专题 3.2 导数的概念及其意义与运算
【新高考专用】
题型一 导数的定义及其应用
1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数 在 处可导，且 f (x −3Δx)−f (x ) ，
f (x) x=x lim 0 0 =3
0
2Δx
Δx→0
则 （ ）
f′ (x )=
0
3
A．−3 B．−2 C．− D．2
2
2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的
绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.
假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系s=100t−5t2(0<t<20)，则当t=2时，
物体的瞬时速度为 ．
4．（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim ¿”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①lim sinx 1 lim sinxcosx
；② ，则依据两个公式，类比求 ；
x→0 =1 lim(1+x)x=e x→0 =
x x→0 x
1
lim(1+sin2x)sinxcosx= .
x→0
题型二 求（复合）函数的导数
5．（2024·福建漳州·三模）已知函数f (x)=lnx+x,g(x)是函数f (2x+1)的导函数，则g(0)=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·新疆喀什·二模）已知函数f (x),g(x)的定义域均为R,g′(x)为g(x)的导函数，且f (x)+g′(x)=2，
f (x)−g′(2−x)=2，若g(x)为偶函数，则f (2023)+g′(2024)+g′(2025)=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数f (x)=x3f′(1)−4lnx+2，则f (2)= .
8．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)的导函数为f′(x)=x，若g(x)=f (sinx)，g′(x)为g(x)的导函数，
则g′(π)
=
.
4
题型三 求曲线切线的斜率（倾斜角）
9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线f (x)=2xcosx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2 B．−ln2 C．1 D．−1
1
10．（23-24高二下·湖北·期中）点P在曲线y=2x3−√3x+ 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α
4
的范围是（ ）
A． [2π ,π ) B． [ 0, π ) ∪ [2π ,π) C．[0,π) D．
3 2 3
[
−
π
,0
)
∪
[π ,π)
2 2
2
11．（23-24高三上·陕西渭南·开学考试）函数y= √x3+1在x=3处的切线的倾斜角为 .
3
12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数 的图象在点(π (π))处的切线斜率为 ．
f (x)=3x+2sinx ,f
3 3题型四 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程
13．（2024·陕西西安·三模）已知函数 则 在点 处的切线方程为（ ）
f (x)=¿ f (x) (5,f (5))
A．4x−y−28=0 B．4x+ y−12=0
C．x−4 y−12=0 D．x+4 y−22=0
14．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数f (x)的定义域为R，f (3x−1)为奇函数，且f (x−1)的图像
关于x=1对称．若曲线f (x)在x=1处的切线斜率为2，则曲线f (x)在x=2023处的切线方程为（ ）
A．y=−2x+4046 B．y=2x+4046
C．y=2x−4046 D．y=−2x−4046
15．（2024·四川·模拟预测）函数 的图象在点 处的切线方程为 ．
f (x)=x3−2x2 (2,f (2))
16．（2024·全国·模拟预测）过原点与曲线f (x)=¿相切的一条切线的方程为 .
题型五 与切线有关的参数问题
17．（2024·陕西·模拟预测）函数y=ex+m−n的图象与直线y=ex相切，则以下错误的是（ ）
1
A．若m=1，则n=e B．若n=1，则m=
e
C．n=m+e D．n=em
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)=(x+1)ex，过点P(m,0)作曲线y=f (x)的两条切线，切点分别
为 和 ，若 ，则实数 （ ）
A(a,f (a)) B(b,f (b)) a+b=0 m=
A．0 B．1 C．2 D．3
1
19．（2024·广东佛山·一模）若直线y=kx与曲线y=lnx+ 相切，则k= ．
2x
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知0<a<1，若曲线y=axlna与直线y=ex相切，则a= ．
题型六 切线的条数问题
21．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点(2,0)可作曲线f (x)=x3−3x−2的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
( 1 )
22．（23-24高三上·湖北·期中）函数f(x)=x3+(a−1)x2−x+b为R上的奇函数，过点P − ,1 作曲线
2
y=f(x)的切线，可作切线条数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．不确定
23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线 有两条过点 的切线，则 的取值范围是
y=(x−a)ex (1,0) a
.
x
24．（23-24高二下·陕西西安·期末）若曲线f (x)= 有三条过点(0,a)的切线，则实数a的取值范围为
ex
.
题型七 两条切线平行、垂直、公切线问题
25．（2024·陕西渭南·一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f (x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切
线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
26．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数f (x)=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l ，函数
1
g(x)=mex+(m−2)x的图象上总存在一点处的切线l ，使得l ⊥l ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
( e ) ( e)
A． − ,0 B． 0,
2 2
C．(−1,0) D．(0,1)
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=√x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有
相同的切线，则公共点坐标为 .
28．（2024·河北邯郸·三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值范围是 ．
y=ex (x−a) 2+ y2=2 a
题型八 与切线有关的最值问题
29．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距
离的最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．2√2
30．（2024·四川·一模）若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l:x+ y−4=0距离的最小值
为（ ）
√2
A． B．√2 C．2√2 D．4√2
2
31．（23-24高二下·江西赣州·期中）设点A在直线√3x−y+1=0上，点B在函数f (x)=lnx的图象上，则
|AB|的最小值为 .x
32．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，若曲线y=f (x)的一条切线为
n
m
直线l：4x−y+3=0，则 的最小值为 ．
n
一、单选题
(2+Δx) 3−23
1．（2024·重庆·模拟预测）lim =（ ）
Δx
Δx→0
A．72 B．12 C．8 D．4
2．（2024·贵州黔南·一模）曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
1 e
A． B．1 C． D．e
2 2
3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大
的是（ ）
A．f (3) B．3f′(3) C．f (−14) D．f′(8)
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2相切，则a=
（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
2 2 12 12
5．（2024·山东·二模）已知f (x)为定义在R上的奇函数，设f′(x)为f (x)的导函数，若
f (x)=f (2−x)+4x−4，则f′(2023)=（ ）
A．1 B．−2023 C．2 D．2023
1
6．（2024·全国·模拟预测）若过点(m,n)可作函数y=2x+ (x>0)图象的两条切线，则必有（ ）
x1
A．0<2m+ <n B．0<n<2m
m
1
C．2m<n<2m+ D．n<2m
m
7．（2024·河南·一模）抛物线C:y2=2px(p>0)在其上一点处的切线方程为y−x−1=0，点A，B为C上
两动点，且|AB|=6，则AB的中点M到y轴距离的取值范围为（ ）
[9 ) [3 )
A．[2,+∞) B． ,+∞ C．[3,+∞) D． ,+∞
4 2
8．（2024·山东潍坊·三模）过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f (x)=xex的图像相切，当n取最大值
时，m的取值范围为（ ）
5 5 1
A．− <m<e B．− <m<0 C．− <m<0 D．m<e
e2 e2 e
二、多选题
9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线y=x+1相切的有（ ）
A．y=ex B．y=lnx
C．y=sinx+1 D．y=x3+1
10．（2024·湖南·三模）已知定义域为 的函数 是 的导函数，且满足：
R f(x),g(x),f′ (x) f(x)
是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
f′ (x)+g(x)=−f′ (4−x)+g(x−1)=2,g(x)−2
A． 是奇函数 B．
f′ (x) f′ (3)=0
C． D．2024
g(1)+g(2)=2 ∑❑g(i)=4048
i=1
11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l 、l ，切点为P 、
1 2 1
P (P 、P 不重合)，设直线l 、l 分别与y轴交于点A、B，则（ ）
2 1 2 1 2
A．P 、P 两点的纵坐标之积为定值 B．直线P P 的斜率为定值
1 2 1 2
C．线段AB的长度为定值 D．△ABP面积的取值范围为(0,1)
三、填空题
12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线y=e2ax在(0,1)处的切线与直线x+2y+2=0垂直，则a= .
13．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足2f (x)=f (−x)+6ex，则曲线y=f (x)在点 处的切线方程为 .
(0,f (0))
1
14．（2024·全国·二模）已知函数
y =x2
的图象与函数y
2
=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的
1
切线，则a= .
四、解答题
15．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知函数y=lnx.
(1)求该函数在x=2处的切线方程；
(2)求该函数过原点的切线方程.
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数f (x)=(ax+1)ex．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (0,f (0))
(2)若当x≥0时，f (x)≥1恒成立，求a的取值范围．
17．（2024·四川雅安·一模）已知函数 在 时有极小值.曲线 在点
f(x)=aex+bx+c x=ln2 y=f(x) (0,f(0))
处的切线方程为x+ y=0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x,f(x)≥(e−2)x+m恒成立，求实数m的取值范围.
18．（2024·安徽·三模）若对任意的实数k，b，函数y=f (x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数
f (x)为“恒切函数”．(1)判断函数f (x)=x3是否为“恒切函数”；
1 1
(2)若函数f (x)= (ex−x−1)ex+m是“恒切函数”，求证：− <m≤0．
2 8
19．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料：
①若函数f (x)可导，我们通常把导函数f'(x)的导数叫做f (x)的二阶导数，记作f″(x).类似的，函数f (x)的
二阶导数的导数叫做函数f (x)的三阶导数，记作f′′′(x)，函数f (x)的三阶导数的导数叫做函数f (x)的四阶
导数……，一般地，函数
f (x)
的
n−1
阶导数的导数叫做函数
f (x)
的n阶导数，记作
f(n)(x)=[fn−1 (x)]
'，
n≥4；
②若n∈N∗，定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1；
③若函数f (x)在包含x 的某个开区间(a,b)上具有任意阶的导数，那么对于任意x∈(a,b)有
0
f′ (x ) f″ (x ) f(n)(x ) ，我们将 称为函数 在
g(x)=f (x )+ 0 (x−x )+ 0 (x−x ) 2+⋯+ 0 (x−x ) n+⋯ g(x) f (x)
0 1! 0 2! 0 n! 0
点x=x 处的泰勒展开式.
0
1 1
例如f (x)=ex在点x=0处的泰勒展开式为g (x)=1+x+ x2+⋯+ xn+⋯
1 1 2 n!
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出f(x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式g(x)；
(2)用f (x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式前三项计算cos0.3的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知sinx ( x )( x )( x )( x ) ( x )( x ) ，试求 ∞ 1 的值.
= 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+ ⋯ ∑
x π π 2π 2π nπ nπ n2
n=1
