文档内容
3.2 导数在函数单调性、极值中的应用
思维导图
知识点总结
利用导数解决单调性问题
本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其
中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．
1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果 f ′( x )>0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调
递增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果 f ′( x )<0 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调
递减．
2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分
不必要条件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)
的必要不充分条件．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是
f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．
利用导数解决极值与最值问题
1．函数的极值与导数
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值．
典型例题分析
考向一 求函数的单调区间(不含参数)
例1 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调
递增区间为(2，＋∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
考向二 讨论含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解 由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为
(0，＋∞).
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.函
数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类
讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的
点和函数的间断点．
2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′
(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考向三 函数单调性的简单应用
例3 (多选)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos xf′(x)
＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f＞f B．f＞f
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．f＞f D．f＞f
答案 CD
解析 构造函数g(x)＝.则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在上单调递减，所以g＞
g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故选CD.
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等
特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高
考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效
策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关
的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
考向四 利用导数解决函数的极值问题
例4 如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(－3，1)上是增函数；
②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数；
③1是f(x)的极大值点；
④－1是f(x)的极小值点．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案 D
解析 由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4
时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和
(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确．
函数极值问题的常见类型及解题策略
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数
为0的点的左、右两侧的导数值符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0
的根的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x ，y )处取得极值，则f′(x )＝0，且
0 0 0
f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．
考向五 利用导数求函数的最值
例5 已知函数f(x)＝ex cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)＝ex cos x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2ex sin x≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成
立，
∴g(x)在上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，∴f(x)在上单调递减，
∴f(x) ＝f(0)＝1，f(x) ＝f＝－.
max min
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一
个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与
f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最
小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
提醒：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还
要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助
图象观察得到函数的最值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向六 利用导数求解函数极值和最值的综合问题
例6 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得
超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函
数关系式是t＝x4－x3＋15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求出此时运输成本
的最小值．
解 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为×＝1500元．
所以当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
(2)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝·＝x3－x2＋6000(00，所以函数f(x)在(0，80)上
单调递减，在(80，100]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(80)＝.所以为使全程
运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，此时运输成本取得最小值元．
1．解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能
下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确
定最值．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题作答．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】基础题型训练
一、单选题
1．定义在 上的连续可导函数 ，当 时，满足 ，则函数
的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】构造 ，求导，根据题意可得 的单调性， 的零
点个数转化为 与 的交点个数，画出简图即可求解.
【详解】解：由 可得 ，即 ，
所以 .
令 ，则 在 上单调递增.
令 ，则 .
所以 的零点个数为方程 的根的个数，即 与
的交点个数.
作出简图(如图所示)，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知 与 的图象没有交点.
所以函数 的零点的个数为0.
故选:A.
2．若函数 在区间 上有极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据极值点的概念，转化为导函数有零点求参数范围问题
【详解】由已知得 ，若函数 在 上有极值点，则
在 上有解，即 ，解得 .
故选：D
3．若函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－ ) B．(－∞，－ )∪ ( ，＋∞)
C．(－ ， ) D．( ，＋∞)
【答案】B
【分析】求出导函数 ，根据函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，则函数
有两不同的零点，即 ，从而可得答案.
【详解】解： ，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，
所以函数 有两不同的零点，
即 ，解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以a的取值范围是(－∞，－ )∪ ( ，＋∞).
故选：B.
4．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，
隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的
解析式来琢磨函数的图象特征.如函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可
【详解】解：函数的定义域为 ，
因为 ，
所以函数为偶函数，其图像关于 轴对称，所以排除BC，
当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 递增，在 上递减，
所以排除D，
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5．已知函数 的定义城为 ，对任意的 ，有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，求导分析单调性即可比较大小．
【详解】令 ，有 ，
可得函数 在 上单调递增，有 ，
得 ，又有 ，
有 ，有 ．
故选：A
6．已知 是定义在R上的函数， 是 的导函数，满足：
，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数求得 的单调性，由此求得不等式
的解集.
【详解】令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在R上单调递增，不等式 可化为 ，
而 ，则 ，即 ，
所以 ，即不等式解集为 .
故选：D
二、多选题
7．已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述不正
确的是（ ）
A．
B．函数 在 上递增，在 上递减
C．函数 的极值点为 ，
D．函数 的极大值为
【答案】ABD
【解析】对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断 ， ， 的大小以及
的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.
【详解】解：由题图知可，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，
在 上递减，在 上递增，
对A， ，故A错误；
对B，函数 )在 上递增，在 上递增，在 上递减，故B错误；
对C，函数 的极值点为 ， ，故C正确；
对D，函数 的极大值为 ，故D错误.
故选：ABD.
8．已知奇函数 ， ，且 ，当 时，
，当 时， ，下列说法正确的是（ ）
A． 是周期为 的函数
B． 是最小正周期为 的函数
C． 关于 中心对称
D．直线 与 若有3个交点，则
【答案】AC
【分析】根据奇函数 ， ，且 ，可确定函数 的周期，即可判
断A；设 确定函数 的奇偶性与对称性即可判断函数B，C；根据
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可判断函数 在 上的单调性，结合对称性与周期性
即可得函数 的大致图象，根据直线 与 若有3个交点，列不等式即可求 的
取值范围，即可判断D.
【详解】解：因为 ，所以 的图象关于 对称，又因为 为奇函
数，所以 ，则 ，
则 ，故 是周期为 的函数，故A正确；
设 ，其定义域为 ，则
，所以 关于 中心对称，
即 关于 中心对称，故C正确；
又 ，所以 为上的奇函数，结合 可
得 ，即
故 是周期为 的函数，故B错误；
当 ，所以 ，故 在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 关于 中心对称，所以 在 上单调递增，
且当 时， ，又函数 的周期为 ，则可得 大致图象如下：
若直线 与 若有3个交点，则 或 ，解得
或 ，故 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．若函数 在 上的最小值为 ，则实数 的值为________．
【答案】 .
【详解】试题分析： ，（1）当 时，函数 在 上为增函
数，最小值为 ，则 ，矛盾舍去；（2）当 时， ，则
，此时 为增函数； ，则 ，此时函数 为减函数．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，即 时，则函数 在 为增函数，所以 的最小值为
，则 ，矛盾舍去；当 ，即 时，则函数
在 为减函数，在 为增函数，则 的最小值为 ，
解得： ，满足条件；当 ，即 时，则函数 在 为减函数，则
的最小值为 ，解得： ，矛盾舍去．综上， ．
考点：1．导数在函数中的应用；2．分类讨论的思想与方法．
【易错点晴】本题主要考查的是导数在函数中的应用，属于中档题．若求函数的最小值，
必然找函数的增减性，属于需要求函数的导数．因为导数中含有参数 ，则对 进行分类
讨论．另外在求解过程中，需要注意求出的 值是否满足前提，否则很容易出现错误．
10． ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值范围
是_______
【答案】
【分析】分析可知， ，使得 ，求出函数 在
上的值域，可得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，则 ，
有已知条件可得： ，使得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，所以 .
故答案为： .
11．已知函数 的定义域为 ，其部分自变量与函数值的对应情况如表：
x 0 2 4 5
3 1 2.5 1 3
的导函数 的图象如图所示．给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递增；
② 有2个极大值点；
③ 的值域为 ；
④如果 时， 的最小值是1，那么t的最大值为4．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】③④
【分析】画出函数图象，数形结合作出判断.
【详解】根据函数 的导函数 的图象与表格，整理出函数 的大致图象，如
图所示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于①， 在区间 上单调递减，故①错误；
对于②， 有1个极大值点，2个极小值点，故②错误；
对于③，根据函数 的极值和端点值可知， 的值域为 ，故③正确；
对于④，如果 时， 的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是③④．
故答案为：③④
12．已知曲线 ： ，点 是曲线 上的一点，则点 到坐标原点的距离的最小
值是______．
【答案】3
【分析】设点 ，得出 ，从而得出点 到坐标原点的距离
，结合导数求出最小值即可.
【详解】设点 ，则有 ，
所以 ，
点 到坐标原点的距离 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，
则 ，
在 上， ，在 上， ，
所以 在 时有最小值 ，
所以 的最小值为 .
故答案为：3
四、解答题
13．已知函数 ．
(1)若 单调递减，求 的取值范围；
(2)若 有两个极值点 且 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题知 在 恒成立，进而 ，求解最大值
即可得答案；
（2）由题知 且 ，进而将所证明问题转化为证明
，再根据 ， ，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，再令 ，则 ，进一步转化为证明不等式
，再构造函数 ， ，求最值即可证明.
【详解】（1）解：由题知函数的定义域为 ， ，
因为 单调递减，
所以 在 恒成立，即 在 恒成立，
所以， 在 恒成立，
令 ，则 ，
所以，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
所以，当 时， 取得极大值 ，也是最大值.
所以 ，解得 ，即 的取值范围为 .
（2）解：由（1）知 ，
因为 有两个极值点 ，
所以， 有两个变号零点 ，
所以，结合（1）知， ，
另一方面，当 时， 与 的图象至多只有一个交点，
所以， 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要证 ，只需证 ，
由 得 ，则 ，
所以，
，
令 ，则 ，
所以，要证 ，只需证
令 ， ，则 ，
令 ， ，则
所以， 在 上单调递增，
所以， 在 成立，即 在 上单调递减，
所以 ，即
所以， 成立，
所以， 成立，原不等式成立.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合已知条件，将问题转化为证明
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，进而利用导数证明不等式即可.
14．已知 ，设函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2） ．
【分析】（1）求出函数导数，讨论 的范围确定导数正负可得出单调性；
（2）根据 可将不等式等价为 ，构造函数
，求出导数，当 时，易得 ；当 时，得出函数
单调性，可转化为 恒成立，构造函数，利用导数可出.
【详解】解：（1） ， 且 ，
① ， ， 单调递增：
② ， ， 单调递减：
③ ， ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
（2） ，
即 ， ，即 ，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 单调递增， ，即 ，即 ，
，则原不等式等价为 ，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，则 在 单调递减，
则只需满足 ， ，解得 ， ；
当 时，可得 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，整理可得 ，
令 ，则 ，
则可得 在 单调递增，在 单调递减，
则 ，故 时， 恒成立，
综上， .
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是构造合适
的函数，将不等式等价转化为利用导数求函数的最值问题.
15．已知函数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)讨论 的单调性；
(2)设 是两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】(1) 在 上单调递减；在 上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出 ，然后在定义域范围
内分析即可.
（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.
【详解】（1） 的定义域为 ，
，
令 ，得： ，
当 变化时 的关系如下表：
0 1
无意
0
义
无意
义
在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）证明：要证 ，
只需证：
根据 ，只需证：
不妨设 ，由 得： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两边取指数， ，化简得：
令： ，则 ，
根据（1）得 在 上单调递减；
在 上单调递增（如下图所示），
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使 且 ，
则必有 ，即
由 得： .
要证 ，只需证： ，
由于 在 上单调递增，要证： ，
只需证： ，
又 ，只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】只需证： ，
只需证： ，
即证 ，
令 ，
只需证： ，
，
令 ，
在 上单调递减，
所以 ，
所以
所以 在 上单调递减，所以
所以
所以： .
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．求函数 的极小值．
【答案】
【分析】利用导数判断原函数的单调性，并结合极值的定义运算求值.
【详解】∵ ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时，函数 取到极小值 .
提升题型训练
一、单选题
1．若函数 的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
B．C． D．
【答案】A
【分析】直接根据导函数的图像判断原函数的单调性即可.
【详解】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A选项.
故选：A
2．函数 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】求出函数导数，根据导数判断出函数的单调性，即可求出极小值.
【详解】 ， ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
在 单调递增，在 单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 处取得极小值为0.
故选：A.
3．若 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据结构，构造函数 ，利用导数判断出单调性，直接利用
充要条件的定义进行判断.
【详解】构造函数 ，则 ，
令 ，则 ，
故 为减函数，且
故
故 在 上单调递减.
故由 可得 ，即 ，
反之故由 可得 ，根据减函数可得 .
故“ ”是“ ”成立的充要条件.
故选：C
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆
柱体的体积最大时，其高为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． R B． R C． R D． R
【答案】A
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可得 ，得出圆柱的体积公式，换元后
求导，利用导数求出体积的最大值时对应的高即可.
【详解】设圆柱底面圆半径为 ，高为 ，如图，
则 ，
故 ，
则 ，
圆柱体积为 ，
设 ，则
所以 ，
故
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时，圆柱体积取得最大值，此时
故选：A
5．如图所示是 的图象，则正确的判断个数是（ ）
① 在 上是减函数；② 是极大值点；
③ 是极值点；④） 在 上先减后增．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据导函数图象的正负性得到原函数的增减性，再依次判断即可
【详解】解：对于①，由图可得当 时， ，所以 在 递增，故
错误；
对于②，由图可得当 时， ， 单调递增； 时， ，
单调递减，所以 是函数 的极大值点，故正确；
对于③，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递
增，所以 不是函数 的极值点，故错误；
对于④，在区间 内导数 先为负数后为正数，所以函数 先递减后递增，故正
确，
故选：C
6．函数 的大致图象是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，进而可得出函数 的图象.
【详解】解：因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，且 时， ， 时，
，
所以 时， 单调递减， 时， 单调递增，且 ，
， ，
所以在 上存在 ，使得 ，又 ，令 ，则有2个实
数根 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上是增函数，在 上是减函数，且 ，
，结合选项得出A选项符合函数 的大致图象.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调
性与极值是解决本题的关键．难度中等．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】构造函数，需借助导函数判断函数的单调性，利用函数单调性进行求解．
【详解】令 ，则 ．
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， 取最大值， ．
的值域为 ，
，即 ，当且仅当 时，等号成立．
则有 ，故A选项错； ，故B选项对； ，故C选项错；
令 ， ，
当 时， ， 单调递减；
由 ，则有 ，即 ，
由 ，可得 ，故D选项对．
故选：AC．
8．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 为偶函数 B．函数 的最小值为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．函数 的最大值为 D．函数 在 上有两个极值点
【答案】AC
【分析】根据奇偶性直接判断A；结合 求解最值判断BC；利用导
数，结合三角函数性质求解极值点个数判断D.
【详解】解：对于A选项，函数定义域为 ，
，所以函数 为偶函数，故正确；
对于B选项， ，
所以，当 时，函数 有最小值 ，故错误；
对于C选项，由于 ，故当 时，函数 有最大值 ，故正
确；
对于D选项，当 ， ，令 得
或 ，
令 在 上的两个实数根为 ，则 ，
所以，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单
调递增；
当当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增；
所以， 在 处取得极大值，在 和 处取得极小值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，函数 在 上有三个极值点，故错误.
故选：AC
三、填空题
9．函数 在 处有极值，则常数a＝______．
【答案】1
【分析】根据极值定义可得 ，求导并将 代入计算即可求得
【详解】由 可得 ，
又 在 处有极值，所以可得 ，
即 ，所以 .经检验满足题意，
故答案为：1
10．曲线 在点 处的切线方程为___________．
【答案】 .
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的
点斜式求得切线方程
【详解】详解：
所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致
计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
11．已知 是定义在 上的偶函数，其导函数 ，若 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，则不等式 的解集为________.
【答案】
【分析】由 是偶函数且 ，可得 是以3为周期的函数，则
，将 化为 ，构造函数 ，根据已知条
件可判断出此函数在 上单调递增，从而可求得结果.
【详解】由 是偶函数且 ，
得 ，
即函数 是以3为周期的函数，
则 ，
将 化为 ，
令 ，则 ，
由 得 恒成立，
即 在 上单调递增，
所以由 ，得 ，
即不等式 的解集为 ，
故答案为： .
12．设 为正实数，若 则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据 ，可得 ，进而
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，有 ，而
，令 ，
得到 ，再用导数法求解，
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
当 时， ，当 时，
所以当 时， 取得最大值 ，
又 ，
所以 取值范围是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值，还考查了运算求解的能力，属
于难题，
四、解答题
13．求函数 的单调递减区间．
【答案】 .
【分析】由题可知，函数 的定义域为 ，根据导数的运算法则进行求导得出
，令 ，求出 范围，最后利用导数研究函数的单调性即可得出结果.
【详解】解： ，可知函数的定义域为 ，
，
令 ，即 ，解得： ，
所以函数 的单调递减区间为 .
14．求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(00得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由 <0解得 －3
