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专题 3.12 垂径定理专题训练（巩固篇）（专项练习）
一、知识回顾：
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、垂径定理的推论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
二、垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定
理解决问题
常见作辅助线方法有：
（1）连接半径
（2）过圆心作弦的垂线
常见的图形变形
H为半径中点
一、单选题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）A．4 B．6 C．6 D．8
2．如图， 为 的直径，弦 于点 ，若 ， 则 的长度为（
）．
A．5 B．4 C． D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的
长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
4．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝
52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）A．48 B．45 C．42 D．40
5．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（
）
A． m B． m C．5m D． m
6．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径
的圆与 相交于点 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，矩形 中， ， ， ， 分别是 ， 边上的动点，
，以 为直径的 与 交于点 ， ．则 的最大值为（ ）．
A．48 B．45 C．42 D．40
8．如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD=180°，弦CD=6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（
）A．3 B．2 C．3 D．6
9．如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，过点E作CD⊥AB，交⊙O于点C，D，以
下结论正确的是（ ）
A．若⊙O的半径是2，点E是OB的中点，则CD＝
B．若CD＝ ，则⊙O的半径是1
C．若∠CAB＝30°，则四边形OCBD是菱形
D．若四边形OCBD是平行四边形，则∠CAB＝60°
10．如图，半径为6的 分别与 轴， 轴交于 ， 两点， 上两个动点 ， ，使
恒成立，设 的重心为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，AB是 的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且 ，，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，点 是以 为直径的半圆上
两点，且四边形 是平行四边形，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．2
14．如图， 的直径 交弦 相于点 ，且 若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．15．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径
OB等于（ ）
A． B． C．4 D．5
16．如图，⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长是
（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a 3），半径为3，函数
y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．二、填空题
18．如图， 的半径 为6，弦 垂直平分 ，则 ________，
________．
19．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径
_______．
20．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，D是 的中点，过点B作BC⊥AB交⊙O于
点C，连接CD，则CD＝______________．
21．如图， 是半圆的直径，C为半圆的中点， ， ，反比例函数
的图象经过点C，则k的值为________．22．如图，在半径为1的扇形 中， ，点 是弧 上任意一点（不与点 ，
重合）， ， ，垂足分别为 ， ，则 的长为______．
23．如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的
中点 ，若 ，则圆 的半径为_____．
24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦 于H， ，则⊙O的半
径是_______．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点
D，则OD的长为______．
26．如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为________．27．如图， 、 是半径为5的 的两条弦， ， ， 是直 径，
于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小值为
____.
28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD
的长为_______．
29．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于
O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为 ，则点P的坐标为_______.
30．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．
31．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、
B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，AB为半
圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为_____．
32．如图，⊙ 的半径 于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 .若
,则 的长为 ___ .
33．如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC= ∠BOD,则⊙O的半
径为___.34．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 相交于A，B两点，且点
A在x轴上，则弦 的长为_________．
35．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一
点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为_____．
36．如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，过点B的直线与抛物线交于
点C（点C在x轴上方），过ABC三点的⊙M满足∠MBC=45°，则点C的坐标为
_________．
三、解答题
37．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过
点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E
(1)求线段DE的长；
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．38．如图， 是 的直径，弦 于点 ，点 在 上， 恰好经过圆心 ，
连接 .
（1）若 ， ，求 的直径；
（2）若 ，求 的度数.
39．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，
分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
40．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=
，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．参考答案
1．D
【分析】过 作 于 ，连接 ，根据含 角的直角三角形的性质得出
，根据勾股定理求出 ，再根据垂径定理得出 ，最后求出答案即
可．
解：过 作 于 ，连接 ，则 ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
过 ，
，即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了含 角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题
的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
2．C
【分析】连接CO，根据勾股定理求出CE的长，再根据勾股定理求出AC的长即可．
解：连接CO，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∵AE＝8，BE＝2，
∴AB＝10，
∴CO＝AO＝5，OE＝AE−AO＝8−5＝3，
∴CE＝ ，
AC＝ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是关键，属于基础题．
3．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝ ＝ ＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝ ＝ ＝4 ，
故选：D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
4．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利
用面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大
值为24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD 75，
∵ AH×BD AD×AB，
∴AH 36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM ，
∴此时HM有最大值，最大值为 24，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也
考查了矩形的性质和勾股定理．
5．D
【分析】连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在 中，由勾股定理得
出方程，解方程即可．
解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝ （m），
即这个轮子的半径长为 m，
故选：D．
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解
题的关键．
6．C
【分析】过C点作CH⊥AB于H点，在△ABC、△CBH中由 分别求出BC和BH，
再由垂径定理求出BD，进而AD=AB-BD即可求解．
解：过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴△ABC、△CBH均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为 ，
Rt△ABC中， ，
Rt△BCH中， ，
由垂径定理可知： ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，垂径定理等知识点，
熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
7．A
【分析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，先利用勾股定理计算出BD=75，则利用
面积法可计算出AH=36，再证明点O在AH上时，OH最短，此时HM有最大值，最大值为
24，然后根据垂径定理可判断MN的最大值．
解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD= ，∵ ×AH×BD= ×AD×AB，
∴AH= =36，
∵⊙O的半径为 26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM= ，
∴此时HM有最大值，最大值为：
24，
∵OH⊥MN，
∴MN=2MH，
∴MN的最大值为2×24=48．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也
考查了矩形的性质和勾股定理．
8．A
【分析】过O作OF⊥CD于F，由OC=OD，由三线合一可得CF=DF= ，
∠COF=∠DOF= ，由OE⊥AB，OA=OB，由三线合一AE=BE，∠AOE=∠BOE=
，可得∠COF+∠AOE ，由∠AOE+∠EAO=90°，可得∠EAO=∠COF，可证
△AOE≌△OCF（AAS）可得OE=CF=3即可．
解：过O作OF⊥CD于F，
∵OC=OD，
∴CF=DF= ，∠COF=∠DOF=
∵OE⊥AB，OA=OB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE= ，∴∠COF+∠AOE = + = ，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠COF，
在△AOE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF=3．
故选择：A．
【点拨】本题考查等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质掌握
等腰三角形性质，互余角性质，三角形全等判定与性质，圆的性质是解题关键．
9．C
【分析】根据垂径定理，解直角三角形知识，一一求解判断即可．
解：A、∵OC＝OB＝2，
∵点E是OB的中点，
∴OE＝1，
∵CD⊥AB，
∴∠CEO＝90°，CD＝2CE，
∴ ，
∴ ，本选项错误不符合题意；
B、根据 ，缺少条件，无法得出半径是1，本选项错误，不符合题意；C、∵∠A＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴BC＝OC，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∴BC＝BD，
∴OC＝OD＝BC＝BD，
∴四边形OCBD是菱形；故本选项正确本选项符合题意．
D、∵四边形OCBD是平行四边形，OC=OD，
所以四边形OCBD是菱形
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，
∴∠BOC＝60°，
∴ ，故本选项错误不符合题意．．
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，正确的理解题意是解题的关键．
10．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再
由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE= AO，连接
GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心， 为半径的圆上运动，可
知DG的最小值为DE的长减去 ，计算即可．
解：连接 并延长，交 于点 ，
的重心为 ，
为 的中点，
，
，
，
，
，
的重心为 ，
，
在 上取点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
，
．
在以 为圆心，2为半径的圆上运动，
， ，，
的最小值是 ，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判
定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解
题的关键．
11．C
【分析】 是 的直径，点 是弧 的中点，从而可知 ，然后利用勾股定理
即可求出 的长度．
解：设半径为 ，连接 ，
是 的直径，点 是弧 的中点，
由垂径定理可知： ，且点 是 的中点，
，
，
由勾股定理可知： ，
由勾股定理可知： ，
解得：
，
故选：C．
【点拨】本题考查垂径定理，解题的关键是正确理解垂径定理以及勾股定理，本题属于中
等题型
12．D【分析】作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E，则四边形MNCE是矩形．根据
垂径定理即可求得CE的长，即C的横坐标，然后在直角△MNC中，利用勾股定理求得
MN的长，则C的纵坐标即可求解．
解：作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），
∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，
∴CN＝DN＝ CD＝ OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，
∴EM＝CN＝4，
∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝ ＝3．
∴CE＝MN＝3．
∴C的坐标是：（1，3）．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理以及平行四边形的性质，把求点的坐标的问题转化成求线段
的长的问题是常用的解题方法．
13．C
【分析】作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，利用折叠的性质得AB垂直平
分OC，则AC＝AO，于是可判断△AOC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，利用含30度的
直角三角形三边的关系求出AD，然后利用垂径定理得到AD＝BD，从而得到AB的长．解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴OD＝ OA＝2，
∴AD＝ OD＝2 ，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4 （cm）．
故选：C．
【点拨】本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直
平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
14．D
【分析】过点O作 ，连接OC，设 ，根据垂径定理计算即可；
解：过点O作 ，连接OC，
设 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，结合勾股定理计算是解题的关键．
15．B
【分析】根据垂径定理好圆周角定理计算即可；
解：∵半径OC⊥弦AB，
∴ ，
∴ ，
又∵∠E＝22.5°，
∴ ，
又∵半径OC⊥弦AB，AB＝8，
∴ ，△BOD是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理，结合勾股定理计算是解题的关键．
16．C
【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．
解：∵⊙O的直径 垂直于弦 ，
∴
∵ ， ，∴CE=1
∴CD=2．
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的
关键．
17．B
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得
D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由
PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE= AB=2 ，在Rt△PBE中，利用勾股定理求得PE的
长，即可求解．
解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE= AB=2 ，
在Rt△PBE中，PB=3，∴PE= ，
∴PD= PE= ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角
形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键．
18．
【分析】连接 ，设 交于点 ，则 垂直平分 ，证明四边形 是菱
形，进而证明 是等边三角形，即可求得 ， ，进而求得 , ．
解：连接 ，设 交于点 ，则 垂直平分 ，
弦 垂直平分 ，
四边形 是菱形，
, ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，
适当添加辅助线是解题的关键．
19．
【分析】设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据
勾股定理，即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴点E是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进
行解题．
20．4
【分析】连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，由BC⊥AB可得出线段AC为⊙O的
直径，进而可得出∠ACD＝90°，由D是 的中点，利用垂径定理可得出OD⊥AB及AE的长度，在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OE的长，结合DE＝OD﹣OE可得出DE的
长，在Rt△AED中，利用勾股定理可求出AD的长，再在Rt△ADC中，利用勾股定理可求
出CD的长．
解：连接AC，AD，OD，设OD与AB交于点E，如图所示，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴线段AC为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°．
∵D是 的中点，
∴OD⊥AB，且AE＝BE＝ AB＝4．
在Rt△AEO中，AO＝5，AE＝4，∠AEO＝90°，
∴OE＝ ＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
在Rt△AED中，AE＝4，DE＝2，∠AED＝90°，
∴AD＝ ＝2 ．
在Rt△ADC中，AD＝2 ，AC＝10，∠ADC＝90°，
∴CD＝ ＝4 ．
故答案为：4 ．
【点拨】本题考查了勾股定理以及垂径定理，利用垂径定理及勾股定理，求出 及 的
长是解题的关键．21．
【分析】连接CD，并延长交x轴于点P，分别求出PD，PO，CD和PC的长，过点C作
CF⊥x轴于点F，求出PF，CF的长，进一步得出点C的坐标，从而可得出结论．
解：连接CD，并延长交x轴于点P，如图，
∵C为半圆的中点，
∴CP⊥AB，即∠ADP=90°
又∠AOB=90°
∴∠APD=∠ABO
∵A（2，0），B（0，1）
∴AO=2，OB=1
∴
∴
又
∴
∴
∴
∴过点C作CF⊥x轴于点F，
∴
∴
∴
∴
∴点C的坐标为（ ， ）
∵点C在反比例函数 的图象上
∴ ，
故答案为：
【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适
合这个函数解析式；求出点C坐标是关键．
22．
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决
问题即可．
解：连接AB，如下图所示：
∵∠AOB=90°，OA=OB=1，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ,
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
23． ．
【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
解：连接OA，设半径为x，
将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
， ，
，
，
，
解得， ．
故答案为 ．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出
半径的方程．
24．2
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出 ，由
直角三角形的性质得出 ，得出 ，
求出 即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦 于H，
，
，
在 中， ，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理等知
识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
25．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解：∵OD⊥BC，∴BD=CD= BC=3，
∵OB= AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD= =4．
故答案为4．
【点拨】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
26．50°
解：试题解析：∵OA⊥BC，
∴ ；
由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．
27． .
【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，
PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7 ，则PA+PC的最小值为7 ．
【点拨】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
28．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，
即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH= OP=1，然后在在
Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH= ，即CD=2CH=2 ．
解： 解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH= OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH= ，
∴CD=2CH=2 ．故答案为2 .
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此
题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
29．（3，2）．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定
理求出PD的长，故可得出答案．
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD= OA=3，
在Rt△OPD中 ∵OP= OD=3，
∴PD=2
∴P(3，2) .
故答案为（3，2）．
【点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的
关键．
30．
解：试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE= CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可
得： ，解得：r= ．
考点：垂径定理．
31．3+【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、D的坐标，进而可得出OD、
OA、OB，根据圆的性质可得出OM的长度，在Rt△COM中，利用勾股定理可求出CO的
长度，再根据CD=CO+OD即可求出结论．
解：当x=0时，y=（x﹣1）2﹣4=﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD=3；
当y=0时，有（x﹣1）2﹣4=0，
解得：x=﹣1，x=3，
1 2
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB=4，OA=1，OB=3．
连接CM，则CM= AB=2，OM=1，如图所示．
在Rt△COM中，CO= = ，
∴CD=CO+OD=3+ ．
故答案为3+ ．
【点拨】先根据二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，熟练掌握二次函数与一元二
次方程的关系是解答本题的关键.
32．
解：连接BE
∵⊙ 的半径 ,AB=2
∴ 且 ,若设⊙ 的半径为 ，则 .
在 △ACO中,根据勾股定理有 ,
即 ，
解得： .
∴ .
∵ 是⊙ 的直径，
∴
.
故答案为：
【点拨】在与圆的有关的线段的计算中，一定要注意各种情况下构成的直角三角形，有了
直角三角形就有可能用勾股定理、三角函数等知识点进行相关计算.本题抓住由半径、弦心
距、半弦构成的直角三角形和半圆上所含的直角三角形，三次利用勾股定理并借助方程思
想解决问题.
33．5
【分析】先根据∠BAC= ∠BOD可得出弧BC=弧BD，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即
可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．
解：∵∠BAC= ∠BOD，
∴弧BC=弧BD，
∴AB⊥CD，∵AE=CD=8，
∴DE= CD=4，
设OD=r，则OE=AE−r=8−r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8−r，
∵OD =DE +OE ,即r =4 +(8−r) ，解得r=5.
故答案为5.
【点拨】此题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解题关键在于得出AB⊥CD.
34．2 ．
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC= ，可求OA=2，OD=
，在Rt△AOD中，由勾股定理 ，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求
即可．
解：过O作OE⊥AB于C，
∵AB为弦，
∴AC=BC= ，
∵直线 与 相交于A，B两点，
∴当y=0时， ，解得x=-2，
∴OA=2，
∴当x=0时， ，
∴OD= ，在Rt△AOD中，由勾股定理 ，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，
∴△OAC∽△DAO，
即 ，
∴AB=2AC=2 ，
故答案为2 ．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形
相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
35．5
【分析】连接OA,连接OB交PA于点D,可得∠BAP=∠BPA=∠ACB= ,而
∠AOB=2∠ACB= ,所以∠OAP= ，在RT△OAD中可求得AD的长，继而求出PA的
长.
解：如图,连接OA,连接OB交PA于点D, 因为PB=AB, 所以由垂径定理,
OB⊥AP,∠BAP=∠BPA=∠ACB= ,而∠AOB=2∠ACB= ,所以∠OAP= ，
OA为圆的半径,即OA=5,所以
AD = cos ∠OAP xOA =
以AP=2AD= .
故答案： .
【点拨】本题主要考查圆中的计算问题和三角函数.
36．（5，3）
【分析】作 轴， 轴， ，垂足分别为D、E、F，连接DF，求出
CF=BD=1， ，求出CE=x-2，再由点C在抛物线上，设C
，可得方程 ，求解方程即可．
解：作 轴， 轴， ，垂足分别为D、E、F，连接DF，则
中， ， ，设点C的坐标为
对于 ，令y=0，则 ，
解得， ，
∵MD⊥AB,
∴BD=1
，
，
，
解得， （舍去）， ，
故答案为（5，3）．
【点拨】此题主要考查了圆的基本性质和抛物线上点的坐标特征，熟练掌握抛物线的图象
与性质是解答本题的关键．
37．（1）DE＝4；（2）圆O的半径为5．
【分析】(1)根据垂径定理得出AD=DC，CE=EB，再根据三角形的中位线定理可得DE=
AB，代入相应数值求出即可；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，根据垂径定理可得AH=4，在
Rt△AHO中，利用勾股定理求出AO的长即可得答案.
解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD=DC，
同理：CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE= AB，
∵AB=8，
∴DE=4；
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则OH=3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH=BH= AB，
∵AB=8，
∴AH=4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2=AO2，
∴AO=5，即圆O的半径为5．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，涉及了三角形中位线定理、勾股定理等内容，熟练掌
握垂径定理是解本题的关键.
38．（1）20；（2）
【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，
则 ，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则
2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数；
解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设 ，
又∵BE＝4，
∴
∴ ，解得： ，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵ ，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
也考查了勾股定理．
39．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到
∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在
中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
解：（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH= =12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在 中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合
题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
40．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF= ．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2 ，设圆O的半径为r，根据勾股定理
列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4 ，
∴DH=CH= CD=2 ，
在 Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG= AE= ×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴ ，
∴ ，
∴AF= ，
∴EF=AF﹣AE= ﹣6= ．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是
正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.
