专题3.2函数的单调性与最值2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.2 函数的单调性与最值 1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性. 新课程考试要求 2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想 核心素养 象（例9.10）等核心数学素养. 1.确定函数的最值（值域） 2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调 考向预测 性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值 等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查. 【知识清单】 1. 函数的单调性 DD I x x x  x （1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数； DD I x x x  x （2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是减函数. 2．函数的最值 y  f x 1.最大值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： f xM xI （1）对于任意的 ，都有 ； x I f x M （2）存在 0 ，使得 0 . y  f x 那么，我们称M 是函数 的最大值. y  f x 2.最小值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数 m 满足： f xm xI （1）对于任意的 ，都有 ； x I f x m （2）存在 0 ，使得 0 .y  f x m 那么，我们称 是函数 的最小值. 【考点分类剖析】 考点一 单调性的判定和证明 0, 【典例1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ） x 1 y  A． y  x1 B． y  x2 1 C．  2   D．y log x 2 【典例2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【规律方法】 掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差 的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系 及不等式的性质进行判断． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调 性． （3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. （4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 【变式探究】 1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是 （ ） A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y= 在R上为增函数 D．y= f(x)在R上为减函数 2.已知 ，那么 ( ) f (x)=1+2x−x2 g(x)=f [f (x)] A. 在区间(−2,1)上单调递增 B. 在(0,2)上单调递增 C. 在(−1,1)上单调递增 D. 在(1,2)上单调递增 考点二：求函数的单调区间【典例3】（2021·全国高一课时练习）函数f(x)= 在（ ） A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 【典例4】函数 的单调递增区间是（ ） f(x)=√x2−2x−8 A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞) 【规律方法】 确定函数的单调区间常见方法： 1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. y  f gx u  gx y  f u   3.复合函数法：对于函数 ，可设内层函数为 ，外层函数为 ，可以利用复 合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数 y  f gx   在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数 y  f gx   在区间D上单调递减. fx0 f x f x 4.导数法：不等式 的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递增区间，不等式 fx0 f x f x 的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递减区间. 【变式探究】 y=log (x2−3x+2) 1.函数 1 的单调递增区间是（ ） 2 3 3 A (−∞,1) B (2,+∞) C (−∞, ) D ( ,+∞) 2 2 2．（2021·浙江高一期末）若函数 ，则下列判断中正确的是___________． （1） ，即函数的图象关于点 成中心对称；（2）函数的值域为 ； （3）函数的单调递减区间是 ． 【特别警示】 1.单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减 函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． 2.区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单 调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不 包括这些点． 考点三：利用单调性比较大小 【典例5】（2021·河南安阳市·高三一模（理））设函数 满足 ，且 有 ，则（ ） A． B． C． D． 【典例6】（2020·四川省高三三模（理））定义在实数集 上的函数 满足 ，且 当 时， 是增函数，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）. A． B． C． D． 【方法总结】 f(x) a,b,c f(a), f(b), f(c) 先判断出函数 的单调性，然后判断 之间的大小关系，利用单调性比较出 之间的 大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转 化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 【变式探究】 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，且对任意x ，x ∈（0，3)都有 1 2f(x )−f(x ) ，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ） 2 1 <0 a=2−√3 b=log 3 c=eln4 x −x 2 2 1 A．f(a)0 时，00； (3)f(x)在R上是减函数． 【总结提升】 1.所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调 性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法． 2.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型[即给出f(x＋y)所具有的性质，如 本例]，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x)＝f[x＋(x－x)]，再利用题设条件将它用f(x) 2 1 2 1 1 与f(x－x)表示出来，然后利用题设条件确定f(x－x)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x) 2 1 2 1 2 与f(x)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x)＝f(x·)即可． 1 2 1 【变式探究】 f(x) R xR 1.（2020·上海高三专题练习）函数 的定义域为 ，并满足以下条件：①对任意 ，有 1 f( )1 f(x)0；②对任意x,yR，有 f(xy)[f(x)]y ；③ 3 . f(0) （Ⅰ）求 的值； f(x) R （Ⅱ）求证： 在 上是单调增函数；a bc0 b2 ac f(a) f(c)2f(b) （Ⅲ）若 ，且 ，求证： . 2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4) ＝5. (1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m－2)≥3.