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专题 3.2 函数的单调性与最值
题型一 判断函数单调性
题型二 求函数的单调区间
题型三 函数的最值问题
题型四 恒成立问题与存在性问题
题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围
题型六 利用单调性解不等式
题型一 判断函数单调性
例1．（2022秋·云南红河·高一校考阶段练习）函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即
可求解.
【详解】令 ，解得 的定义域为
在 上递增，在 上递减，函数 在 上为增函数
函数 的单调增区间为
故选：D
例2．（2023·浙江·高二专题练习）下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是 向右平移两个单位长度的形式，根据原函
数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断 上的单调性得到结论，而根据二
次函数的单调性可判断A的正误.
【详解】对于 选项： 开口向上，对称轴 ，所以在 上单调递减，故不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，所以在在 上单调递减，故
不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，
所以 在 上单调递增，则在 上单调递增，符合题意.
故选 .
练习1．（2023春·福建福州·高三校考期中）（多选）函数 是定义在 上的偶函
数， 在 上的图象如图所示，则函数 的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到 的单调增区间即可.
【详解】由图象，可知 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以函数 的图象关于 轴对称，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的增区间是 和 .
故选：BC.
练习2．（2022·高三单元测试）（多选）下列函数中，在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】CD
【分析】在A中， ，即可得到单调性；在B中， ，即可得到单调性；在C
中， ，即可得到单调性；在D中， ，即可得到单调性.
【详解】在A中，当 时， 在 上为减函数；
在B中，当 时， 在 上既不是增函数，也不是减函数；
在C中，当 时， 在 上是增函数；
在D中，当 时， 在 上是增函数.
故选：CD
练习3．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】函数 在定义域 上单调递减，故A符合；
函数 在定义域 上单调增，故B不符合；
函数 在定义域 上不是单调函数，故C不符合；
函数 在定义域 上单调递增，故D不符合.
故选：A.
练习4．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区
间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、二次函数、反比练习函数的性质判断每个选项的函数在 上
的单调性，即可得答案.
【详解】对A，一次函数 在 上为减函数，A错误；
对B，二次函数 在 上为减函数，
在 上为增函数，B错误；对C，反比练习函数 在 上为减函数，C错误；
对D，二次函数 在 上为增函数，D正确.
故选：D.
练习5．（2022秋·浙江温州·高三校考期中）函数 单调减区间是___________.
【答案】
【分析】画出函数 的图像，从图像上即可得结论.
【详解】由 ，
如图所示：
由图可知函数 单调减区间是： ，
故答案为： .
题型二 求函数的单调区间
例3．已知函数
(1)作出函数 的图象；
(2)写出函数 的单调区间；
(3)当 时，求 的值域.
【答案】(1)见解析
(2)单调增区间为 ，单调减区间为
(3)
【分析】（1）根据二次函数的图象作图即可；
（2）根据函数图象写出单调区间即可；
（3）根据函数在 上的单调性，即可得出答案.【详解】（1）解： ，
作出函数图象，如图所示：
（2）解：由图可得：函数的单调增区间为 ，
单调减区间为 ；
（3）解：因为函数在 上递减，
所以 ，
所以 的值域为 .
例4．（2023·高一课时练习）函数 的单调减区间是______．
【答案】
【分析】根据条件将函数化为 ，然后根据一次函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数 可化为 ，
当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故答案为： .练习6．（2022秋·广西桂林·高三校考期中）函数 的单调增区间是______.
【答案】
【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间.
【详解】函数 的图像如下：
由图像其单调递增区间是 ,
故答案为： .
练习7．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）函数 的单调增区间
是___________.
【答案】 和
【分析】先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数的开口方向和对称轴判断单调
递增区间即可.
【详解】当 时， ，此时 开口向上，对称轴为 ，
因为 ，所以在 上单调递增；当 时， ，此
时 开口向下，对称轴为 ，因为 ，所以在 单调递增；
故答案为： 和
练习8．（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）函数 的增区间为______.
【答案】
【分析】利用定义法进行判断即可得解.
【详解】任取 ，
，因为 ， ，
当 时， ， ，
此时 ， ， 为增函数，
所以函数 的增区间为 .
故答案为：
练习9．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数 的单调递增区
间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】讨论二次函数和复合函数的单调性即可.
【详解】令 解得 ，
即函数 的定义域为 ，
因为二次函数 在 单调递增， 单调递减，
所以 在 单调递减， 单调递增，
故选:A.
练习10．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是______.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性
即可求出该函数的增区间．
【详解】由 得 或 ，
∴函数 的定义域为 ．
∵函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又∵函数 在其定义域 上单调递减，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
故答案为： ．题型三 函数的最值问题
例5．（2023·高三课时练习）已知函数 有最小值，则实数a的取
值范围是______.
【答案】
【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数
a的取值范围.
【详解】解：由题意，
在 中，
∵函数有最小值，
∴函数应在 上单调递减，在 上单调递增或常函数，
∴ ，解得： ，
∴ 有最小值时，实数a的取值范围是 .
故答案为： .
例6．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为
______.
【答案】 /
【分析】依题意可得 ，根据对勾函数的性质求出
的取值范围，即可得解.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ， ，因为函数 在 上单调递增，所以
，即 ，则 ，
即函数 的最大值为 ，当且仅当 时取等号.
故答案为：
练习11．（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 上有最小值-1，则
实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】配方后得到 时， 取到最小值-1，从而 .
【详解】 ，要想取到最小值-1，则 ，
所以 .
故答案为： .
练习12．（2022春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数 的最大值为负值，则
a的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．a＞4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质即得.
【详解】∵ 的二次项系数为 ，
∴函数图象开口向下，
∵函数 的最大值为负值，
∴ ，
∴ .
故选：B．
练习13．（2022秋·高一课时练习）（多选）已知函数 的定义域为A，若对任意
，存在正数M，使得 成立，则称函数 是定义在A上的“有界函数”.
则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.
【详解】对于A， ，由于 ，所以 ，
所以 ，故不存在正数M，使得 成立.
对于B，令 ，则 ， ，当 时，u取得最大值4，所以 ，
所以 ，故存在正数2，使得 成立.
对于C，令 ，则 ，易得 ，所以 ，
即 ，故存在正数5，使得 成立.
对于D，令 ，则 ， ，则 ，易
得 ，所以 ，故不存在正数M，使得 成立.
故选：BC
练习14．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设函数 的最大值
为M，最小值为m，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案.
【详解】由函数 ，显然 ，当 ， ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，则 ，故
；
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，则 故
；
综上可得， ， ，则 .故选：C.
练习15．（2022秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）若 在 上的
最大值为 ，则实数 的最大值为__________.
【答案】
【分析】解方程 可得出 ，分 、 两种情况讨论，
结合 可求得实数 的取值范围，即可得解.
【详解】由 可得 ，解得 或 ，
由对勾函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递减，此时 ；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由题意可得 ，此时， .
综上， ，因此，实数 的最大值为 .
故答案为： .
题型四 恒成立问题与存在性问题
例7．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）已知函数 ，若
， 恒成立，则实数t的取值范围是___________．
【答案】
【分析】由 ， ，分离参数可得 ，再由函数单调性可求t的取值
范围.
【详解】 ， ， ，
，∵ 在 上递减， ，
∴ ．
故答案为：
例8．（2023秋·上海徐汇·高三上海市西南位育中学校考期末）已知函数
，若对于任意 ，存在 ，使得 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出 、 的值域，依题意可得
，即可得到不等式，解得即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
由 ，则 ，即 ，
因为对于任意 ，存在 ，使得 ，
所以 ，则 ，解得 ，即 .
故选：A
练习16．（2021秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习） ，使
得不等式 成立，则 的范围是______.
【答案】
【分析】 ，使得不等式 ，其中 ，即可得
答案.
【详解】 ，使得不等式 ，其中 .
又 ，当且仅当 时取等号，即 .故答案为： .
练习17．（2022秋·辽宁·高三辽阳市第一高级中学校联考期末）已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，根据函数单调性得到 ，
，得到不等式，求出实数 的取值范围是 .
【详解】若 ， ，使得 ，
故只需 ，
其中 在 上单调递减，故 ，
在 上单调递增，故 ，
所以 ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故选：C
练习18．（2022秋·山西朔州·高二校考期末）已知 ， ，若
， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知 ，根据函数的单调性求得这两个函数的最小值，列出
不等式可解得答案.
【详解】由题意 ， ，使得 ，则需满足 ，在 上单调递增，故 ，
在 上单调递减，故 ，
故 ，即 ，
故选：A
练习19．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若关于 的不等式 在 上
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由对数函数定义得到 且 ，再分 与 两种情况，结合函数单
调性求出最值，得到实数 的取值范围.
【详解】由对数函数的定义可知， 且 ，
当 时， 单调递增， ，故
因为 ，则 ，
所以 ，解得 ，
与 求交集，得到 ，
当 时， 单调递减， ，故 ，
由于当 时， ，故此时无解，
综上：实数 的取值范围是 .
故选：B
练习20．（2023秋·云南西双版纳·高三统考期末）已知 ，对
恒成立，则实数 的取值范围_______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于 ，对 恒成立，根据恒成立问题结合
函数单调性分析求解.
【详解】若 ，则 ，
令 ，则 ，
可得 ，整理得 ，故原题意等价于 ，对 恒成立，
∵ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围 .
故答案为： .
【点睛】结论点睛：
对 ， ，等价于 ；
对 ， ，等价于 .
题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围
例9．（2023秋·四川达州·高三校考阶段练习）若函数 在区间 上
是增函数，则实数 的取值范围是 ______
【答案】
【分析】利用二次函数 的单调性列出关于实数 的不等式，解之即可求
得实数 的取值范围.
【详解】二次函数 的图像开口向上，单调增区间为 ，
又函数 在区间 上是增函数，
则 ，解之得 ，则实数 的取值范围是
故答案为：
例10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知
，其中 ， 为实数.
(1)若不等式 的解集是 ，求 的值；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理求出 、 可得答案；
（2）令 ，可知 在 上为减函数，法一：利用单调性定义可得，再由 的范围可得答案；法二：（复合函数观点） ，
令 ， ，分 、 讨论 的单调性可得答案.
【详解】（1）因为不等式 的解集是 ，所以关于 的方程 的
两根分别为 、 ，所以 ，解得 ， ，因此 ；
（2）因为 ，令 ，其中 ，
由题意可知，函数 在 上为减函数，
法一（定义法）任取 ，且 ，则 ，且 ，
所以
，所以 ，可得 ，
而 ，则 ， .
因此，当函数 在区间 单调递减， 的取值范围是 ；
法二（复合函数观点） ，令 ， ，
因为 ，所以 ，且 在 单调递增，
因为 在 单调递减，所以 在 单调递减.
①若 ，则 为增函数，不符合题意；
②若 ，则 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，所以 ，解得 ，
综上所述，函数函数 在区间 单调递减， 的取值范围是 .
练习21．（2023秋·广东广州·高三统考期末）函数 在 上不单调，
则实数k的取值范围为___________．【答案】
【分析】根据函数 在 上不单调，可得函数 的对称轴 属于
区间 ，从而解出 的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，二次函数 的对称轴为 ，
函数 在 上不单调，
，即 ，则实数k的取值范围为 .
故答案为： ．
练习22．（2022秋·四川宜宾·高三统考阶段练习）函数 在 上为减函数，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对勾函数的性质，得函数的单调减区间，得t的取值范围.
【详解】 在 和 上单调递增，在 和 上单调递
减，
所以 .
故选：B.
练习23．（2019秋·云南楚雄·高三统考期末）若函数 在 上
单调递增，则 的最大值为__________．
【答案】
【分析】首先函数的对称轴，依题意可得 ，即可求出参数的取值范围，即可得
解.
【详解】解：函数 的对称轴为 ，开口向上，
又函数 在 上单调递增，所以 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若函数 在区间 上
为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出 的取
值范围.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以 在 上递减，
因为函数 在区间 上为减函数，
所以 ，得 ，
故选：A
练习25．（2023·全国·高三专题练习）使得“函数 在区间 上单调递减”
成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出使得函数 在区间 上单调递减时 的范围，结合充分性、必要
性的定义即可得出答案.
【详解】由函数 在区间 上单调递减，
得 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 .
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数 在区间 上单调递减”成立的
一个充分不必要条件可以是 .
故选：C.
题型六 利用单调性解不等式例11．（2023·河南·校联考三模）已知函数 .若 .则 的
取值范围是__________.
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变
量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数 定义域为 ， ，
，
所以 是奇函数且在 上单调递增，
由 0，可得 ，则 ，解得
，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
例12．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数 ，且
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 的单调性和对称性求解.
【详解】 是增函数，又
，
，
即 是 的中心对称点， ，
条件 ，即 ，并
且， ；
对于A，若 ，则 ，错误；
对于B，因为函数 是增函数， ，正确；
对于C，若 ，则 ，错误；
对于D，若 ，则有 ，错误；
故选：B.练习26．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合 的单调性和奇偶性求得正确答案.
【详解】因为 ，所以 在 上是奇函数.
因为 在 上是增函数，又 在 上是减函数，
所以 在 上是增函数.
所以 ，
所以 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：A
练习27．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数 是实数集 上的减函数，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数为减函数可得 ，从而得出答案.
【详解】由函数 是实数集 上的减函数，又
所以 ，解得
故选：C
练习28．（2022秋·高三课时练习）已知 是定义在 上的减函数，则不等式
的解集为________.
【答案】
【分析】根据函数定义域及减函数列不等式组求解集即可.
【详解】因为 是定义在 上的减函数，则 ，可得 ，故解集为 .
故答案为：
练习29．（2022秋·江西吉安·高三永新中学校考期中）已知函数 满足对任意
，当 时， 恒成立，若 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构建 ，可得 在 上单调递减，根据题意结合单调
性解不等式.
【详解】∵ ，即 ，
构建 ，
可知当 时，则 ，故 在 上单调递减，
又∵ ，即 ，且 ，
则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .
故选：C.
练习30．（2023春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校联考阶段练习）（多选）若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】构造函数 ，由其单调性得出 ，可判断A，进而由指数
和对数函数的单调性判断B、C，再结合不等式性质判断选项D.
【详解】不等式 可化为 ，
构造函数 ，由函数单调性法则易知函数 在 上单调递减.
由 可知， ，故选项A错误；因为 ，所以 ， ，故选项B、C正确；
，因为 ，所以 ，所以 ，故选项D错误.
故选：BC
