专题3.2函数的单调性与最值2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.2 函数的单调性与最值
1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.
新课程考试要求
2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.
培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想
核心素养
象（例9.10）等核心数学素养.
1.确定函数的最值（值域）
2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调
考向预测
性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值
等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查.
【知识清单】
1. 函数的单调性
DD I
x x x  x
（1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有
f x  f x  f x
1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数；
DD I
x x x  x
（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有
f x  f x  f x
1 2 ，那么就说函数 在区间D上是减函数.
2．函数的最值
y  f x
1.最大值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
f xM
xI
（1）对于任意的 ，都有 ；
x I f x M
（2）存在 0 ，使得 0 .
y  f x
那么，我们称M 是函数 的最大值.
y  f x
2.最小值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数 m 满足：
f xm
xI
（1）对于任意的 ，都有 ；
x I f x m
（2）存在 0 ，使得 0 .y  f x
m
那么，我们称 是函数 的最小值.
【考点分类剖析】
考点一 单调性的判定和证明
0,
【典例1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
x
1
y 
A． y  x1 B． y  x2 1 C．  2   D．y log x
2
【典例2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
【规律方法】
掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差
的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系
及不等式的性质进行判断．
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调
性．
（3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性.
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
【变式探究】
1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是
（ ）
A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y= 在R上为增函数 D．y= f(x)在R上为减函数
2.已知 ，那么 ( )
f (x)=1+2x−x2 g(x)=f [f (x)]
A. 在区间(−2,1)上单调递增 B. 在(0,2)上单调递增
C. 在(−1,1)上单调递增 D. 在(1,2)上单调递增
考点二：求函数的单调区间【典例3】（2021·全国高一课时练习）函数f(x)= 在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【典例4】函数 的单调递增区间是（ ）
f(x)=√x2−2x−8
A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞)
【规律方法】
确定函数的单调区间常见方法：
1.利用基本初等函数的单调区间
2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
y  f gx u  gx y  f u
 
3.复合函数法：对于函数 ，可设内层函数为 ，外层函数为 ，可以利用复
合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数
y  f gx
 
在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数
y  f gx
 
在区间D上单调递减.
fx0 f x f x
4.导数法：不等式 的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递增区间，不等式
fx0 f x f x
的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递减区间.
【变式探究】
y=log (x2−3x+2)
1.函数 1 的单调递增区间是（ ）
2
3 3
A (−∞,1) B (2,+∞) C (−∞, ) D ( ,+∞)
2 2
2．（2021·浙江高一期末）若函数 ，则下列判断中正确的是___________．
（1） ，即函数的图象关于点 成中心对称；（2）函数的值域为 ；
（3）函数的单调递减区间是 ．
【特别警示】
1.单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减
函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
2.区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单
调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不
包括这些点．
考点三：利用单调性比较大小
【典例5】（2021·河南安阳市·高三一模（理））设函数 满足 ，且
有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例6】（2020·四川省高三三模（理））定义在实数集 上的函数 满足 ，且
当 时， 是增函数，则 ， ， 的大小关系正确的是（
）.
A． B． C． D．
【方法总结】
f(x) a,b,c f(a), f(b), f(c)
先判断出函数 的单调性，然后判断 之间的大小关系，利用单调性比较出 之间的
大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转
化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
【变式探究】
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，且对任意x ，x ∈（0，3)都有
1 2f(x )−f(x ) ，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ）
2 1 <0 a=2−√3 b=log 3 c=eln4
x −x 2
2 1
A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(c)<f(a)<f(b)
C．f(c)<f(b)<f(a) D．f(a)<f(c)<f(b)
2.（2020·辽宁省抚顺一中高三二模（理））已知函数 ，设 ， ，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点四：利用单调性确定参数取值范围
x2 ax3a,x1
f x
【典例7】（2020·重庆市育才中学高三开学考试（文））若函数 是 上的增
 2ax1,x1 R
函数，则实数a的取值范围是（ ）
 1   1  1 1 
 ，0 0， , ，
       
A． 3  B． 3 C． 3 D．3 
【典例8】【多选题】（2021·湖南长沙市·长沙一中高二月考）已知函数 ，若对任意的 [t，
t+1]，不等式 恒成立，则整数t的取值可以是（ ）
A． B．1 C．3 D．5
x2 2, x0
f(x)
【典例9】（2020·江苏省睢宁县高级中学高三月考）已知 ，若 在
3x2, x0 | f(x)|�ax
x[1,1] a
上恒成立，则实数 的取值范围是__________
【规律方法】
1.利用单调性求参数的范围(或值)的方法
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参
数；
（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
（3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式（）、x－x 与f(x)－f(x)关系式.
2 1 2 1
2.利用分离参数法；3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x) ；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x) .
max min
【变式探究】 ⇔ ⇔
x2 2x1,x1
f x
1.（2020·全国高三（文））已知函数  x1,x1 ，若 f  a2 4   f 3a, ，则实数 a
的取值范围是（ ）
4,1 ,4U1,
A． B．
1,4 ,1

4,
C． D．
2.（2019·陕西西安中学高三期中（文））若函数f(x)=¿为R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(4,+∞) B．[4,+∞) C．[4,6] D．(0,+∞)
考点五：利用函数的单调性解决不等式问题
【典例10】【多选题】已知函数 ，则下列x的范围满足不等式
的是（ ）
A． B． C． D．
【典例11】（2020·海南高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
1.给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；
2.求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到
一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
【变式探究】f x f 12 x
1.（2020·重庆巴蜀中学高三月考（文））已知定义在R上的函数 满足 ，对任意的实数 1，
x x x f x  f x  x x f x1 x
2且 1 2， 1 2 1 2，则不等式 的解集为（ ）
,2 (2,+� )
A． B．
,11, ,22,
C． D．
y  f x 2,2
2.（2019·江西省新余一中高三一模（理））已知 是定义在 上的增函数，若
f (m-1) <f (1- 2m)
m
，则 的取值范围是______________．
考点六：函数的单调性和最值（值域）问题
【典例12】（2021·全国高三月考（文））若函数 在区间 上的值域为 ，则
（ ）
A．有最大值，但无最小值 B．既有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
【典例13】（2021·全国高三专题练习）已知 ， ，当 时， 恒
成立，则 的最小值是_____.
【总结提升】
函数最大值和最小值定义中两个关键词：
①“存在”：
M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，
如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
②“任意”：
最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元
素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
【变式探究】1.（2020·上海高三一模）设 ， ，若 ，则 的（ ）
A．最小值为8 B．最大值为8
C．最小值为2 D．最大值为2
x2 2ax8,x1

f(x) 4
2.（2020·辽宁省高三其他（文））已知函数 ，若 的最小值为 ，则
x a,x1

 x f(x) f(1)
实数a的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法拓展】
求函数最值（值域）的常见方法：
f(x) [a,b] f(a) f(b) f(x)
1.单调性法： 利用函数的单调性:若 是 上的单调增(减)函数,则 , 分别是 在区
[a,b]
间 上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最
值.
y ax2 bxc(a 0)
3. 利用配方法:形如 型,用此种方法,注意自变量x的范围.
sinx[1,1], cosx[1,1]
4.利用三角函数的有界性,如 .
axb ax2 bxe
y 
5.利用“分离常数”法:形如y=cxd 或 cxd ( a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可
用此法.
y axb cxd
6.利用换元法:形如 型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若
给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意
检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.
考点七：抽象函数的单调性问题
【典例14】（2021·海南高三其他模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且
当 时， ，则关于 的不等式 （其中 ）
的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【典例15】设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0
时，0<f(x)<1.求证：
(1)f(0)＝1；
(2)x∈R时，恒有f(x)>0；
(3)f(x)在R上是减函数．
【总结提升】
1.所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调
性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．
2.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型[即给出f(x＋y)所具有的性质，如
本例]，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x)＝f[x＋(x－x)]，再利用题设条件将它用f(x)
2 1 2 1 1
与f(x－x)表示出来，然后利用题设条件确定f(x－x)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x)
2 1 2 1 2
与f(x)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x)＝f(x·)即可．
1 2 1
【变式探究】
f(x) R xR
1.（2020·上海高三专题练习）函数 的定义域为 ，并满足以下条件：①对任意 ，有
1
f( )1
f(x)0；②对任意x,yR，有 f(xy)[f(x)]y ；③ 3 .
f(0)
（Ⅰ）求 的值；
f(x) R
（Ⅱ）求证： 在 上是单调增函数；a bc0 b2 ac f(a) f(c)2f(b)
（Ⅲ）若 ，且 ，求证： .
2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)
＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≥3.