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专题3.18 切线长定理（专项练习1）
一、单选题
知识点一、切线的定义
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
2．下列命题中的真命题是（ ）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
3．如图，在四边形 中， ， ， 为 的中点，以点
为圆心、 长为半径作圆，恰好点 在 上，连接 ，若 ，下列
说法中不正确的是( )
A．D是劣弧BE的中点 B．CD是⊙O的切线
C．AE // OD D．∠DOB=∠EAD
4．平面内，⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，过点 可作⊙ 的切线条数（
）
A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条
知识点二、构成切线的条件
5．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下
列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
6．如图， 是 的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与 相切
于点A的条件是（ ）
A． B．
C．AC是 直径 D． 且
7．在 中， ， ， ，以C为圆心作 与AB相切，
则 的半径长为（ ）
A．8 B．4 C．9.6 D．4.8
8．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，
还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE=DO B．AB=AC
C．CD=DB D．AC∥OD
知识点三、圆的切线判断
9．如图， 是 的直径， 是 的切线，若 ， ，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．已知⊙O及⊙O外一点P，过点P作出⊙O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具)，
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；
②以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图1)．
乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P；
②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在⊙O上，记这时
直角顶点的位置为点M；
③作直线PM，则直线PM即为所求(如图2)．
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．甲乙都对 B．甲乙都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，已对
11．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=ATC．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠ATC=∠B
12．如图，将直角三角板的直角顶点 放在 上，直角边 经过圆心 ，则另一直角
边 与 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
知识点四、切线的性质
13．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则
∠BAC的度数是（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
14．如图， . 分别与 相切于 . 两点，点 为 上一点，连接 . ，
若 ，则 的度数为（ ）.
A． ； B． ； C． ； D． .15．如图， 为 的切线，切点为 ，连接 ， 与 交于点 ，延长
与 交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
16．如图， 内接于圆， ，过点 的切线交 的延长线于点
．则 （ ）
A． B． C． D．
知识点五、切线的性质与判定综合
17．如图， 是 的弦，点 在过点 的切线上， ， 交 于点 ．
若 ，则 的度数等于（ ）A． B． C． D．
18．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B=20°，则
∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
19．如图，等边三角形 的边长为8，以 上一点 为圆心的圆分别与边 ，
相切，则 的半径为（ ）
A． B．3 C．4 D．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的
周长为（ ）
A．44 B．42 C．46 D．47
知识点六、用切线长定理求解
21．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
22．如图，等腰 的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，且
， ，则 的长是( )
A． B． C． D．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
24．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则
∠AMB的大小为（ ）A．25° B．30° C．45° D．50°
二、填空题
知识点一、切线的定义
25．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两
条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”)
26．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
27．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=4，∠CBA=30°，点D在AO上运动，点E
与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论:
①CE=CF；②线段EF的最小值为 ；③当AD=1时，EF与半圆相切；
④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4 .其中正确的序号是____
28．已知在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 是抛物线
对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当 的值确定时，抛物
线的对称轴上能使 为直角三角形的点 的个数也随之确定．若抛物线
的对称轴上存在3个不同的点 ，使 为直角三角形，则的值是____．
知识点二、构成切线的条件
29．如图，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应
满足的条件是________(只填一个即可)．
30．如图， 、 是 上的两点， 是过 点的一条直线，如果 ，那
么当 的度数等于________度时， 才能成为 的切线．
31．如图，已知∠ABC=30°,以O为圆心、2cm为半径作⊙O, 使圆心O在BC边上
移动, 则当OB=____________cm时, ⊙O与AB相切
32．如图， 是 的直径， 交 于D， ，垂足为E，请你添加一个
条件，使 是 的切线，你所添加的条件是________.
知识点三、证明直线为圆的切线
33．在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：
老师说：“小轩的作法正确．”
请回答：⊙P与BC相切的依据是______________________________ ．
34．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝_____cm时，AC是
⊙O的切线．
35．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝_______cm时，AC
是⊙O的切线
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直
径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则
FG的长为_____．
知识点四、切线的性质37．如图， 与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧 所对的
圆心角 的大小为_____度．
38．如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧 上．若∠BAC
＝66°，则∠EPF等于___________度．
39．如图，已知 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点 ，连接
．若 ，则 的度数是_________ ．
40．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，
以点P为圆心，PM长为半径作 当 与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．知识点五、切线的性质与判定综合
41．如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，
则AE＝____．
42．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，点D是BC边上一点，以BD为直径的半圆与边
AC相切于点E．若AB＝3，BC＝4，则BD＝_____．
43．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知
∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
知识点六、用切线长定理求解
44．如图，在 中， 的半径为 点 是 边上的动点，过点 作 的一条切线 (其中点 为切点)，则线段 长度的最小值为____．
45．如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD=3，CD=2，△ABC的周长为
14，则AB=__．
46．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为
________．
47．如图， 中， ， ， ，则 的内切圆半径为
________．
48．如图：PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=8cm，则
△PDE的周长为____cm．三、解答题
知识点一、构成切线的条件
49．如图，在 中， ，点 在 边上， 经过点 和
点 且与 边相交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
知识点二、证明直线为圆的切线
50．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，
AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．知识点三、切线的性质
51．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝
13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
知识点四、切线的性质与判定综合
52．已知：如图， 、 是 的切线，切点分别是 、 ， 为 上一点，过
点作 的切线，交 、 于 、 点，已知 ，求 的周长．知识点五、用切线长定理求解
53．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D
作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则DE=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．参考答案
1．D
【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别
进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及
三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
2．D
【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即
可得.
【详解】
①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【点拨】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形
等相关知识是解决此题的关键.
3．D
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理以及结合圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、平
行线的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
A、∵∠BAD=25°，∠EAD=25°，∴∠DAB=∠EAD，
∴ ，故此选项正确，不合题意；
B、∵∠BAD=25°，
∴∠ADO=25°，
∵∠ADC=115°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线，故此选项正确，不合题意；
C、∵∠EAD=∠ADO，
∴AE∥DO，故此选项正确，不合题意；
D、无法得出∠DOB=50°，∠EAD=25°，故此选项错误，符合题意．
故选D．
【点拨】此题主要考查了切线的判定以及圆心角、弧、弦的关系、切线的判定方法、
平行线的判定方法等知识，正确掌握相关判定方法是解题关键．
4．A
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可得到答案．
【详解】
⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
,
点 与⊙ 的位置关系是：点 在⊙ 的内部，
过点 可以作⊙ 的 条切线．
故选：A．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，切线的定义，切线是圆与直线有且只有一个
公共点的直线，正确的理解定义是解题的关键．
5．D
【解析】
【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案.
【详解】
∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选：D．【点拨】本题考查切线的证明，解题的关键是掌握切线的证明方法.
6．D
【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可.
【详解】
解：A.当 ，则AC为 的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF
直线EF与 相切；
B.AC不一定是 的直径，所以不能判断EF直线EF与 相切；
C. AC为 的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与 相切；
D. 当 ，则AC为 的直径，且 ，所以EF直线EF与 相切.
故选D.
【点拨】本题主要考查切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线.
7．D
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的
面积公式求得CD的长即可.
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵S ，
△ABC
∴ ，
则以C为圆心CD为半径作 与AB相切.
故选D.【点拨】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在
于熟练掌握其知识点.
8．A
【详解】
：根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是
△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切
线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切
线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．故选A.
9．C
【详解】
试题分析：根据BT是 的切线，可知∠ABT=90°，则△ABT是等腰直角三角形，
然后根据直径做对圆周角是直角，可利用割补法可知阴影部分的面积为△ABT面积的一半，
因此可知阴影部分的面积为 .
故选C
考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形
10．A【分析】（1）连接OM，OA，连接OP，作OP的垂直平分线l可得OA=MA=AP，进
而得到∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，所以∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，得出MP是
⊙O的切线，（2）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，
直角顶点落在⊙O上，所以∠OMP=90°，得到MP是⊙O的切线．
【详解】
证明：（1）如图1，连接OM，OA．
∵连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A，∴OA=AP．
∵以点A为圆心、OA为半径画弧、交⊙O于点M；
∴OA=MA=AP，∴∠O=∠AMO，∠AMP=∠MPA，∴∠OMA+∠AMP=∠O+∠MPA=90°，
∴OM⊥MP，∴MP是⊙O的切线；
（2）如图2．
∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落
在⊙O上，∴∠OMP=90°，∴MP是⊙O的切线．
故两位同学的作法都正确．
故选A．
【点拨】本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性．
11．D
【分析】分别利用切线的判定进而得出∠BAT=90°，得出答案即可．
【详解】
A．
∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直
线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B．∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此
选项错误；
C．∵AB为直径，∴∠BAC=90°．
∵∠B=55°，∴∠BAC=35°．∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D．∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了切线的判定，正确把握判定方法得出∠BAT=90°是解题的关键．
12．B
【分析】根据圆的切线的判定定理即可得到BC与⊙O相切．
【详解】
解：相切，
∵AB，BC是直角三角板的两条直角边，
∴AB⊥BC，
∵AB经过圆心O，
∴OB⊥BC，
∵点B在⊙O上，
∴BC与⊙O相切，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握圆的切线的判定定理是解决
问题的关键．
13．B
【分析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，∴∠OAB＝ ＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【点拨】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握
以上知识是解题的关键．
14．D
【分析】连接 . ，由切线的性质可知 ，由四边形内角和
可求出 的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半）可知 的度数.
【详解】
解：连接 . ，
∵ . 分别与 相切于 . 两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
【点拨】本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定
理是解题的关键.
15．D【分析】由切线性质得到 ，再由等腰三角形性质得到 ，然后
用三角形外角性质得出
【详解】
切线性质得到
故选D
【点拨】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关
键
16．B
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后
根据外角的性质得出∠CAB.
【详解】
解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.【点拨】本题考查了切线的性质，三角形内角和，外角，解题的关键是根据切线的性
质得出∠COP.
17．B
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答
案.
【详解】
∵ ，
∴∠APO=70°，
∵ ，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，
故答案为：B.
【点拨】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
18．D
【详解】
如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选D．
考点：切线的性质.
19．A
【分析】连接 ， ，根据等边三角形的性质及含30°的直角三角形的性质即可求
解.
【详解】
设 与 的切点为 ，
连接 ， ，
∵等边三角形 的边长为8，
∴ ， ，
∵圆分别与边 ， 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
故选A．【点拨】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
20．A
【分析】根据圆的切线的性质求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD+BC＝AB+CD＝22，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，
故选：A．
【点拨】本题考查了圆的外切四边形的周长问题，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
21．B
【分析】根据切线长定理进行求解即可.
【详解】
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的
关键.
22．D
【分析】如图，连接 、 、 ， 交 于 ，先证明点 、 、 共线，
即 ，从而可得 ，在 中，利用勾股定理求出AE长，再由切线长定理求得BD长，进而得AD长，设⊙ 的半径为 ，则 ，
，
在 中，利用勾股定理求得 ，在 中，求得 ，再证
明OB垂直平分 ，利用面积法可得 ，求得HE长即可求得答案.
【详解】
连接 、 、 ， 交 于 ，如图，
等腰 的内切圆⊙ 与 ， ， 分别相切于点 ， ，
平分 ， ， ， ，
，
，
点 、 、 共线，
即 ，
，
在 中， ，
，
，
设⊙ 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，在 中， ，
， ，
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
故选D．
【点拨】本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等
腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关
键.
23．D
【分析】根据切线长定理可知CA=CD，求出∠CAD，再证明∠DBA=∠CAD即可解决
问题．
【详解】
解：∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA=CD，
∵∠ACD=48°，
∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠DBA=∠CAD=66°，
故选D．
【点拨】本题考查切线长定理和切线的性质、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角
是直角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．D
【解析】
【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为
直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O
的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底
角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．
【详解】
解：∵MA切⊙O于点A，AC为直径，
∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，
∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠MBA＝65°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，
故选：D．
【点拨】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，切线长定
理以及三角形内角和定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
25．一 外
【解析】
【分析】根据切线的定义求解即可.
【详解】
如图，当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,
则点P必在⊙O外.
故答案为：一；外.
【点拨】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，
熟练掌握切线的定义是解答本题的关键.
26．切线．
【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.
【详解】
经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：切线．
【点拨】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关
键.
27．①③
【详解】
试题分析：
①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF，
∴CE=CD=CF．故①正确．
②当CD⊥AB时，如图所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．∵AB=4，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=2，BC=2 ．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD= BC= ．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为 ．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为2 ．故②错误．
③当AD=1时，连接OC，如图所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=2，AD=1，
∴DO=1．
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°，
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，
∴OC⊥EF，
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，
∴EF与半圆相切．故③正确．④∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点O时，
点E的运动路径AM与AO关于AC对称，
点F的运动路径NG与AO关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图中阴影部分．
∴S =2S =2× AC BC=2 ．故④错误．
阴影 △AOC
故答案为①③．
考点：等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
切线的判定、轴对称的性质
28．2或
【分析】分 ， 和 确定点M的运动范围，结
合抛物线的对称轴与 ， ， 共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．
【详解】
解：由题意得：O（0,0），A（3，4）
∵ 为直角三角形，则有：①当 时，
∴点M在与OA垂直的直线 上运动 （不含点O）；如图，
②当 时， ，
∴点M在与OA垂直的直线 上运动 （不含点A）；
③当 时， ，
∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，
∴点P为OA的中点，
∴
∴半径r=
∵抛物线 的对称轴与x轴垂直
由题意得，抛物线的对称轴与 ， ， 共有三个不同的交点，
∴抛物线的对称轴为 的两条切线，而点P到切线 ， 的距离 ，
又
∴直线 的解析式为： ；直线 的解析式为： ；
∴ 或4
∴ 或-8
故答案为：2或-8
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角
三角形的判定，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
29．∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B
【解析】
所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.
故答案为∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B.
30．60
【解析】
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而
可求得∠CAB的度数．
【详解】
∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴∠OAB=30°，
∴当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60
【点拨】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
31．4【解析】试题解析：如图，设切点为M，连接OM，
∴OM⊥AB，∵OM=2，∠B=30°，∴OB=4．【点拨】本题主要考查切线的性质、含30
度角的直角三角形，关键在于根据题意画出图形，然后作出辅助线OM．
32． 或
【详解】
结合 ，只需 ，根据 是 的中点，只需 即可；或要
使 ，则连接 ，只需 ，根据等腰三角形的三线合一即可．
33．经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【解析】
作PD⊥BC，如图所示：
∵BF平分∠ABC，∠A=90°
∴PA=PD，
∴PD是⊙P的半径，
∴D在⊙P上，
∴BC是⊙P的切线．
故答案是：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点拨】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性
质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查
了切线的判定．
34．6
【解析】
【分析】根据切线的判定定理当∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,然后根据勾股定理计
算AC.
【详解】
∵⊙O的半径为4 cm，
∴BC=8cm，
∵BC是直径，
∴∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,
∴ .
故答案为6.
【点拨】本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查
了勾股定理.
35．6
【解析】
【分析】若AC是是⊙O的切线，则∠C=90°，然后根据勾股定理即可求出AC的长.
【详解】
∵⊙O的半径为4 cm，
∴BC=10 cm，
若AC是是⊙O的切线，则∠C=90°，
∴ .
故答案为：6.
【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆
的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并
且垂直于这条半径的直线是圆的切线.36． ．
【分析】先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出
DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．
【详解】
如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD= AB=5，
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF= BC=4，
∴DF= =3，
连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，∴S = DF×BF= BD×FG，
△BDF
∴FG= ，
故答案为 .
【点拨】此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位
线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
37．144
【分析】根据正多边形内角和公式可求出 、 ，根据切线的性质可求出
、 ，从而可求出 ，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【详解】
解： 五边形ABCDE是正五边形，
．
AB、DE与 相切，
，
，
故答案为144．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练
掌握切线的性质是解决本题的关键．
38．57
【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理
可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．
【详解】
解：连接OE，OF，
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为57.
【点拨】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的
性质是本题的关键．
39．25
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出
∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
【详解】
解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25．
【点拨】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
40. 3或
【分析】分两种情况： 与直线CD相切、 与直线AD相切，分别画出图形进行求解
即可得.解：如图1中，当 与直线CD相切时，设 ，
在 中， ，
，
，
， ；
如图2中当 与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则 ，四边
形PKDC是矩形，
，
， ，
在 中， ，
综上所述，BP的长为3或 ．
【点拨】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论
的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．
41．9．【分析】根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，进而解答即可．
【详解】
解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查的知识点是切线的性质，根据切线的性质得出BE＝BD，DC＝CF，
AF＝AE是解此题的关键．
42．3
【分析】根据勾股定理求得AC＝5，证得AB是切线，根据切线长定理得出AE＝AB
＝3，即可求得EC＝2，然后根据切割线定理即可求得CD，进而求得BD．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝ ＝5，
∵BD为直径，BD⊥AB，
∴AB是圆的切线，
∴AE＝AB＝3，
∴CE＝2，
∵CE2＝CD•BC，即22＝CD•4，
∴CD＝1，
∴BD＝3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，切割线定理，熟练掌握性质定理
是解题的关键．
43．44°
【分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，根据等角的余角相等，
易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．
【详解】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为44°
【点拨】此题考查了切线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握
数形结合思想与方程思想的应用．
44．
【分析】如图：连接OP、OQ，根据 ,可得当OP⊥AB时，PQ最短；
在 中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用
等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图：连接OP、OQ，
∵ 是 的一条切线
∴PQ⊥OQ∴
∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB= ,AO=cos∠A·AB=
∵S =
△AOB
∴ ，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ= ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此
正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．
45．5
【解析】
【分析】如图所示：由切线长定理可知：BE=BD=3，CD=CF=2，AE=AF，然后根据
△ABC的周长为14求解即可．
【详解】
解：如图所示：由切线长定理可知：BE=BD=3，CD=CF=2，AE=AF．
设AE=AF=x．
根据题意得：2x+3+3+2+2=14．
解得：x=2．
∴AE=2．
∴AB=BE+AE=3+2=5．
故答案为；5．
【点拨】本题主要考查的是三角形的内切圆，利用切线长定理得到BE=BD=3，
CD=CF=2，AE=AF是解题的关键．
46．52
【解析】
【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即
可得．
【详解】
根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=52
故填：52
【点拨】此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等．
47．
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形
OECF是正方形，然后利用切线长定理求得半径r即可．
【详解】
如图，∵在 ， ， ，
∴由勾股定理得： ，
∵圆O为 的内切圆，
∴ ， ；
四边形 是正方形；
由切线长定理，得： ， ， ；
，
即： ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟
练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．
48．16
【分析】根据切线长定理，即可得到PA＝PB，CD＝AD，CE＝BE，从而求得三角形
的周长．
【详解】
解：∵PA、PB切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，
∴PA＝PB＝8，CD＝AD，CE＝BE；
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋CD＋CE＝2PA＝16（cm）．
故填：16.【点拨】此题主要是考查了切线长定理,解题的关键是熟知切线长定理的运用.
49．(1)见解析；(2)
【分析】(1)连接 ，根据等腰三角形的性质得到
，求得 ，根据三角形的内角和得到
，于是得到 是 的切线；
(2)连接 ，推出 是等边三角形，得到 ，求得
，得到 ，于是得到结论．
【详解】
(1)证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
(2)解：连接 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的半径 ．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．
50．（1）AC=5 ，AD=5 ；（2）直线PC与⊙O相切
【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾
股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出
AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出
∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，
根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.
【详解】
解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD= AB= ×10=5 cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.
51．（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．【点拨】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
52． 的周长是 ．
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，代入PE＋EF＋PF＝PE＋
EQ＋FQ＋PF即可求出答案．
【详解】
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA＝PB＝12cm，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长是：PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF，
＝PE＋EB＋PF＋FA＝PB＋PA＝12＋12＝24，
答：△PEF的周长是24cm．
【点拨】本题主要考查对切线长定理的理解和掌握，能根据切线长定理得出PA＝
PB、EB＝EQ、FQ＝FA是解此题的关键．
53．（1）见解析；（2）①3；②45.
【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，
即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角
形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边
相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接DO．∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 ，
∴AB=2AC=4 ，
∴BC= =6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE= BC=3，
故答案为3；
②当∠B=45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为45．
【点拨】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
