文档内容
专题 3.2 导数的概念及其意义与运算
【新高考专用】
题型一 导数的定义及其应用
1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数 在 处可导，且 f (x −3Δx)−f (x ) ，
f (x) x=x lim 0 0 =3
0
2Δx
Δx→0
则 （ ）
f′ (x )=
0
3
A．−3 B．−2 C．− D．2
2
2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的
绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.
假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系s=100t−5t2(00)是曲线f (x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切
线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
26．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数f (x)=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l ，函数
1
g(x)=mex+(m−2)x的图象上总存在一点处的切线l ，使得l ⊥l ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
( e ) ( e)
A． − ,0 B． 0,
2 2
C．(−1,0) D．(0,1)
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=√x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有
相同的切线，则公共点坐标为 .
28．（2024·河北邯郸·三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是 ．
y=ex (x−a) 2+ y2=2 a
题型八 与切线有关的最值问题
29．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距
离的最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．2√2
30．（2024·四川·一模）若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l:x+ y−4=0距离的最小值
为（ ）
√2
A． B．√2 C．2√2 D．4√2
2
31．（23-24高二下·江西赣州·期中）设点A在直线√3x−y+1=0上，点B在函数f (x)=lnx的图象上，则
|AB|的最小值为 .x
32．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，若曲线y=f (x)的一条切线为
n
m
直线l：4x−y+3=0，则 的最小值为 ．
n
一、单选题
(2+Δx) 3−23
1．（2024·重庆·模拟预测）lim =（ ）
Δx
Δx→0
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2024·贵州黔南·一模）曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
1 e
A． B．1 C． D．e
2 2
3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大
的是（ ）
A．f (3) B．3f′(3) C．f (−14) D．f′(8)
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2相切，则a=
（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
2 2 12 12
5．（2024·山东·二模）已知f (x)为定义在R上的奇函数，设f′(x)为f (x)的导函数，若
f (x)=f (2−x)+4x−4，则f′(2023)=（ ）
A．1 B．−2023 C．2 D．2023
1
6．（2024·全国·模拟预测）若过点(m,n)可作函数y=2x+ (x>0)图象的两条切线，则必有（ ）
x1
A．0<2m+ 0)在其上一点处的切线方程为y−x−1=0，点A，B为C上
两动点，且|AB|=6，则AB的中点M到y轴距离的取值范围为（ ）
[9 ) [3 )
A．[2,+∞) B． ,+∞ C．[3,+∞) D． ,+∞
4 2
8．（2024·山东潍坊·三模）过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f (x)=xex的图像相切，当n取最大值
时，m的取值范围为（ ）
5 5 1
A．− 0且a≠1）的图象在公共点处有相同的
1
切线，则a= .
四、解答题
15．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知函数y=lnx.
(1)求该函数在x=2处的切线方程；
(2)求该函数过原点的切线方程.
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数f (x)=(ax+1)ex．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (0,f (0))
(2)若当x≥0时，f (x)≥1恒成立，求a的取值范围．
17．（2024·四川雅安·一模）已知函数 在 时有极小值.曲线 在点
f(x)=aex+bx+c x=ln2 y=f(x) (0,f(0))
处的切线方程为x+ y=0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x,f(x)≥(e−2)x+m恒成立，求实数m的取值范围.
18．（2024·安徽·三模）若对任意的实数k，b，函数y=f (x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数
f (x)为“恒切函数”．(1)判断函数f (x)=x3是否为“恒切函数”；
1 1
(2)若函数f (x)= (ex−x−1)ex+m是“恒切函数”，求证：−
