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3.2 导数在函数单调性、极值中的应用
思维导图
知识点总结
利用导数解决单调性问题
本考点以考查导数的运算以及导函数值与函数单调性之间的关系为主，其
中含有参数的函数的单调性问题是高考的热点．
1．函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间的关系
(1)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递
增；
(2)在某个区间(a，b)上，如果 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递
减．
2．用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分
不必要条件．
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间(a，b)内恒成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)
的必要不充分条件．
(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．
利用导数解决极值与最值问题
1．函数的极值与导数
2．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最
大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的 ；
②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
典型例题分析
考向一 求函数的单调区间(不含参数)
例1 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.所以单调
递增区间为(2，＋∞).
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
考向二 讨论含参函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
解 由已知得f′(x)＝a＋＝(x>0)，
①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为
(0，＋∞).
②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－.在区间上，f′(x)>0；在区间上，f′(x)<0.函
数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
1．(1)研究含参数的函数单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类
讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的
点和函数的间断点．
2．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′
(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考向三 函数单调性的简单应用
例3 (多选)定义在上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos xf′(x)
＋sin xf(x)＜0成立，则( )
A．f＞f B．f＞f
C．f＞f D．f＞f答案 CD
解析 构造函数g(x)＝.则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在上单调递减，所以g＞
g，所以f＞f，同理，g＞g，即f＞f.故选CD.
以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等
特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高
考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效
策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关
的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．
考向四 利用导数解决函数的极值问题
例4 如图所示是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，给出下列四个结论：
①f(x)在区间(－3，1)上是增函数；
②f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数；
③1是f(x)的极大值点；
④－1是f(x)的极小值点．
其中正确的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②③④ D．②④
答案 D
解析 由题意，得－3＜x＜－1或2＜x＜4时，f′(x)＜0；－1＜x＜2或x＞4
时，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在(－3，－1)和(2，4)上单调递减，在(－1，2)和
(4，＋∞)上单调递增，－1是f(x)的极小值点，2是f(x)的极大值点，故②④正确．
函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数值符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0
的根的两侧的符号→得出结论．
(3)已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x ，y )处取得极值，则f′(x )＝0，且
0 0 0
f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．
考向五 利用导数求函数的最值
例5 已知函数f(x)＝ex cos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)＝ex cos x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，∴曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2ex sin x≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成
立，
∴g(x)在上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，∴f(x)在上单调递减，
∴f(x) ＝f(0)＝1，f(x) ＝f＝－.
max min
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一
个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与
f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最
小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
提醒：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还
要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助
图象观察得到函数的最值．
考向六 利用导数求解函数极值和最值的综合问题例6 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得
超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函
数关系式是t＝x4－x3＋15x.
(1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求出此时运输成本
的最小值．
解 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为×＝1500元．
所以当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
(2)设全程运输成本为f(x)元，则f(x)＝·＝x3－x2＋6000(00，所以函数f(x)在(0，80)上
单调递减，在(80，100]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(80)＝.所以为使全程
运输成本最少，汽车应以80千米/时的速度行驶，此时运输成本取得最小值元．
1．解决函数极值、最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能
下结论．
(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确
定最值．
2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(4)回归实际问题作答．
基础题型训练
一、单选题1．函数 的减区间为
A． B． C． D．
2．已知函数 的大致图像如图所示，现有如下说法：① ；②
；③ ；则正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是
A． B． C． D．
4．若过点（0，－1）可以作三条直线与函数 相切，则实数a的取值范
围是（ ）
A．[2，＋∞） B．（2，＋∞） C．[3，＋∞） D．（3，＋∞）
5．已知 ， ，对 ， ，使得 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
6．已知函数 在 上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
7．设函数 在R上存在导函数 ，对任意的 有 ，且在
上 ，若 ，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．已知函数f(x)＝xlnx﹣ ax2﹣1，当a＞0时，函数f(x)的极值点的个数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、填空题
9．若 是函数 的一个极值点，则 ______．
10．函数 ， 的最小值为______.
11．若函数 在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是_____
12．若存在两个正实数 ， 使等式 成立，（其中
）则实数 的取值范围是________．
四、解答题
13．已知函数 ，讨论函数 的单调性；
14．已知 的一个极值点为2．
(1)求 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值．
15．已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）当 时，求证：函数 在 上恰有一个零点；（2）若函数 有两个极值点，求实数 的取值范围.
16．已知曲线 ．
(1)若 ，过点 作 的切线，求切线的方程；
(2)当 有3个零点时，求a的取值范围．
提升题型训练
一、单选题
1．若函数 的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
2．函数 的极小值为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
3．若 ， ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆
柱体的体积最大时，其高为（ ）
A． R B． R C． R D． R
5．如图所示是 的图象，则正确的判断个数是（ ）
① 在 上是减函数；② 是极大值点；
③ 是极值点；④） 在 上先减后增．
A．0 B．1 C．2 D．36．函数 的大致图象是（ ）
A． B． C．
D．
二、多选题
7．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 为偶函数 B．函数 的最小值为
C．函数 的最大值为 D．函数 在 上有两个极值点
三、填空题
9．函数 在 处有极值，则常数a＝______．
10．曲线 在点 处的切线方程为___________．11．已知 是定义在 上的偶函数，其导函数 ，若 ，
， ，则不等式 的解集为________.
12．设 为正实数，若 则 的取值范围是__________．
四、解答题
13．求函数 的单调递减区间．
14．求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
（2）f(x)＝sin x－x(0
