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专题3.13《图形的平移与旋转》全章复习与总结（专项练习）
一、单选题
1．下列四个图分别是我国四家航空公司的logo，其中属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△AOB顶点坐标分别为A（0，4）、B（3，0），将△AOB沿x轴向右平移，当
点A落在直线y=3x-8上时，线段OA扫过的面积为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿x轴翻折，
再向右平移3个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（4，3） C．（﹣1，﹣3） D．（4，0）
4．己知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C与点B重合，如图①所示．
△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．直到点B′移动到与点C重合时停止．
设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②
所示，则△ABC的直角边长是（ ）A．4 B．4 C．3 D．3
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE．若∠BAC =85°，∠E=70°，且
AD⊥BC，则旋转角的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
6．如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角三角形 （ 为直角
顶点， 、 两点在直线 的两侧），线段 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ，将 绕点 按顺时针方向旋转得到 ．
若点 恰好落在边 上，且 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
8．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 ．若点 刚好落在BC边上，且
，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
9．如图，已知直线m∥n，线段AB的两个端点A，B分别落在直线m，n上，将线段AB绕
点A按逆时针方向旋转80°得到线段AC，连结BC．若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．将 按如图方式放在平面直角坐标系中，其中 ， ，顶点 的
坐标为 ，将 绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点
对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系xoy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．x＞－3
12．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，
1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若 ABC与 关于点P
成中心对称，则点 的坐标为（ ）
A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)
二、填空题
13．平行四边形、菱形、圆、线段、正七边形、等腰三角形、五角星中，共有_____个中心
对称图形，共有_____个轴对称图形．
14．如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且互相垂直的道路，
剩余部分进行绿化，则绿化面积共有______ ．
15．如图，将△ABC沿AC所在的直线平移到△DEF的位置，若图中AC＝10，DC＝6，则
________．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4）， OAB沿x轴
△向右平移后得到 EDF，点B的对应点F是直线y＝ x上的一点，则点A的对应点D点的
△
坐标为 _____．
17．（1）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
所得到的点的坐标为______________ ．
（2）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的二元一次
方程组 的解是__________．
18．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则
∠BAA′的度数为______．
19．如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，C是AB中点，E是BD中点，将点E绕B
点顺时针旋转90°为点F，则CF的最小值为 _____．20．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，将△ABC绕点C旋转到△DEC的
位置，D点刚好落在AB边上，则∠ACE的度数为______度．
21．在如图所示的平面直角坐标系中， 是边长为2的等边三角形，作 与
关于点 成中心对称，再作 与 关于点 成中心对称，如此作下去，
则 (n是正整数)的顶点 的坐标是_______．
三、解答题
22．如图，甲､乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．
（1）天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意：天桥必须与街道垂直．
（2）天桥建在何处才能使甲､乙到天桥的距离相等？
23．已知点 ，在平面直角坐标系中以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形．
24．如图（1），点D在等边三角形 的边 上，将 绕点A旋转，使得旋转后
点B的对应点为点C．
（1）在图（1）中画出旋转后的图形．
（2）小明是这样做的：如图（2），过点C画 的平行线l，在l上取 ，连接 ，
则 即为旋转后的图形．你能说说小明这样做的道理吗？
25．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上,△OAB是边长为2的等边三角形．
（1）写出△OAB各顶点的坐标；
（2）以点O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，写出A′、B′的
坐标．26．已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让
三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角
尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺
的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直
线l 经过点F和点E，直线l 与直线l 、y= x相交于点P．
1 1 2
（1）求直线l 的表达式和点P的坐标；
1
（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边
AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x
轴平行．已知矩形ABCD以每秒 个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），
设移动时间为t秒（t＞0）．
①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l 或l 上，请直
1 2
接写出此时t的值；
②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l 于点N，交直线l 于点M．当 PMN
1 2
的面积等于18时，请直接写出此时t的值． △参考答案
1．D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】
解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重
合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心
对称图形；
故选：D．
【点拨】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A平移后所在的位置，结合OA的长
可得出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，再求出正方形区域的面积即可求出线段
OA扫过的面积为16．
【详解】
解：当y=4时，3x-8=4，
解得：x=4，
∴平移后点A落在的位置为点（4，4），
∴线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，
∴线段OA扫过的面积=4×4=16．
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标图图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形是解
题的关键．
3．A
【解析】
【分析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
【详解】
解：由坐标系可得B（﹣1，3），
将△ABC先沿x轴翻折得到B点对应点为（﹣1，﹣3），再向右平移3个单位长度，点B
的对应点B'的坐标为（﹣1+3，﹣3），
即（2，﹣3），
故选：A．
【点拨】此题考查了翻折变换的性质、坐标与图形的变化--对称和平移，解题的关键是掌
握点的坐标的变化规律．
4．C
【解析】
【分析】由当 与AB重合时，即 ，此时 走过的距离为m，重叠部分面积达到最
大值，为 的面积，结合题意即可求出m的值．再根据，当 与AC重合时，此时
．此时 走过的距离为m+4，由此可求出 的长，从而可求出BC的长，进而
即可求出结果．
【详解】
如图，当 与AB重合时，即点 到达B点，此时 ．此时 走过的距离为m，即为
的长．且此时重叠部分面积达到最大值，为 的面积，大小为1．
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，∴ ，
∴ ．
如图，当 与AC重合时，即点 到达C点，此时 ．此时重叠部分面积即将变
小，且 走过的距离为m+4．
∴此时 ．
∴ ，即 ．
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查图形的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，函数的图象．解题的
关键是通过函数图象得到 平移过程中重合部分的形状．
5．A
【解析】
【分析】首先根据旋转的性质求出∠B的度数，再确定旋转角，最后根据直角三角形的两
个锐角互余得出答案．
【详解】
由旋转得∠C=∠E=70°，∠BAD是旋转角．
在△ABC中，∠B=180°-∠BAC-∠C=25°．
所以∠BAD=90°-∠B=65°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了旋转得性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，求出∠B
的度数是解题的关键．
6．C
【解析】【分析】由旋转的性质可得 ， ， ，由等腰直角
三角形的性质可得 ，由三角形的三边关系可求解．
【详解】
解：如图，将 绕点 顺时针 ，得到 ，连接 ，
≌ ， ，
， ，
，
在 中， ，
当点 在 上时， 的最大值 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当
辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】根据旋转可得出 ， ．由等腰三角形的性质可得出 ，
．再由三角形外角性质可得出 ，最后根据三角形
内角和定理即可求出 的大小，即得出 的大小．
【详解】
由旋转的性质可知 ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及三角形
内角和定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8．C
【解析】
【分析】由AB’=CB’得∠B’AC=∠C，由旋转得AB’=AB，所以有
∠B=∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C，进而得到∠B=∠AB’B=40°，再由∠BAB’+∠B+∠AB’B=180°
即可求出旋转角∠BAB’的度数．
【详解】
解：∵ ，
∴∠B’AC=∠C，
由旋转前后对应线段相等可知：AB’=AB，
∴∠B=∠AB’B，
由三角形外角定理可知：∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C=40°，
∴∠B=∠AB’B=40°，
∴△ABC旋转的角度为∠BAB’=180°-∠B-∠AB’B=180°-40°-40°=100°，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质、旋转前后对应边相等、旋转角的概念
等，熟练掌握等腰三角形的性质及旋转性质是解决本类题的关键．
9．B
【解析】
【分析】根据等边对等角，计算∠ABC的度数，根据平行线的性质，利用内错角相等，计
算所求角计算．
【详解】
设直线n与AC交于D，如图：∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转80°得到线段AC，
∴∠BAC＝80°，AB＝AC，
∴∠ABC＝50°，
∵m∥n，∠1＝30°，
∴∠ABD＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠ABD＝20°，
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边对等角性质，平行线的性质，正确理解题意，选择
使用正确的计算方法是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点
坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据
图形位置以及 长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最
后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案．
【详解】
解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可
第一次旋转时：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，如下图所示：
由 的坐标为 可知： ， ，
在 中， ，
由旋转性质可知： ，， ，
，
在 与 中：
，
， ，
此时点 对应坐标为 ，
当第二次旋转时，如下图所示：
此时A点对应点的坐标为 ．
当第3次旋转时，第3次的点A对应点与A点中心对称，故坐标为 ．
当第4次旋转时，第4次的点A对应点与第1次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为
．
当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的A点对应点中心对称，故坐标为
．
第6次旋转时，与A点重合．
故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为： 、 、 、 、
、 ．由于 ，故第2023次旋转时，A点的对应点为 ．
故选：A．
【点拨】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，
熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关
键．
11．B
【解析】
【分析】先求出点P关于原点成中心对称的点的坐标，再根据第四象限点的特点列不等式
即可解题．
【详解】
点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标为（－2x+1，－x－3）
∵对称点在第四象限
∴
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查关于原点对称点的坐标特征，关于原点对称的两个点得横纵坐标都互为
相反数．
12．A
【解析】
【分析】先证明△ABC为等腰直角三角形，得到点A坐标，直线AB的解析式，根据 ABC
与 关于点P成中心对称，得到P为 的中点，设 （m，n），利用中点公式求出
m、n．
【详解】
解：∵点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC∥x轴，△ABC为等腰直角三角形，BC=4，
过点A作AD⊥BC与D，交x轴于E，则AD=BD=CD=2，
∴OE=4，AE=3，∴A（4,3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=x-1，
当x=0时，y=-1，则P（0，-1），
∵ ABC与 关于点P成中心对称，
∴P为 的中点，
设 （m，n），
∴ ，
解得m=-4，n=-5，
∴点 的坐标为（-4，-5），
故选：A．
【点拨】此题考查等腰直角三角形的判定及性质，求一次函数解析式，中心对称的定义，
两点中点的计算公式，熟记各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．
13． 4 6
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分别分析平行四边形、菱形、圆、线段、
正七边形、等腰三角形、五角星是否符合即可
【详解】
解：中心对称图形有：平行四边形、菱形、圆、线段，共4个；
轴对称图形有：菱形、圆、线段、正七边形、等腰三角形、五角星，共6个．
故答案为：4，6．
【点拨】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，能够正确判断特殊图形的对称性．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中
心，旋转180°后两部分重合．
14．48
【解析】
【分析】利用平移可得绿地部分的长为（9-1）m，宽为（7-1）m，然后进行计算即可．
【详解】
解：由题意得：
（9-1）×（7-1）=8×6=48（m2），
∴绿化面积共有48m2，
故答案为：48．
【点拨】本题考查了生活中平移现象，根据题目的已知条件并结合图形分析绿地部分的长
和宽是解题的关键．
15．4
【解析】
【分析】根据平移的性质可知 ，再根据 可而求出AF的
长，最后根据 即可求出CF的长．
【详解】
根据平移的性质可知 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查平移的性质，线段的和与差．利用数形结合的思想是解题的关键．
16．（5，6）
【解析】
【分析】根据平移的性质知BF=AD，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点F的坐标，
所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度．
【详解】
∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，
∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4．
又∵点B的对应点F是直线 上的一点，∴ ，解得x＝7．
∴点F的坐标是（7，4），
∴BF＝5．
∴根据平移的性质知AD＝BF＝5，
∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移
的性质得到AD=BF是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】（1）根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可；
（2）根据题意得到 ，然后解出方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为
；
（2）∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
由①+②得： ，
解得： ，
把 代入①，得： ，
∴关于x、y的二元一次方程组 的解是 ．故答案为： ；
【点拨】本题考查坐标与图形变化一平移，二元一次方程组的解，熟练掌握平移中点的变
化规律，代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．70°##70度
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AC= CA′，然后可得∠CAA′=∠CA′A=45°，则有
∠CA′B′=∠CAB=25°，进而问题可求解．
【详解】
解：由旋转的性质可得：AC= CA′，∠CA′B′=∠CAB，∠ACA′=∠ACB=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=45°，
∵∠1=20°，
∴∠CA′B′=∠CAB=∠CA′A-∠1=25°，
∴∠BAA′=∠CAA′+∠CAB=70°，
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及等腰
直角三角形的性质是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】由“SAS”可证△EBH≌△CBF，可得CF＝EH，则当EH有最小值时，CF有最小值，
由∠ADB＝∠CEB＝90°，可得点E在以BC为直径的圆上运动，所以当点E在线段OH上
时，EH有最小值，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，过点B作BH⊥BC，且 ，连接CE， ，EH，取 的中点 ，连接
EO，∵将点E绕B点顺时针旋转90°为点F，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°＝∠CBH，
∴∠EBH＝∠CBF，
在△EBH和△CBF中，
∵ ，
∴△EBH≌△CBF（SAS），
∴CF＝EH，
∴当EH有最小值时，CF有最小值，
∵AB＝8，C是AB中点，E是BD中点，
∴CE∥AD，BC＝4，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的圆上运动，
∴当点E在线段OH上时，EH有最小值，
∵点O是BC中点，
∴BO＝2，
∴OH＝ ，
∴EH的最小值＝ ，∴CF的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，
直角三角形的性质等知识，解题的关键在于确定点E的运动轨迹．
20．40
【解析】
【分析】首先证明∠B=70°，BC=DC，判断 DBC为等腰三角形，得到∠BCD=40°，即可
解决问题． △
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，
∴∠B=70°；
由题意得：BC=DC，
∴∠CDB=∠B=70°，
∴∠BCD=180°- 40°，
∴∠ACE=∠BCD=40°．
故答案为：40
【点拨】该题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等几何
知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、等腰三角形的判定、直角
三角形的性质等几何知识点．
21．（4n+1， ）
【解析】
【分析】首先根据 OAB 是边长为2的等边三角形，可得A 的坐标为（1， ），B 的
1 1 1 1
△△
坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A、A、A 的坐标各是多少；最
2 3 4
后总结出An的坐标的规律，求出An 的坐标是多少即可．
2 +1
【详解】
解：∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为（1， ），B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与 OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
△∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2-1=3，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（3，- ），
2
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A
3
与点△A
2
关于点B
2
成中心对称，
∵2×3-1=5，2×0-（- ）= ，
∴点A 的坐标是（5， ），
3
∵△BAB 与 BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A
4
与点△A
3
关于点B
3
成中心对称，
∵2×4-1=7，2×0- =- ，
∴点A 的坐标是（7，- ），
4
…
∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×4-1，…，
∴An的横坐标是2n-1，An 的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1，
2 +1
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是- ，
∴顶点An 的纵坐标是 ，
2 +1
∴△BnAn Bn （n是正整数）的顶点An 的坐标是（4n+1， ），
2 2 +1 2 +1 2 +1
故答案为：（4n+1， ）．
【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别
判断出An的横坐标、纵坐标各是多少．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）沿竖直方向向下平移点A（即甲的位置），使得平移的距离等于桥长，再根
据两点之间线段最短，确定桥的位置即可；（2）作点B（即乙的位置）关于街道的对称点 ，再作 的垂直平分线，根据垂直平分
线的性质确定桥的位置即可．
【详解】
解：（1）如图（1），将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点 ，连
接 ，与街道靠近B的一侧交于点 ，过 点建桥即符合要求；
（2）如图（2），作点B关于街道的对称点 ，连接 ，作 的垂直平分线，与街道
靠近A的一侧相交于点 ，过 点建桥即符合要求．
【点拨】此题考查了图形的平移－尺规作图，涉及了垂直平分线以及两点之间线段最短的
性质，掌握相关几何性质是解题的关键．
23．见解析
【解析】
【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标，然
后描点即可．
【详解】
如图所示， A′B′C′为所作， ．
△【点拨】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，
对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对
应点，顺次连接得出旋转后的图形．
24．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）证明 即可证明；
【详解】
（1）如图， 为所作；
；
（2）∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 即为旋转后的图形．
【点拨】本题主要考查了作图旋转变换和三角形全等的判定与性质，准确分析证明是解题
的关键．
25．（1）A(-2，0)，B(-1， )，O(0，0)；（2）A′(-1， )，B′(1， )．
【解析】
【分析】（1）作高线BC，根据等边三角形的性质和勾股定理求OG和BC的长，写出三点
的坐标，注意象限符号问题；
（2）如图2，由旋转可知： 与B重合，B与 关于 y轴对称，可得： 的坐标．
【详解】
解：（1）如图1，过B作BC⊥OA于C，
∵△AOB是等边三角形，且OA=2
∴OC= OA=1，
由勾股定理得：BC= = ，
∴A(-2，0)，B(-1， )，O(0，0)．
（2）如图2，∠AOB=60°，OA=OB，∴A′与B重合，
∴A′(-1， )，
由旋转得：∠BOB′=60°，OB=OB′，
∴△B′OB是等边三角形，
∴∠BOA=B′BO=60°，
∴B′B//OA
∵∠AOD=90°
∴∠BOD=30°，
∴∠DOB′=30°
∴BB′⊥OD，DB=DB′，
∴B′(1， )．
【点拨】本题考查了坐标与图形变换、等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转和
等边三角形的性质是关键．
26．（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，
得∠CAF=30°，则CF=AC，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而
证明结论．
【详解】
（1）∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30△°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，
∴EF=2BC．（2）成立．证明如下：
∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠△F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．
∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．
又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．
证明EF=2BC是解题的关键．
27．（1）直线l 的表达式为y=﹣ x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为 或 ；
1
②当t= 时， PMN的面积等于18.
△
【解析】
【详解】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；
（2）①分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l 上或在直线l 上时的情况，利用
2 1
AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；
②设点A坐标，表示 PMN即可．
【详解】（1）设直线△l
1
的表达式为y=kx+b，
∵直线l 过点F（0，10），E（20，0），
1
∴ ，解得： ，
直线l 的表达式为y=﹣ x+10，
1
解方程组 得 ，
∴点P坐标为（8，6）；
（2）①如图，当点D在直线上l 时，
2∵AD=9
∴点D与点A的横坐标之差为9，
∴将直线l 与直线l 的解析式变形为x=20﹣2y，x= y，
1 2
∴ y﹣（20﹣2y）=9，
解得：y= ，
∴x=20﹣2y= ，
则点A的坐标为：（ ， ），
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，
∴t= ；
如图，当点B在l 直线上时，
2
∵AB=6，
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，
∴直线l 的解析式减去直线l 的解析式得，
1 2
﹣ x+10﹣ x=6，解得x= ，
y=﹣ x+10= ，
则点A坐标为（ ， ）
则AF= ，
∵点A速度为每秒 个单位，
∴t= ，
故t值为 或 ；
②如图，
设直线AB交l 于点H，
2
设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，
由①中方法可知：MN= ，
此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，
∵△PMN的面积等于18，
∴ =18，
解得
a= -1，a=﹣ -1（舍去），
1 2
∴AF=6﹣ ，则此时t为 ，
当t= 时， PMN的面积等于18.
△
【点拨】本题是代数几何综合题，涉及到待定系数法、两直线的交点坐标、勾股定理、三
角形的面积等，综合性较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论思想以及数形结合思想是
解题的关键.
