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专题 3.1 圆（知识讲解）
【学习目标】
1．理解并掌握圆中弦的概念
2．掌握点与圆的位置关系，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆
的位置关系；
【要点梳理】
要点一、圆的定义及性质
1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的
端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作
“⊙O”，读作“圆O”．
特别说明：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，
二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
特别说明：
①定点为圆心，定长为半径；
②圆指的是圆周，而不是圆面；
③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长
的点的集合是球面，一个闭合的曲面.
2.圆的性质
①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中
心对称图形，对称中心是圆心；
②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何
一条直线都是圆的对称轴.
特别说明：
①圆有无数条对称轴；
②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，
而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、点与圆的三种位置关系
要点三、与圆有关的概念
1. 弦
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
特别说明：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求
证：AB≥CD.
证明：连结OC、OD
∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
∴直径AB是⊙O中最长的弦.
【典型例题】
类型一、圆中弦的条数
1．如图，图中的弦共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】根据弦的定义解答即可．
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点拨】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图
中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B【分析】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，解答可得．
解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
故选B
【点拨】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，
经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个
端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣
弧．
【变式2】如图,☉O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为_____.
【答案】2
解：弦是连接圆上任意两点的线段，由图可知，点A. B. E. C是⊙O上的点，图中的弦
有BC、CE，一共2条.
故答案为2.
类型二、求过圆内一点最长的弦
2．如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，
点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为
7，求 的最大值.
【答案】 的最大值为 .【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而
可求，所以 的最大值可求.
解：连结 ， ，
∵ ∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .
【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
举一反三：
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝
45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．
【答案】
【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求
得直径后就可以求得最大值．
解： 点M，N分别是AB，BC的中点，
，
当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，如图，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解
题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．
【变式2】 如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，
过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B
两点所在直线与x轴的夹角等于_____°．
【答案】6 90
【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O
点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到
△AOB的面积的最大值= ×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于
90°．
解：∵AB为⊙M的直径，∴AB＝4，
当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，
而O点到AB的距离最大为OM的长，
∴△AOB的面积的最大值＝ ×4×3＝6，
∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．
故答案为：6，90．
【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB
为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.
【答案】
【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求
出OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.
解：∵⊙M的半径为2，
∴OA=AB=4，AM=2，
设点A为（x，y），则有
， ，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入 ，解得： ，∵点A在第一象限，
∴ ，
∴点A为： .
故答案为： .
【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关
键是利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.
类型三、点与圆上距离的最值
3、若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长
距离.
【答案】4cm，20cm.
【解析】试题分析：依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.
试题解析：如图，
点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);
最长距离为:12+8=20(cm).
点拨：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键.
举一反三：
【变式1】如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动
点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．【答案】当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时
PA=PB=PC.
试题分析：分类讨论：当点P在点O处，易得PA=PB=PC；当点P在OA上，同样方
法可得PA＜PC＜PB；连接OC，如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到
OP+OC＞PC，则OA+OP＞PC，所以PA＞PC，再由OC=OB得到∠B=∠OCB，则∠B＞
∠PCB，
所以PC＞PB，于是得到PB＜PB＜PA；
试题解析：
当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC，
当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.
理由：连接OC，
在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，
同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA.
【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．也考查了三角形三边的关系和
分类讨论的思想．
【变式2】我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间
的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外
一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线
上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，
再求出OA，结合圆O半径可得结果.
解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA= = ，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB= ，
∴点 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ，
故答案为： .【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的
关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
【变式3】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则
此圆的半径为_________________．
【答案】3cm或7cm
解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r= =3cm；
当点P在⊙O内时，r= cm.
故答案为：3cm或7cm．
类型四、判断点和圆的位置关系
4、若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是2 ，则点P与⊙A的位置关系
是（ ）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A外 C．P在⊙A内 D．不确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置的关系，比较圆心A与点P的距离和半径的大小即可求解．
解：∵圆心A与点P的距离是2 ，⊙A的半径为5
∴点 在⊙A内
故选C
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解答此题
的关键．
举一反三：
【变式1】 的半径为 ，点 到圆心 的距离 ，则点 与圆 的位置
关系为（ ）
A．点 在圆上 B．点 在圆内 C．点 在圆外 D．无法确定【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解： 的半径为 ，点A到圆心 的距离为 ，
即点A到圆心 的距离小于圆的半径，
点A在 内．
故选： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝
d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
【变式2】若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位
置关系（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判
断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在
圆内．
解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心
的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【变式3】已知 的半径为 为 外一点，则 的长可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r即可．
解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm， B、C、D均不符．
故选：A．
【点拨】考查了点与圆的位置关系，解题关键是理解确定点与圆的位置关系，就是比
较点与圆心的距离和半径的大小关系．
