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专题3.15 平面直角坐标系背景下的存在性问题（专项练习）
一、单选题
1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角
形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，
在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．(3，1)或(3，3) B．(3， )或(3，3)
C．(3， )或(3，1) D．(3， )或(3，1)或(3，3)
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 ，且 ，在y轴上确定一点P，使
为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点， 、 ，D为
OA的中点，P为BC边上一点，若 为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题4．在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存
在x轴一点P，使AP+BP最小，则P点坐标是______．
5．如图，在 中， ， ，以C为原点， 所在直线为y轴，
所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使 为等腰三角形，
符合条件的点M有__________个．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，
4）．连接OA，
线段OA长______； (2)若在直线a上存在点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形．那
么所有满足条件的点P的坐标是________________．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，
以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求点 B 的坐标
（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接
写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点
上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，5）、C（0，3）．
（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标．
（2）将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得△AB C ，画出△AB C ．
1 1 1 1 1 1
（3）在直线y＝1上存在一点P，使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ．
（1）请画出 关于 轴对称的 （其中 ， ， 分别是 ， ， 的对称点，
不写画法，写出 、 、 的坐标）
（2）在 轴上是否存在一点 ，使 的值最小，若有，请作出点 ，并直接写出点的坐标，若没有，请说明理由．
10．在平面直角坐标系 中，已知点 ，在 轴上找一点 ，使得 是
等腰三角形，求点 的坐标.
11．如图是规格为 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（2）在第二象限内的格点上找一点 ，使点 与线段 组成一个以 为底的等腰三角
形，且腰长是无理数，画出 ，则点 的坐标是 ， 的周长是 （结果保留根
号）；
（3）作出 关于 轴对称的 .12．直线AB交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2），
（1）若P是x轴上一动点，问是否存在点P，使得S =3S ，若存在，求出P点的坐
△PAB △OAB
标；若不存在，请说明理由．
（2）若P是平面直角坐标系内一点，使得P，B，O为顶点的三角形与△AOB全等，请直
接写出P点的坐标：
13．已知在平面直角坐标系中有三点 、 、 请回答如下问题：
如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置，求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面
积；在y轴上否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直
接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知在平面直角坐标系中有三点 ．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点 的位置，并画出 ．
（2）求出以 三点为顶点的三角形的面积．
（3）在 轴上是否存在点 使以 三点为顶点的三角形的面积为 ．若存在，请直接
写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为 个单位长度， 的顶点 ， 的坐
标分别为 ， ．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点 的坐标．
（2）平移 ，使点 移动到点 ，画出平移后的 ，其中点 与点 对应，点 与点 对应．
（3）求 的面积．
（4）在坐标轴上是否存在点 ，使 的面积与 的面积相等，若存在，请直接写
出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下
平移1个单位到△ABC ，△ABC 和△ABC 关于x轴对称．
1 1 1 1 1 1 2 2 2
（1）画出△ABC 和△ABC ；
1 1 1 2 2 2
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋AP的值最小，直接写出P的坐标为 ；
1
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．17．已知 在平面直角坐标系内的位置如图， ， ， 、
的长满足关系式 ．
（1）求 、 的长；
（2）求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出
点 的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，以平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系，OA＝6 ，OC＝14，∠AOC＝45°，D是对角线AC的中点，点P从点A出
发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动到点B，同时点Q从点0出发，以每秒3个单位
的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．（1）求点A的坐标；
（2）连结PQ，AQ，CP，当PQ经过点D时，求四边形APCQ的面积．
（3）当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为________（直接写出
答案即可）
19．如图，在等腰三角形 中，底边 ，腰长为 ，以 所在直线为x轴，
以 边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）一动点P以 的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P
运动的时间为t（单位：s）
①当t为何值时， 是等腰三角形？并求出此时点P的坐标．
②当t为何值时， 与一腰垂直？
20．作图
如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角
形，且腰长是无理数；
（3）△ABC的周长＝ （结果保留根号）；
（4）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
21．平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如： 、
都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，
要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
（1）在图1中画出一个以 为边且与 全等的三角形；
（2）在图2中画出 的高线 ；（3）在图2中，在 轴正半轴上找一点 ，使 ；
（4）在图2中，找格点 使 为等腰三角形，并指出：图中这样的点 共有_______个．
22．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将
△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）在y轴上是否存在点M，使得三角形MFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小
值；如果不存在，请说明理由．
（3）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三
角形，求该抛物线的解析式；若顶点为F的抛物线交y轴负半轴于点P，且以点E、F、P
为顶点的三角形是等腰三角形， 请直接写出点P的坐标．23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系
后，△ABC的三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并求出点A′、B′、C′的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在点D，使得△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的
坐标（找出满足条件的两个点即可）；若不存在，请说明理由．
24．如图1，矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，以矩形的顶点O为原点，OA所在的直线为
x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在直线OA上取一点D，将△BDA沿
BD翻折，点A的对应点为点A'，直线DA'与直线BC的交点为F．
(1)如图2，当点A′恰好落在线段CB上时，取AB的中点E，
①直接写出点E、F的坐标；
②设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角
形，求该抛物线的解析式；
③在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出
周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
(2)在平面内找一点G，连结BG、FG，使四边形A'BGF为正方形，求点D的坐标．25．如图：在4×4的网格中存在线段AB，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标
系．
（1）直接写出点A、B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）；
（2）请在图中确定点C（1，﹣2）的位置并连接AC、BC，则△ABC是 三角形
（判断其形状）；
（3）在现在的网格中（包括网格的边界）存在一点P，点P的横纵坐标为整数（在格点
上），连接PA、PB后得到△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
26．如图，在平面直角坐标系内，点 是 轴上的点，点 是 轴上的点，将 沿直
线 翻折使点 落在 点处，过 点作 轴交 轴于点 ，已知 ．
（1）直接写出 、 两点的坐标．
（2）若在 轴上存在某点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形面积为40，求
点的坐标．（3）若 点是 轴上一动点，当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
27．在平面直角坐标系 中，点 与点 关于过点 且垂直于 轴的直线对称．
（1）以 为底边作等腰三角形 ，
①当 时，点 的坐标为________；
②当 且直线 经过原点 时，点 与 轴的距离为________；
③若 上所有点到 轴的距离都不小于1，则 的取值范围是________．
（2）以 为斜边作等腰直角三角形 ，直线 过点 且与 轴平行，若直线 上
存在点 ， 上存在点 ，满足 ，直接写出 的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半
轴上存在点 ， 轴正半轴上存在点 ，使 ，且 （如图1），则称
点 与点 为 －关联点．
（1）在点 ， 中，与 为45°－关联点的是________；（2）如图2， ， ， ．若线段 上存在点 ，使点 与点
为45°－关联点，结合图象，求 的取值范围；
（3）已知点 ， ．若线段 上至少存在一对30°－关联点，直接写出
的取值范围．参考答案
1．D
【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P
（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根
据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可
得答案．
解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，
又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，
∴2a2−8a＋26＝20，
∴（a−3）（a−1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，
∵CM2＝OM2＋OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2＋MP2＝CP2，∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，
解得：a＝ ．
∴P（3， ）．
综上，P（3， ）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分
类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．
2．B
【分析】本题应分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．
解：
如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5
（1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）；
（2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）；
（3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）
+4 = x ，解得x= ，则点P（0，- ）．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形性质，难度适中，关键是掌握△AOP
为等腰三角形时，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论．3．D
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨
论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾
股定理即可求出点P的坐标．
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°， ；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故选：D
【点拨】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题
有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
4．(0.75,0)
【分析】首先求得点B关于x轴的对称点B'点的坐标,然后再求得直线AB'与x轴的交点坐
标即可.
解： 点B的坐标为(2,1),
点B关于x轴的对称点B'的坐标为(2,-1).
设直线AB'的解析式为y=kx+b,将点A、B'的坐标代入得: ,
解得:k= ,b= .
直线AB'的解析式为y= .
令y=0得 =0,解得x= .
所以点P的坐标为( ,0).
【点拨】本题主要考查点的对称以及待定系数法求函数解析式，正确确定P的位置是关键.
5．6
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角
形”，分三种情况解答即可：①AB = AM；②BM = BA；③MA = MB．
解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有一点 ，交y轴有两点 ，
此时AB = AM，
为等腰三角形；
②以B为圆心，BA为半径画圆，
交直线x轴有两点 ，交y轴有一点 ，
此时BM = BA，
为等腰三角形；
③作AB的垂直平分线交y轴于点 ，交x轴于点 ，
此时MA = MB，
为等腰三角形，
是等边三角形，故 重合
符合条件的点有6个，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出
等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏．
6．5 （8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）
【解析】
∵A(3,4)，
∴OB=3，AB=4，∴OA= ，
①若AP=OA,则点P的坐标为：(8,4)或(−2,4)，
②若AP=OP,设点P的坐标为：(x,4)，
则(x−3)2=x2+42，
解得：x= ，
∴点P的坐标为( ,4)；
③若OA=OP,设P的坐标为(x,4)，
则x2+42=52，
解得：x=±3，
∴点P的坐标为：(−3,4)；
∴所有满足条件的点P的坐标是：(8,4)或(−2,4)或( ,4)或(−3,4).
故选：D.
点睛：本题考查了坐标与图形的性质、等腰三角形的性质及两点间的距离公式.在找符合题
意 的点的坐标时，分两种情况讨论：OA为等腰三角形的一条腰，OA为底边，是正确解
答本题的关键.同时要注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
7．(1)（0，4）(2)存在，Q点坐标为（ ，0）或（ ，0）或（2，0）
(3) 或
【分析】（1）因为三角形ABO为直角三角形，所以可依据勾股定理求出OB的长度，即
可求出点B的坐标.
（2）当AB=AQ时，三角形QAB为等腰三角形，当BQ=AB时，三角形QAB为等腰三角
形，再根据AB的长度分别求出点Q的坐标即可.
（3）由P（a，3）可知，p点在y=3直线上运动，画出简图，当a＞0和当a＜0时，分两种情况进行分析.
解：(1)由题意知AB= ，AO=2，根据勾股定理得
,所以点B的坐标为（0，4）
（2）设Q点坐标为（m，0）
当AB=AQ时，即AQ= = ，解得：m= 或
则此时Q点坐标为（ ，0）（ ，0）
当BQ=AB时，BQ= ，解得：m=2或-2
而m=-2时与A点重合，则m=2.
则Q的坐标为（2，0）
（3）①
由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的
交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示：
此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得.
设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得：
则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入 ，得x=
则此时G点坐标为（ ，3），则PG=a- =
则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH× + GP×OH× = GP(BH+OH)=GP×BO=
即
解得： .
②
当a小于0时，如图所示：
同理①得：PG= -a
则此时有： GP(BH+OH)= GP×BO=
解得：
则综上所述： 或
【点拨】本题考查知识点较为综合，解题关键在于需要借助图像，分情况进行讨论，在第
（2）问中，三角形以AB为腰长的等腰三角形的情况有三种，在第(3)问中，务必考虑P点
横坐标的正负情况.
8．（1）画图见解析， ；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】（1）依据点A、C的坐标分别为A（-3，5）、C（0，3），即可得到平面直角坐
标系；
（2）依据旋转方向、旋转中心以及旋转角度，即可得到△AB C ；
1 1 1（3）作点C关于直线y=1的对称点 '，连接AC'，与直线 的交点P即为所求．
解：（1）平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(﹣2，1)；
（2）如图所示，△ 即为所求；
1 1 1
（3）作点C关于直线 的对称点 '，连接AC'，与直线 的交点P即为所求．
如图所示，点P的坐标为(﹣1，1)．
【点拨】本题主要考查了利用旋转变换作图以及轴对称性质的运用，涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称
点．
9．（1）图见解析，A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）（2）P(0,-3)，图见解析．
【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，顺次连接即可，再利用所画图
形写出各点坐标；
（2）利用轴对称求出最短路径即可．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求,
A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）；
（2）如图所示：P点即为所求，P(0,-3)
找到B点关于y轴对称点B″，连接B″C，交y轴于点P，
此时PA＋PB的值最小．【点拨】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，根据题意得出对应点坐
标是解题关键．
10． 或 或 或 或
【分析】分三种情况：当 时，当 时，当 时分别进行讨论即可．
解：设点 ，根据勾股定理有
， ，
当 时,有
=
解得
∴
当 时,有
解得 或
∴ 或
当 时,有解得 或
∴ 或
综上所述，P的坐标为 或 或 或 或
【点拨】本题主要考查等腰三角形的定义及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）（-1，1）， ；（3）见解析
【分析】（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的
平面直角坐标系；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C即可，利用格点三角形分别
求出三边的长度，即可求出△ABC的周长；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可．
解：（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面
直角坐标系，如图；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C，点C的坐标为（-1，1），
，
AC=BC= ，
则△ABC的周长为： ；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示.【点拨】本题是对坐标系和轴对称的综合考查，熟练掌握轴对称，垂直平分线性质和勾股
定理是解决本题的关键.
12．（1） 或 ；（2）（-2，2）或（2，2）或（-2，0）
【分析】(1)设P（m，0），由S =3S ，列方程 |2−m|×2＝3× ×2×2，求得结果；
△PAB △OAB
(2)根据直角坐标系作图即可求解．
解：（1）存在，
设P（m，0），
∵S =3S ，
△PAB △OAB
∴ PA•OB＝3× OA•OB，
即： |2−m|×2＝3× ×2×2，
解得：m＝−4，m＝8，
∴P（−4，0）或P（8，0）；
（2）如图，△AOB≌△OBP , △AOB≌△POB, △AOB≌△P OB,
1 2 3
由直角坐标系可得P（-2，2），P（2，2），P（-2，0）
1 1 1
故答案为：（-2，2）或（2，2）或（-2，0）．【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角坐标系的特点及
三角形的面积公式．
13．（1）图见详解，5；（2）存在；P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【分析】（1）由题意根据点的坐标，直接描点以及根据点的坐标可知，AB∥x轴，且
AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离3-1=2，根据三角形面积公式求解；
（2）根据题意可知因为AB=5，要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，
又P点在y轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图；
依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，
∴ ；
（2）存在；
∵AB=5，S =10，
△ABP
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
【点拨】本题考查点的坐标的表示方法，熟练掌握并能根据点的坐标表示三角形的底和高
以及求三角形的面积．
14．（1）见解析；（2） ；（3）存在， 点的坐标为 或
【分析】（1）根据点的坐标，直接描点；
（2）根据点的坐标可知，AB∥y轴，且AB=3-（-2）=5，点C到线段AB的距离5，根据三
角形面积公式求解；
（3）要求△ABP的面积为10，只要P点到AB的距离为4即可，又P点在x轴上，满足题意的P点有两个．
解：（1）描点如图：
（2）由题意得， 轴，且 ，
（3）存在；
，
点到 的距离为 ，
又∵点 在x轴上，
∴ 点的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了点的坐标的表示方法，能根据点的坐标表示三角形的底和高并求三角
形的面积是解答的关键．
15．（1）建立平面直角坐标系见解析，点 的坐标 ；（2）见解析；（3） 的
面积为5；（4）存在，点 的坐标为 ； ； ； ．【分析】（1）直接利用已知点确定原点的位置，建立平面直角坐标系进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（4）分情况讨论P点位置，利用已知 的面积得出P点位置即可．
解：（1）如图所示：
点 的坐标 ；
（2）∵点 的对应为点
∴ 向右平移了8个单位，向下平移了7个单位，
分别将点 向右平移了8个单位，向下平移了7个单位得到点
和点 ，如下图：（3） 的面积
（4）存在，
当 在 轴上时，由题意得
解得
∴点 的坐标为 ；
当 在 轴上时，由题意得
解得
点 的坐标为 ；综上所述：点 的坐标为 ； ； ；
【点拨】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点是解题关
键．
16．（1）见解析；（2）（0，0）；（3）4
【分析】（1）根据平移的性质和轴对称的性质作出图形即可；
（2）连接BA 交x轴于点P，点P即为所求作；
2
（3）分三种情形讨论求解即可．
解：（1）如图，△ABC 和△ABC 即为所求作．
1 1 1 2 2 2
（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），
故答案为：（0，0）．（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等
腰三角形有一个，共有4个．
故答案为4.
【点拨】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换，以及等腰三角形的定义等知识，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（1）OA=4，OC=3；（2） ；（3）存在， ， ，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作 轴与点D， ，再由全等三角形的对应边相等性质解题；（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半
轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质
解题．
解：⑴由 .可知，
，
∴ .
⑵作 轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则 为等腰三角形，P的坐标为 ；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则 为等腰三角
形，P的坐标为 ；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则 为等腰三角形，， ；
所以存在，点P 或 或 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方
的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
18．（1）A点的坐标为（6，6）；（2）21；（3）（9，0）或（19，0）或（ ，0）或
（6，0）
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H，求出AH和OH即可；
（2）证明 ，表示出AP，CQ，根据OC=14求出t的值，得到AP，CQ，再
根据面积公式计算即可；
（3）由以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分CD=CQ，DQ=DC，QD=QC三种
情况讨论求解即可．
解：（1）过点A作AH⊥x轴于H，
∵
∴△AOH是等腰直角三角形
∴
∴A点的坐标为（6，6）
（2）∵
∵C点坐标为（14，0）
∵点D是对角线AC的中点
∴点D的坐标为（ ， ），即（10，3）
∵四边形ABCD是平行四边形∴
∴∠
当PQ经过点D时，
在 和 中
∴△
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形APCQ的面积为
即当PQ经过点D时，四边形APCQ的面积为21；
（3）∵
∴
当 时，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）
当 时，设Q点的坐标为
∴
解得，
∴Q点坐标为（ ，0）
当DC=DQ时，点D在QC垂直平分线上，则点 Q横坐标为∴Q点坐标为(6,0)
综上，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）或（ ，0）或（6，0）
故答案为：（9，0）或（19，0）或（ ，0）或（6，0）
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与
判定，解题的关键是根据等腰三角形的判定进行分类讨论．
19．（1） ， ， ；（2）① ， ， ； ， ；
②7或25
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，利用勾股定理求出OA，从而可写出坐标．
（2）①分 ， ， 三种情况分别求解；
②当PA⊥AC时和PA⊥AB时，分两种情况求出解．
解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴OB=OC= BC=4，又腰长AB=AC=5，
∴OA= =3，
∴ ， ， ；
（2）①当 时， 与 或 重合，不可能；
当 时， ，
解得 ．
此时 ，
， ．
当 时， ，此时 ，解得： ，
，即 ；
②当 时， ，即 ，
．
当 时， ，即 ，
．
【点拨】本题考查的坐标与图形，考查了点的坐标，等腰三角形的判定和勾股定理的知识
点，解题的关键是掌握分类讨论思想．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3） ；（4）见解析
【分析】（1）根据A点坐标为 ，B点坐标为 建立平面直角坐标系即可；
（2）在线段AB的垂直平分线上找一个格点，使得格点到A、B的距离为无理数即可；
（3）分别算出△ABC的三边长再求周长即可；
（4）根据轴对称图形的作图方法作图即可．
解：（1）平面直角坐标系如下图所示：
（2）如下图，△ABC即为所求．
（3）∵ ， ，
∴△ABC的周长 ，
故答案为： ．
（4）如下图，△A′B′C′即为所求．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系建立、等腰三角形及周长、轴对称作图等，熟练
掌握相关几何知识是解决本题的关键．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）10
【分析】（1）在 取点 即可；（2）取点 ，连 交直线 于 即可；
（3）取点 ，连 交 轴于 即可；
（4）分别以 为腰或底寻找符合情况的格点即可．
解：（1）如图， ；
（2）取点 ，连 交直线 于 ；
（3）取点 ，连 交 轴于 ；
（4）如图：符合题意的点P有10个．【点拨】本题考查了复杂作图，涉及到的知识点，全等三角形的性质，三角形的高，作相
等的角，等腰三角形的性质，熟知以上图形的性质特点是解本题的关键．
22．（1）E （3，1），F（1，2）；（2） + ；（3）正半轴P（0，4），
，负半轴P（0，-2．5）．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件直接写出点的坐标即可；（2）作点F关于y轴的对称点
F’，连接EF’， 与y轴交于点M，则点M就是所求点．根据勾股定理可求得EF’和BE的
长，即可得三角形MFE的周长最小值．（3）分三种情况讨论解答即可．
试题解析：（1）（3，1）；F（1，2）．
（2）存在点M，使得三角形MFE的周长最小．
如图①，作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’，与y轴交于点M，则点M就是所求点．
∵F' (−1,2)．
∴BF'=4．
在Rt△BEF’中，BF'=4，BE=2，根据勾股定理可得，EF’=√EB2+BF'2=√12+42=√17
．
在Rt△BEF中，由勾股定理可得EF= ．
∴三角形MFE的周长最小为 + ．
（3）设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为 ．
①如图②，当EF=PF时， ，
．
解得 （舍去）； ．
．
．
解得 ．
抛物线的解析式为
②如图③，当 时， ，
．
解得 ．
③当 时， ，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是 ．考点：二次函数综合题．
23．（1）画图见解析， (2,-2), (1,0), (3,-1)
（2）存在点D使得△COD为等腰三角形，
满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D (6,0);D ( ,0);D ( ,0);D (- ,0);D (0,5);D (0,
1 2 3 4 5 6
);D(0,2);D (0,- );（答案不唯一，正确即可得分）
7 8
解：试题分析：（1）按照条件画出即可，并根据关于X轴对称的点的特点写出点的坐标
（2）只要是线段OC垂直平分线上的点均满足条件，这样的点有很多
试题解析：(1)如图△ 即为所做的三角形.
其中 (2,-2), (1,0), (3,-1).
(2)存在点D使得△COD为等腰三角形，（答案不唯一，正确即可得分）
提示：如图所示，满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D (6,0);D ( ,0);D ( ,0);D (-
1 2 3 4
,0);D (0,5);D (0, );D(0,2);D (0,- );或垂直平分线 上任一点即可.
5 6 7 8
考点：1、关于X轴对称的点的坐标特征；2、线段的垂直平分线；3、等腰三角形的判定
24．(1)①E(3，1)，F(1，2)；②y＝2(x﹣1)2+2；③存在，四边形MNFE的周长最小值是5+；(2)点D坐标为(5﹣2 ，0).
【分析】（1）①△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形
ADFB是正方形，因而BF＝AB＝OC＝2，则CF＝3﹣2＝1，因而E、F的坐标就可以求出．
②顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y＝a
（x﹣1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况
进行讨论．当EF是腰，EF＝PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标
是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF＝EP时，
可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存
在．当EF是底边时，EP＝FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的
值．
③作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴
交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长
的最小值．
（2）过A'作x轴的垂线MN得到等腰Rt△A'ND，由四边形A'BGF为正方形可得A'F＝A'B
＝AB＝2，且△A'BF是等腰直角三角形，即能求BF的长，进而求A'M、CM，易得OD＝
ON+DN＝CM+A'N，即求出D的坐标．
解：(1)①∵矩形OABC中，OA＝3，OC＝2
∴∠BAO＝∠ABC＝90°，AB＝OC＝2，BC＝OA＝3
∴B(3，2)
∵E为AB中点
∴E(3，1)
∵△BDA沿BD翻折得△BDA'，点A'落在BC边上的F处，
∴∠BA'D＝∠BAD＝90°，AD＝A'D
∴四边形ABA'D是正方形
∴A'D＝AD＝A'B＝AB＝2
∴A'C＝BC﹣A'B＝1
∴F(1，2)
②∵抛物线顶点F(1，2)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x﹣1)2+2(a≠0)
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝1，BF＝2∴EF＝
设点P的坐标为(0，n)，其中n＞0
i)如图1，当EF＝PF时，PF2＝EF2＝5
∴12+(n﹣2)2＝5
解得：n＝0(舍去)；n＝4
1 2
∴P(0，4)
∴4＝a(0﹣1)2+2
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2(x﹣1)2+2
ii)如图2，当EP＝FP时，EP2＝FP2，
∴(2﹣n)2+1＝(1﹣n)2+32
解得：n＝- (舍去)
iii)当EF＝EP时，EP＝ ，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y＝2(x﹣1)2+2．
③存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点
∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，NF＝NF′，ME＝ME′
∴BF′＝4，BE′＝3
∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝E′F′＝
∵EF＝
∴FN+MN+ME+EF＝5+
∴四边形MNFE的周长最小值是5+ ．
(2)如图4，过点A'作MN⊥x轴于点N，交BC于点M
∴MN⊥BC，∠A'ND＝90°，四边形OCMN是矩形
∴ON＝CM，MN＝OC＝2
∵四边形A'BGF是正方形∴A'F＝A'B＝AB＝2
∴BF＝
∴A'M＝BM＝FM＝ BF＝
∴ON＝CM＝BC﹣BM＝3﹣ ，A'N＝MN﹣A'M＝2﹣
∵∠A'DN＝∠A'FM＝45°
∴DN＝A'N＝2﹣
∴OD＝ON+DN＝
∴点D坐标为(5﹣2 ，0)
【点拨】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的分类讨论，
最短路径，等腰直角三角形性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根
据对称转化为两点之间的距离的问题．
25．（1）0，1，-1，-1；（2）等腰直角；（3）8．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可直接写出A、B的坐标；
（2）画出图形，利用勾股定理计算出AB2、CB2、AC2，再利用逆定理证明△ACB是等腰
直角三角形；
（3）分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得P的位置及个数．
解：（1）根据平面直角坐标系可得A（0，1），B（-1，-1），故答案为：0；1；-1；-1；
（2）∵AB2=12+22=5，CB2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（3）如图所示：
，
满足条件的点P有8个，故答案为：8．
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，平面直角坐标系中点的坐标，勾股定理和逆定理，
解题关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形．
26．（1）点A（0,5），点B（10，0）；（2） 点的坐标为（4，0）或（ ，0）；
（3）点 的坐标点（0，5+ ）或（0，5- ）或（0，-5）或（0， ）．
【分析】（1）过C作CE⊥OB于E，设OA=x，在Rt△DAC中利用勾股定理列方程
，解方程求出点A坐标，再设OB=m，利用勾股定理列方程
，可求点B坐标；
（2）先求S ，点N分两种情况，当点N在OB上，以NB为底，OA为高，当点N在OB
△ABC
延长线上，以NB为底，CE为高，利用面积之差求出BN即可；
（3）先根据勾股定理求出AB= ，由 为等腰三角形，分两种情况，以AB为腰，
或以AB为底，画出相应图形求解即可．
解：（1）过C作CE⊥OB于E，
设OA=x，
∵点C（4，8）
∴DC=4，OD=8，AD=OD-OA=8-x，
∵将 沿直线 翻折使点 落在 点处，
∴AC=AO=x,
在Rt△DAC中
即
解得x=5
∴点A（0,5），
设OB=m，
∵OE=4,CE=8,
∴EB=OM-OE=m-4,BC=m，
在Rt△CEB中，即 ，
解得m=10，
∴点B（10，0）；
（2）∵S = ，
△ABC
点N分两种情况，
当点N在OB上，以NB为底，OA为高，
∴S = ，
△ANB
则 ，
解得 ，
∴ON=OB-BN=10-6=4
∴点N（4，0），
当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，
∴S = ，
△CNB则 ，
∴解得 ，
∴ON=OB+BN=10+ ，
∴点N（ ，0）
综合 点的坐标为（4，0）或（ ，0）；
（3）∵点A（0，5），点B（10，0）
∴AB= ，
∵ 点是 轴上一动点，当 为等腰三角形，
分两种情况
以AB为腰，则AB=AP，
∴PA=AB= ，
点P在OA延长线上，OP=OA+AP=5+ ，点P（0，5+ ）点P在AO延长线上，OP=AP-OA= -5，点P（0，5- ），
当AB=BP时，P为点A关于x轴的对称点，坐标为（0，-5）
以AB为底，则PA=PB设点P（0，t）
5-t=
∴
解方程得 ，
∴点P（0， ）
综合点 的坐标点（0，5+ ）或（0，5- ）或（0，-5）或（0， ）．
【点拨】本题考查图形与坐标，三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的
判定与性质，掌握三角形折叠性质，勾股定理，三角形面积，等腰三角形的判定与性质．
27．（1）①（3，1）；②1；③t≥2或t≤-2
（2）0≤b≤3或-1≤b≤2
【分析】（1）①根据A，B关于直线x=2对称解决问题即可．
②求出直线OA与直线x=0.5的交点C的坐标即可判断．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构
建不等式即可解决问题．
（2）由题意AB=t-（t-1）=2，由△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，推出点D到
AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）①如图1所示图1
由题意A（1，1），A，B关于直线x=2对称，
∴B（3，1）．
故答案为（3，1）．
②如图2所示
图2
由题意A（-0.5，1），直线l：x=0.5，
∵直线AC的解析式为y=-2x，
∴C（0.5，-1），
∴点C到x轴的距离为1，
故答案为1．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t-1≥1或t+1≤-1，
解得t≥2或t≤-2．
故答案为t≥2或t≤-2．
（2）如图3所示图3
∵A（t-1，0），B（t+1，0），
∴AB=t+1-（t-1）=2，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1，
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则
0≤b≤3．
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则-1≤b≤2．
综上所述，0≤b≤3或-1≤b≤2．
故答案为0≤b≤3或-1≤b≤2
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质
等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．
28．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据题意作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，根据点P的坐标得出 和
是等腰直角三角形，然后根据 得出 是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据题意表示出 为（0， ）， 为（ ，0），然后表示出关联点所在的
表达式，将y=4代入表达式表示出横坐标，根据 在线段 上可表示出横坐标的取值范
围，即可求出m的取值范围；
（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据30°角的三角函数值求解即
可．
解：（1）如图所示，作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，∵P ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴当 时，点Q的坐标为 ，
∴与 为45°－关联点的是 ；
（2）解：如图所示，对点P（m，8）（ ）而言，依定义，要使 ，则有：
为（0， ）， 为（ ，0），
于是函数 （ ）上的点Q即为点P的45°-关联点，
若当点Q在线段MN上时， ，则有 ，
由 ，得 ，
解得 ．
（3）∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点 和点 和O点重合，
如图所示，
作PE⊥y轴，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴当线段 上至少存在一对30°－关联点时， ．
【点拨】此题考查了平面直角坐标系中的动点问题，等腰直角三角形的性质，三角函数等
知识，解题的关键是根据题意表示出点的坐标．
