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专题 3.13 垂径定理专题训练（培优篇）（专项练习）
一、知识回顾：
1.垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2、垂径定理的推论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
二、垂径定理的应用：构造由半径、半弦（弦的一半）、弦心距组成直角三角形，勾股定
理解决问题
常见作辅助线方法有：
（1）连接半径
（2）过圆心作弦的垂线
常见的图形变形
H为半径中点
一、单选题
1．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
2．如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦 折叠交 于 ，
点 是弧 的中点．连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，点 在弦 上移动，连接 过点 作 交 于点 ．若
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被
⊙P截得的弦AB的长为 ，则a的值是（ ）A． B．2+ C． D．
5．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C
的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0， ） C．（0，9） D．（0， ）
6．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作
BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小
值是（ ）．
A．20 B． C．14 D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （
）
A． B． C．6 D．
8．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
9．如图，四边形 内接于 ， ， ．劣弧 沿弦 翻折，刚好经
过圆心 ．当对角线 最大时，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在半径为3的 中， 是劣弧 的中点，连接 并延长到 .使 ，
连接 、 、 ，如果 ，那么 等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
11．已知∠A=Rt∠，AB=4，AE=2 ，点C在线段AE上运动（不与点A点E重合），过
点E作ED⊥BC交BC的延长线于D，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，
能够与该圆弧相切的是（ ）
A．点（0，3） B．点（2，3）
C．点（5，1） D．点（6，1）
13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3
为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结
HG、CH．给出下列五个结论中正确的选（ ）
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S ：S ＝9：16
△AHG △DHC
（4）DK＝
（5）HG⊥HC
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是
⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝ x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则
△CDE面积的最小值为（ ）A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
二、填空题
15．如图所示，在 内有折线 ，其中 ，则 的
长为__________．
16．在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为
____
17．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条
弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线
段PE长的最小值是_______________．
18．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则
AB的长为_____cm．
19．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是
_________________．
20．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ，
，则 与 之间的距离为________cm．
21．如图， 的半径为5， 、 是圆上任意两点，且 ，以 为边作正方形
（点 ， 在直线 两侧）．若正方形 绕点 旋转一周，则 边扫过的面
积为__________
22．半径为2的圆中，弦 、 分别长 和 ，则 的度数是____．
23．如图，圆心在 轴的负半轴上，半径为5的 与 轴的正半轴交于 ，过点
的直线 与 交于 两点，则弦长 可能的整数值有______个．
24．如图，在 中，半径 ， 是半径 上一点，且 ． ， 是 上的
两个动点， ， 是 的中点，则 的长的最大值等于__________．25．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝_____．
26．如图 中, ,以 为直径的 与 交于点 ,若 为 的
中点，则 _________
27．如图，BC＝8 cm，点D是线段BC上的一点，分别以BD、CD为边在BC的同侧作
等边三角形ABD和等边三角形CDE，AC、BE相交于点P，则点D从点B运动到点C时，
点P的运动路径长（含与点B、C重合）为_____．
28．如图， 、 是 的半径，且 ， .在 上一点 ，使
，则 的度数为______.三、解答题
29．李老师在上课时的屏幕上有如下内容：
如图，AB是⊙O的直径，点C为弧BD的中点，连结AC交BD于点E，CE＝1，
，老师要求同学们在矩形方框中添加一个条件和结论后，编制成一道完整
的题目，并解答．
（1）李老师在方框中添加的内容是“BE＝3，求AB的长”，请你解答；
（2）以下是小童和小诗的对话：
小童：我加的内容是“BE＝3，连结CD，求CD的长”．
小诗：我加的内容是“sin∠CBE ，连结OC，求tan∠ABD的值”．
请你帮小诗完成解答；
（3）参考第（1）题中李老师添加的内容及第（2）题中的对话，写出你想添加的内容（可
以添线添字母，但所添内容不能与（1）、（2）中的内容相同），编制成一道完整的题目，
并解答．
30．如图，在 中，点O在斜边 上，以O为圆心， 为半径作圆，分别与
相交于点 ，连结 ，作弦 ，垂足为点H，已知 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求弦 的长．31．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B
作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为 ；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别
是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之
间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），
且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环
境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布
局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平
方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积
最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．
32．已知抛物线 经过 点，与 轴相交于点 ．
（1）求 的值；
（2）过抛物线 的顶点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，以
线段 为直径作圆与 轴交于 ， 两点，若 ， ， ．
①求抛物线的解析式；②求 的值．
参考答案
1．B
【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由
勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝ AB＝ ×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝ ＝ ＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝ ＝ ＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝ ＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝ ＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和
勾股定理求解是解答此题的关键．
2．D
【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，
OE的最小值为EC-OC．
解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵ 是弧 的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC= ，
∵OE≥EC-OC
即OE≥ -2，
的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅
助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．3．D
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC
最小，再求出CD即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD= ，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB= AB= ×2=1．
即CD的最大值为1．
故答案为：D．
【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题
的关键．
4．B
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．利用垂径
定理和勾股定理求出PD、DC，相加即可．
解：如图，过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA，
∵PE⊥AB，AB= ，半径为2，
∴AE= AB= ，PA=2，
在Rt△APE中， PE= = =1，
∵点A在直线y=x上，
∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=1，
在Rt△PDE中，PD= ，
∵⊙P的圆心是(2，a)，
∴a=PD+CD=2+ ，
故选：B．
．
【点拨】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，垂径定理和勾股定理，等腰直角三
角形的判定及性质，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题
的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
5．C
【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于
ON，在 中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结
果．
解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+ ，MC=ON
在 中，由勾股定理得：
x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．
【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性
质是解题的关键．
6．B
【分析】连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长
BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时， 取最小值；过G作
GH⊥AC于点H，经证明四边形 是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即
可完成求解．
解：如图，连接OA、OB
∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴ ，
∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点∴
∴ ，
∴ ，
∴
延长BD与⊙O相交于点G
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN
∴ ，
∴
当点P在直线AG上时， 取最小值，且最小值
过G作GH⊥AC于点H
又∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴ ， ，
∴四边形 是矩形
∴ ，
∴
∴
∴PA+PB的最小值是：
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的
关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
7．A
【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径
定理得出CH=DH，DM=EM，BN=CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得
BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN=DG，即可求得OM，根据勾股定理求
得DM，得出DE．
解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴四边形DMNG是矩形，∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM= DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH=DH= CD=3，
∴OH= =4，
∴BH=9，
∴BC= =3 ，
∴BN= BC= ，
∴ON= ，
∵sin∠BCH= ，即 ，
∴DG= ，
∴MN=DG= ，
∴OM=MN-ON= ，
∴DM= = ，
∴DE=2DM= ．
故选A．【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，以
及锐角三角函数的知识，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
8．C
【分析】当CD∥AB时，PM有最大值，连接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，
求出OC的长即可得到答案.
解：当CD∥AB时，PM有最大值，
连接OC、OM，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
∵M是CD的中点，
∴OM⊥CD，
∵CD∥AB，CP⊥AB，
∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°，
∴四边形OPCM是矩形，
∴PM=OC=5，即m=5，
故选：C.
【点拨】此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，根据题意合理猜想并进行
证明是解题的关键.
9．A
【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB= ，进而即可得解.
解：当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧 ，设与点O对应的点为
F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示：
由翻折的性质，得
OB=BF，∠OBC=∠FBC
∵翻折后刚好经过圆心
∴OB=OF
∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30°
∵OF⊥BC
∴
∵
∴BG=CG=1.5
∴
∵ ，OE⊥AB，OA=OB
∴∠ABD=∠ADB=45°
∴OE=EB=
∴
故选：A.
【点拨】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特
殊角三角函数进行求解.
10．D【分析】 ， ，得 是直角三角形，以 为底 为高和以 为底
为高都等于 ， ， ，
， ，
解：∵ ， ，
∴ 是直角三角形，
设 以 为底的高为 , 为底的高为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵以 为底 为高与 之积和以 为底 为高与 之积都等于
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .本题的答案是：D
【点拨】考查垂径定理和三角形中位线的性质的综合应用.
11．C
【解析】
【分析】连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．由直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半得到OA=OB=OE，OD=OB=OE，从而得到A、B、E、D四点在⊙O上，过O作
OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最大．易证△ABC∽△GDC，得到
，故当DG最大时， 最大．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的
长，得到半径的长．由三角形中位线得到OG的长，从而得到DG的最大长度，即可得到
结论．
解：连接BE，作BE的中点O，连接OA、OD．
∵∠A=∠BDE=90°，AO是Rt△ABE斜边上的中线，∴OA=OB=OE，同理OD=OB=OE，
∴A、B、E、D四点在⊙O上，过O作OG⊥AE于G，延长OG交⊙O于D，则此时DG最
大．
∵∠A=90°，∴∠A=∠DGC=90°．
∵∠ACB=∠DCG，∴△ABC∽△GDC，∴ ，∴当DG最大时， 最大．
∵BE= =10，∴OB=OE=OD=5．
∵OG⊥AE，∴AG=GE．
∵BO=EO，∴OG为△ABE的中位线，∴OG= AB=2，∴DG=OD－OG=5－2=3，∴
．故选C．
【点拨】本题是考查了垂径定理、圆的基本性质，三角形中位线定理以及相似三角形的判
定与性质．解题的关键是把 转化为 ，进而转化为求DG的最大长度．
12．C
解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有
∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：
（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．
13．B
【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，AH⊥FK，
由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；
（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
（3）由余弦三角函数和勾股定理算出HM，HT，再算面积，即得S ：S ＝9：16；
△AHG △DHC
（4）由余弦三角函数和勾股定理算出FK，即可得DK．
（5）由(2)可得出 ，因为△HGD和△HEC不全等，进而可以得出
，则 ，即HG⊥HC是错误的．
解：（1）在△ABE与△DAF中， ，
∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，得：FH＝HK，
即H是FK的中点，故（1）正确；
（2）如图，过H作HM⊥AD于M，交BC于N，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝ ＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴ ，
∴AH＝ ，HM＝ ，
∴HN＝4− ＝ ，
即HM≠HN，
∵MN CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝ ，
HC＝ ，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；
（3）过H作HT⊥CD于T，由（2）知，AM＝ ，
∴DM＝4− ，
∵MN CD，
∴MD＝HT＝ ，
∴ ，故（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝ ，
∴FK＝2HF＝ ，
∴DK＝DF−FK＝ ，故（4）正确．
（5）由(1)可知， ，
∴ ，
由（2）知△HGD和△HEC不全等，
∴ ，
∴ ，
∴ 即HG⊥HC是错误的，故（5）不正确．
故选：B．
【点拨】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角
三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．
14．C
【分析】连接OC，得到∠ACO＝90°，确定点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，求出点E（0，﹣3），
D（4，0），利用勾股定理求出DE＝5，证明△DPH∽△DEO，求出PH＝ ，得到S ＝
△NED
×5× ＝2，S ＝ ×5× ＝7，设△CDE面积为S，由此得到当C点与M点重合时，
△MED
S最大；C点与N点重合时，S最小，由此确定答案解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝ x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时， x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝ ，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝ ，
∴MP＝PH+1＝ ，NH＝PH﹣1＝ ，
∴S ＝ ×5× ＝2，S ＝ ×5× ＝7，
△NED △MED
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2．
故选：C．【点拨】此题考查垂径定理，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，相似三角形
的判定及性质，这是一道图形类的综合题，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题
的关键．
15．
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，
连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾
股定理及垂径定理可求解问题．
解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图
所示：
∴BE=CE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴OH=4，
∵∠HDB=90°，
∴∠HOE=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直
角三角形的性质是解题的关键．
16．1或7cm
【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心
的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距
离为3+4=7cm，AB、CD位于圆心同侧4-3=1cm．
解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB= AB=3cm，
∵OB=5cm，
EO= 4cm，
同理，OF=3cm，
∴EF=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF=7cm，
∴EF=1cm或EF=7cm．
故答案为：1或7cm．【点拨】本题结合勾股定理考查了垂径定理解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，
构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．
17．4
【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理
求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由
，得到结果．
解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴ ， ，
∴根据垂径定理
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
【点拨】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．
18． 或
【分析】根据A点所在的位置分类讨论：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接
AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股
定理求出BD，从而求出AB；②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC
于点D，原理同上．
解：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接
OB，
∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=8
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理： ；
②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=2
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理： ；
综上所述： 或 ．
【点拨】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同
位置分类讨论是解决此题的关键．
19．
【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定
理、勾股定理求解即可得．
解：由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点 与圆心O重
合，连接OD，
由折叠的性质得： ，
，
在 中， ，
由垂径定理得： ；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时 ，
又 要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，
；
综上，折痕CD的长度取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置
是解题关键．
20．7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；
利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE= CD=3cm，AF=BF= AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE OF=4cm 3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是
解本题的关键．
21．
【分析】连接 ，过点 作 与点 ， 交 于点 ，则 边扫过的面积为以
为外圆半径、 为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出 ，进而可得
出 ，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出 边扫过的面积．
解：连接 ，过点 作 与点 ， 交 于点 ，则 边扫过的面积为以
为外圆半径、 为内圆半径的圆环面积，如图所示．
， ，
．
又 为 的弦，
，
，
边扫过的面积为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，结合
边的旋转，找出 边旋转过程中扫过区域的形状是关键．22． 或
【分析】先根据题意分圆心点O在 的内部和圆心点O在 的外部两种情况，再
画出相应的图形，然后分别利用垂径定理、解直角三角形求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，圆心点O在 的内部
过点O分别作 于点D，作 于点E，连接OA，则
在 中，
在 中，
（2）如图2，圆心点O在 的外部
过点O分别作 于点D，作 于点E，连接OA，则
在 中，
在 中，
故答案为： 或 ．【点拨】本题考查了垂径定理、解直角三角形等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论
是解题关键．
23．3
【分析】先利用圆的性质，确定弦长CD取得最大值与最小值时，CD的位置，再根据垂径
定理、勾股定理求解即可．
解：当CD经过圆心B时，此时CD为直径，则
如图，当 时，CD为经过点P的最短弦
则
连接BC
圆B的半径为5
在 中，
因此，弦长CD的取值范围为
则弦长 可能的整数值有3个，即
故答案为：3．【点拨】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识点，根据圆的性质确定弦长CD取得最大
值与最小值时，CD的位置是解题关键．
24．
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，此时F是AB的中点，则OF⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，在Rt△BOF中，利用勾股定理进行求解即可．
解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图所示，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB，
设OF为x，则DF＝x﹣4，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DF＝ AB＝BF＝x﹣4，
在Rt△BOF中，OB2＝OF2+BF2，
∵OB＝OC＝6，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
∴OF的长的最大值等于 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题的关键．
25．6
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，
本题得以解决．
解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，连接OB，如图所示，
则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝∠OEB=90°，
又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，
∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，
∴四边形OEPF是矩形，OE＝ =6，
同理可得，OF＝6，
∴EP＝6，
∴OP＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
26．
【分析】连接 、 根据 , ,可得 ,进
而得出 长，再连接 ,根据垂径定理得出 ,求出 长， 长，在直角三角形
中，根据勾股定理进而求出 长即可;
解：如图所示：连接 、 根据 ,
,
可得 ,
即 ,
,
得出 ,
在 中根据勾股定理得：
,
即： ,
再连接 ,根据垂径定理得出 且平分 ,
,
,
,且 ,
,
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
;【点拨】本题考查圆中的知识点，其中用到相似，勾股定理等知识.
27．
【分析】作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，
CG，OB，OC，根据等边三角形的性质和角的和差关系可得∠BDE=∠ADC，
∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根据平行线的性质可得∠ABE=∠BED，利用SAS可证
明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，进而可证明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根据三角
形内角和定理可得∠BPC=120°，根据圆周角定理可得点P在△BCP的外接圆上，
∠BPC=∠BGC=120°，可得点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C
重合）为 的长，根据圆周角定理可得∠BOC=120°，根据垂径定理可得BF的长，利用
勾股定理即可求出OB的长，利用弧长公式求出 的长即可得答案.
解：作△BCP的外接圆⊙O，过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于G，连接BG，
CG，OB，OC，
∵△ABD和△CDE是等边三角形，
∴∠ABD=∠EDC=60°，
∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，
∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△ADC中， ，∴△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，
∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，
∴点D从点B运动到点C时，点P的运动路径长（含与点B、C重合）为 的长，
∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，
∴BF= BC= ×8 =4 ，∠OGB= ∠BGC=60°，
∵OB=OG，
∴△OBG是等边三角形，
∴∠BOG=60°，
∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，
∴OF= OB，
∴OB2=OF2+BF2，即OB2=( OB)2+(4 )2,
解得OB=8，（负值舍去），
∴ = = ，
故答案为：
【点拨】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及垂径定理，
根据圆周角定理确定点P的运动轨迹是解题关键.
28． 或【分析】分两种情况画出图形，构造出直角三角形，根据垂径定理、勾股定理求得三角形
的边长，求得∠ABO、∠OBC、∠ACB的度数，再用三角形内角和定理求出∠BAC的度
数即可．
解：如图，分两种情况.过点O作OD⊥BC，垂足分别为D，
，OA=OB=1
∴
∴ ， ，
∴
∴由垂径定理得，
∵OB=1，
∴由勾股定理得
∴∠DBO=30°，
如图1，∠ABC=45°+30°=75°，
∴ ；
如图2，∠ABC=45°-30°=15°，
∴ ，
故答案为120°或60°．【点拨】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成直角三角
形的问题再进行计算．
29．（1） ；（2） ；（3）连接OC于BD交于F，若 ，求CF的长；
【分析】（1）只需要证明△CAB∽△CBE，即可得到 ，即 ，
然后利用勾股定理求出BC即可；
（2）连接OC与BD交于F，由垂径定理可知，DF=BF，OC⊥BD，根据
可以求出BE=3，然后求出BF，OF的长即可；
（3）综合（1）（2）可以发现都是BE=3，因此只需要在直角三角形BCE中令
，求CF的长即可．
解：（1）∵C是弧BD的中点，
∴∠CAB=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCE，
∴△CAB∽△CBE，
∴ ，
∴
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°
∴ ，
∴ ；（2）如图，连接OC与BD交于F，
由垂径定理可知，DF=BF，OC⊥BD
∵∠ACB=90°
∴
∴ ，
由（1）知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接OC于BD交于F，若 ，求CF的长，
∵ ，CE=1，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，
解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
30．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，通过倒角可得 ，根据
可得 ，即可得证；
（2）通过证明 求出AD的长度，在 中应用勾股定理求出半径和
OA的长度，利用等面积法即可求解．
解：（1）连接OD，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）设 的半径为r，在 中， ，
解得 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
解得 ，
∴ ．
【点拨】本题考查圆与相似综合，掌握垂径定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
31．（1）MN=AM+BN；（2）y= ；（3）99000
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠AMC＝∠CNB＝90°，则∠MAC＋∠ACM＝90°，
又∠ACB＝90°，则∠ACM＋∠NCB＝90°，于是根据等量代换得到∠MAC＝∠NCB，根据
“AAS”可证明△ACM≌△CBN，根据全等的性质得AM＝CN，CM＝BN，则MN＝MC＋CN
＝AM＋BN；
（2）由PE⊥PF和∠ABC＝∠FPB推出∠EPA=∠A，过点F作FM⊥BP，过点E作EN⊥PA，
易证 ，得FM= ，同理，可得EN= ，进而即可求解
（3）由y= ，求出 的最大值，此时，CP⊥AB，，进而即可求解．
解：证明：（1）∵AM⊥l于M，BN⊥l于N,
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC＋∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中，
，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝MC＋CN＝AM＋BN，
故答案是：MN＝AM＋BN；
（2）∵∠ABC=90°，AC＝30，BC＝40，
∴∠A+∠B=90°，AB= =50，
∵PE⊥PF，
∴∠FPE=90°，
∴∠FPB+∠EPA=90°，
∵∠B＝∠FPB，
∴∠EPA=∠A，
过点F作FM⊥BP，过点E作EN⊥PA，
∴BM= BP= x，PN= AP= (50-x)，
∵∠B=∠B，∠BMF=∠C=90°，
∴ ，
∴ ，
∴FM= ，同理： ，
∴EN= ，
∴ = =
∴y= ；
（3）由（2）可知：y= ，
∴当x= 时，y有最大值，即： 最大值=
= =300，此时，CP⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴AB是直径，
∴CP=DP，即点C、D关于直线AB对称，
∴ ，
∴总费用=60×300+(1200-300)×90=99000（元）．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的性质，
二次函数的性质，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．
32．（1） ；（2）① ；② 的值为 或 ．
【分析】（1）把点 代入 即可求解；（2）①先计算得出B(0， )，顶点P的坐标为( ， )，利用
列式计算即可求解；
②先得到直线 的解析式为 ，再解方程组求得点Q的坐标为( ， )，
再求得圆心的坐标，利用垂径定理列式求解即可．
解：（1）∵ 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①由（1）得： ，
令： ，则 ，
∴B(0， )，
对称轴为 ，
当 时， ，
∴顶点P的坐标为( ， )，
∵A(2b， )，B(0， )，
∴AB∥ 轴，∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
②由①知： ，则 ，
∴顶点P的坐标为( ， )，
∵直线 过点P，
∴ ，即 ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点Q是直线 与抛物线的另一个交点，
∴ ，
整理得： ，
．
∴ ， ，
∴点Q的坐标为( ， )，
记以线段PQ为直径的圆的圆心为D( ， )，半径为r，则有 ， ，
，
过D作DE⊥ 轴于E，
∵ ，
∴ME=EN= MN=1，
∴ ，即 ，
解得：解得： ，
故 的值为 或 ．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了求两个函数图象的交点坐标，垂径定理，一
元二次方程的求解，三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
