A错误；
对于B，由 ，所以 的图象关于点 对称．故
B正确；
对于C，由 ，所以 不是偶函数，故 的图象
不关于直线 对称，故C错误；
对于D，由 ，所以 不是奇函数，故 的图
象不关于原点对称，故D错误；
故选：B.
练习22．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在 上的奇函数 满足
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
【详解】由 及 是奇函数得 ， ，
所以 ，所以 是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
练习23．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数 满足 ，
若 与 图象的交点为 ，则
（ ）
A． B．0 C．4 D．8
【答案】D
【分析】由 和 的图象都关于直线 对称，利用对称性求解.
【详解】由 可知 的图象关于直线 对称， 的图象关于
直线 对称，
所以 .故选：D
练习24．（2021春·陕西汉中·高三统考期中）已知二次函数 ，满足
，且 ，则不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性、单调性求得正确答案.
【详解】由于 ，所以二次函数的对称轴为 ，
由于 ，所以 开口向上，
在 上递减；在 上递增，
由 得 ，
即 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
练习25．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）写出一个非常数函数同时满足条件：①
，② . 则 ___________.
【答案】 （形如 或 或 或 ）
【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.
【详解】因为 ， ，
所以函数周期 ，函数对称轴为 ，
故可取函数 ，
故答案为： （答案不唯一，形如 或 或 或
都可以）
题型六 单调性与奇偶性的综合问题
例11．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第四中学校考期末）已知函数 是
偶函数，当 时， 恒成立，设 ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意先求出函数 在 上为单调增函数且关于直线 对称，然后
利用函数的单调性和对称性即可求解.
【详解】∵当 时， 恒成立，
∴当 时， ，即 ，
∴函数 在 上为单调增函数，
∵函数 是偶函数，即 ，
∴函数 的图象关于直线 对称，∴ ，
又函数 在 上为单调增函数，∴ ，
即 ，∴ ，
故选：B.
例12．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）若函数 是定义在 上
的奇函数，当 时， ，则当 时，函数 的解析式为
_________；若函数 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数．则不等式
的解集为_________
【答案】
【分析】第一空利用奇函数的性质计算即可，第二空利用单调性结合偶函数的性质解不等
式即可.
【详解】令 ，即 ，则 ；
由题意可得： .
故答案为： ；
练习26．（2023·广西·校联考模拟预测）下列函数既是奇函数又在 上是增函数的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】分别对每个选项中的函数进行奇偶性和增减性分析即可.
【详解】对于 ，因为 是奇函数，又在 上是增函数，所以 正确；
对于 ，因为 为偶函数，且定义域为 ，所以 错误；
对于 ，因为 是奇函数，但在 上为减函数，所以C错误；
对于 ，因为 为奇函数，但在 上是减函数，所以 错误.
故选:A.
练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断 的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式．再解不等式即可.
【详解】由 得 ，即函数 的定义域为 ．
因为 ，
所以 为 上的偶函数，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递减,所以 在 上单调递减，
又 都是在 上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数 在 上单调递减，
又因为函数 为偶函数，所以函数 在 上单调递增，又 ，所以 ，可得 ，
所以 ，且 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
练习28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期末）若 是奇函数，且在
上是增函数，又 ，则 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数为奇函数求得 且 在 上是增函数，进而根据
得出 且 或 且 ，最后取并集．
【详解】解： 函数 为奇函数，
， ，
函数在 上是增函数， 函数在 上是增函数，
所以当 或 时 ，当 或 时 ，
对于 ，
则 或 ，
解得 或
的取值范围是 ．
故选：D．
练习29．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数 是定义在 上的
奇函数，当 时， ．
(1)求函数 的解析式．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设 ，利用 ，可得解析式；
（2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范
围．
【详解】（1）因为 为奇函数， ，设 ，则 ，
则 ,
因为 为奇函数，则 ，
则 ．
（2）当 时， 为单调递增函数，
由奇函数可知 是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵ ，∴ ，
故有： ，则有 ，解得：
所以实数a取值范围是：
练习30．（2023春·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数 是奇
函数．
(1)求 的值．
(2)若 时， 是 上的增函数，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求 的值．（2）利用函数单调性和奇偶性解抽象不
等式知识即可求 的取值范围．
【详解】（1）函数 是奇函数．（2）若 时，即 时，
是奇函数又是增函数，
且 ，可得 ，
，即
的取值范围是 .
题型七 对称性、周期性与奇偶性的综合问题
例13．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，满足 为奇
函数且 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．10
【答案】D
【分析】根据题意推得 ，得到函数 的周期为 ，利用函数的周期
性和对称，结合 ，代入即可求解.
【详解】由 为奇函数，可得函数 的对称中心为 ，即
又由 ，则 的对称轴为 ，即 ，
所以 ，即 ，
又由 ，所以 ，即函数 的周期为 ，
则 .
故选：D.
例14．（山东省烟台市2023届高考适应性练习（一）数学试题）（多选）定义在 上的
函数 满足 ， 是偶函数， ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项 ，∵ 是偶函数，∴ ，
∴函数 关于直线 对称，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是奇函数，则 正确；
对于选项 ，∵ ，∴ ，∴ ,
∴ 的周期为 ，∴ ，则 正确；
对于选项 ，若 的图象关于直线 对称，则 ，
但是 ， ，即 ，这与假设条件矛盾，则选项
错误；
对于选项 ，将 代入 ，得 ，
将 ，代入 ，得 ，
同理可知 ，
又∵ 的周期为 ，∴ 正奇数项的周期为 ，
∴
，则 正确.
故选：ABD.
练习31．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ， 为偶函
数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的条件，探求函数 的性质，再逐项分析判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ， 为偶函数，则 ，即
，
又 为奇函数，则 ，即有 ，亦即
，
因此 ，即 ，由 ，得 ，则有 ，即函数 是 上的偶函数，又 ，从而 是
周期为6的周期函数，
显然 ，而没有条件能求出 ，即CD错误；
，没有条件能求出 ，A错误；
由 ，得 ，即 ，所以 ，B正确.
故选：B
练习32．（2023·河南·校联考模拟预测）已知将函数 的图像向左平移1个单位后关于
轴对称，若 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由题意得函数关于 对称，即 ，结合 ，
可得函数 的周期为2，再根据 ，求出 的值.
【详解】因为将函数 的图像向左平移1个单位后关于 轴对称，
所以函数 关于 对称，即 ，即 ；
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以由 ，得 ，
即 ，所以函数 的周期为2，
则 ，
由 ，得 .
故选：B.
练习33．（2023春·安徽合肥·高三合肥市第八中学校考期中）若函数 的定义域为 ，
是偶函数，且 ．则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2；
② ；
③ 的一条对称轴为 ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得 ，
，由此推理计算即可判断各命题作答.
【详解】对于①： 是偶函数，设 ，得 ，
因 ，所以 ，故 ，
故 ，即 ，故 ，
所以 ，所以 的一个周期为4，故①错误.
对于②：由于 ，令 ，得 .
.故②正确.
对于③：由 知函数的一条对称轴为 ，因为 的一个周期为4，所以
也是函数 的一条对称轴，故③正确.
对于④：因 ， 得 ，即 .
因 ，所以 ，
，故④正
确
故选：C.
练习34．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为R， 为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数定义换算可得 为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知 为周
期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，故
又 ，所以 ，故 ，
所以 ， 为偶函数，A错误；
为奇函数，所以 ， ，所以 ，B正确；
，又 的图象关于点 对称，所以 ，
所以 ，C正确；
又 ，所以 是以4为周期的函数，
，D正确．
故选：BCD．
练习35．（2023·重庆·校联考模拟预测）（多选）已知 上的偶函数 在区间
上单调递增，且恒有 成立，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数 B． 的图象关于点 对称
C．函数 在 处取得最小值 D．函数 没有最大值
【答案】BC
【分析】由 得函数 图象关于点 对称，再结合偶函数性质得
出函数的周期性，从而可得函数的单调性，然后可判断各选项．
【详解】因为又 是偶函数，且在 上单调递增，则 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，
设 是 上任一点，它关于 的对称点是 ，
，即 也是函数 图象上的点，
∴函数 的图象关于点 中心对称，B正确；
从而 在 上单调递减，A错误；
由上推导知 在 上递减，由对称性知 在 上递增，
又
，即 是周期函数，4是它的一个周期，
从而 在 上递增，在 上递减，
因此 是函数的最小值， 是函数的最大值，C正确，D错误．
故选：BC．
