专题3.2函数的单调性与最值2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.2 函数的单调性与最值 1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性. 新课程考试要求 2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值. 培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想 核心素养 象（例9.10）等核心数学素养. 1.确定函数的最值（值域） 2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调 考向预测 性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值 等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查. 【知识清单】 1. 函数的单调性 DD I x x x  x （1）增函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是增函数； DD I x x x  x （2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间 上的任意两个自变量 1、 2，当 1 2时，都有 f x  f x  f x 1 2 ，那么就说函数 在区间D上是减函数. 2．函数的最值 y  f x 1.最大值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： f xM xI （1）对于任意的 ，都有 ； x I f x M （2）存在 0 ，使得 0 . y  f x 那么，我们称M 是函数 的最大值. y  f x 2.最小值：一般地，设函数 的定义域为I ，如果存在实数 m 满足： f xm xI （1）对于任意的 ，都有 ； x I f x m （2）存在 0 ，使得 0 .y  f x m 那么，我们称 是函数 的最小值. 【考点分类剖析】 考点一 单调性的判定和证明 0, 【典例1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ） x 1 y  A． y  x1 B． y  x2 1 C．  2   D．y log x 2 【答案】C 【解析】 y  x1 0, 对于A选项，函数 在区间 上为增函数； y  x2 1 0, 对于B选项，函数 在区间 上为增函数； x 1 y  对于C选项，函数  2   在区间0,上为减函数； y log x 0, 对于D选项，函数 2 在区间 上为增函数. 故选：C. 【典例2】（2021·全国高一课时练习）已知函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析. 【解析】 x，x∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得. 1 2 ∀【详解】 证明：∀x 1 ，x 2 ∈(-2，+∞)，且x 1 >x 2 >-2， f(x)= 则f(x)-f(x)= 1 2= ， 因为x>x>-2， 1 2 所以x-x>0，x+2>0，x+2>0， 1 2 1 2 所以 >0，所以f(x)>f(x)， 1 2 所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增. 【规律方法】 掌握确定函数单调性(区间)的4种常用方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差 的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系 及不等式的性质进行判断． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调 性． （3）熟悉一些常见的基本初等函数的单调性. （4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性． 【变式探究】 1.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是 （ ） A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数 C．y= 在R上为增函数 D．y= f(x)在R上为减函数 【答案】ABC 【解析】 令 可判断出A B C不正确，利用单调函数的定义判断可得结果. 【详解】 对于A，若f(x)=x，则y= = ，在R上不是减函数，A错误； 对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y= = ，在R上不是增函数，C错误； 对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x，x∈R，设x0， 1 2 1 2 2 1 则y= f(x)在R上为减函数，D正确. 故选：ABC 2.已知f (x)=1+2x−x2，那么g(x)=f [f (x)]( ) A. 在区间(−2,1)上单调递增 B. 在(0,2)上单调递增 C. 在(−1,1)上单调递增 D. 在(1,2)上单调递增 【答案】D 【解析】f (x)=1+2x−x2=−(x−1) 2+2，在 记t=f (x)，则g(x)= f (t) 当x∈(−2,1)时，f (x)单调递增，且t=f (x)∈¿ 而y= f (t)在¿不具有单调性，故A错误； 当x∈(0,2)时，f (x)不具有单调性，故B错误； 当x∈(−1,1)时，f (x)单调递增，且t=f (x)∈¿ 而y= f (t)在¿不具有单调性，故C错误； 当x∈(1，2)时，f (x)单调递减，且t=f (x)∈¿ 而y= f (t)在¿单调递减，根据“同增异减”知，D正确. 故选：D 考点二：求函数的单调区间 【典例3】（2021·全国高一课时练习）函数f(x)= 在（ ） A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减 C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减 【答案】C 【解析】分离函数得f(x)= -1，结合函数y=- 在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移即可判断. 【详解】 f(x)的定义域为{x|x≠1}. f(x)= = -1= -1， 因为函数y=- 在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得， f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增. 故选：C. 【典例4】函数f(x)=√x2−2x−8的单调递增区间是（ ） A. (−∞,−2] B. (−∞,1] C. [1,+∞) D. [4,+∞) 【答案】D 【解析】 x2−2x−8≥0得x≥4或x≤−2， 令x2−2x−8=t，则y=√t为增函数， ∴t=x2−2x−8在[4,+∞)上的增区间便是原函数的单调递增区间， ∴原函数的单调递增区间为[4,+∞)，故选D. 【规律方法】 确定函数的单调区间常见方法： 1.利用基本初等函数的单调区间 2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间. y  f gx u  gx y  f u   3.复合函数法：对于函数 ，可设内层函数为 ，外层函数为 ，可以利用 复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数 y  f gx   在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数 y  f gx   在区间D上单调递减.fx0 f x f x 4.导数法：不等式 的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递增区间，不等式 fx0 f x f x 的解集与函数 的定义域的交集即为函数 的单调递减区间. 【变式探究】 y=log (x2−3x+2) 1.函数 1 的单调递增区间是（ ） 2 3 3 A (−∞,1) B (2,+∞) C (−∞, ) D ( ,+∞) 2 2 【答案】A 【解析】 由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2， 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得 y=log (x2−3x+2) 函数 1 的单调递增区间为：（-∞，1） 2 故选：A． 2．（2021·浙江高一期末）若函数 ，则下列判断中正确的是___________． （1） ，即函数的图象关于点 成中心对称； （2）函数的值域为 ； （3）函数的单调递减区间是 ． 【答案】(1)(3) 【解析】 (1)根据对称中心直接验证即可判断(1)；对 分 和 讨论，分别求出相应的值域可判断(2)；对 分 和 讨论，并结合反比例型函数单调性，可判断(3). 【详解】 (1)因为 ，所以函数 的图象关于点 成中心对称，故(1)正确； (2)当 时， ，此时函数 在 上单调递减，所以 ； 当 时， ，此时函数 在 上单调递减，所以 ； 所以函数 ，故(2)错误. (3)由(2)可知，函数 的单调递减区间是 ，故(3)正确． 故答案为：(1)(3) 方法点睛：函数 关于点 中心对称 . 【特别警示】 1.单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减 函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． 2.区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单 调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不 包括这些点． 考点三：利用单调性比较大小 【典例5】（2021·河南安阳市·高三一模（理））设函数 满足 ，且 有 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意，得到函数 在 上单调递增，且为定义在 上的偶函数，结合函数的单调性与奇偶 性，即可求解.【详解】 由题意知 ，都有 ， 可得函数 在 上单调递增， 又由函数 满足 ，可得 是定义在 上的偶函数， 所以 ，所以 ，即 ， 故选：C. 【典例6】（2020·四川省高三三模（理））定义在实数集 上的函数 满足 ，且 当 时， 是增函数，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 关于 对称， 又 时， 是增函数， ， ， . 故选：C. 【方法总结】f(x) a,b,c f(a), f(b), f(c) 先判断出函数 的单调性，然后判断 之间的大小关系，利用单调性比较出 之间的 大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转 化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 【变式探究】 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3−x)=f(3+x)，且对任意x ，x ∈（0，3)都有 1 2 f(x )−f(x ) 2 1 <0，若a=2−√3，b=log 3，c=eln4，则下面结论正确的是（ ） x −x 2 2 1 A．f(a)f (b)>f (2)， 2 又c=eln4=4，∴f (4)=f (2)，所以f (c)=f (2)，所以f(c)1,是减函数，且当x=1时，9− ≥a，故只需满足¿，解得4≤a≤6，故选C. x 2 考点五：利用函数的单调性解决不等式问题 【典例10】【多选题】已知函数 ，则下列x的范围满足不等式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】 画出函数 的图象，由图象可知函数 在 上为增函数，再利用函数 的单调性简化不 等式，即可得到结果． 【详解】 因为函数 ，画出函数图象如图所示： 所以函数 在 上为增函数， 由 得 ， 即 解得 ， 故选：B C D． 【典例11】（2020·海南高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分 类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】 因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ， 所以 在 上也是单调递减，且 ， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以由 可得： 或 或 解得 或 ， 所以满足 的 的取值范围是 ， 故选：D. 【规律方法】 1.给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性； 2.求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到 一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 【变式探究】 f x f 12 x 1.（2020·重庆巴蜀中学高三月考（文））已知定义在R上的函数 满足 ，对任意的实数 1， x x x f x  f x  x x f x1 x 2且 1 2， 1 2 1 2，则不等式 的解集为（ ）,2 (2,+� ) A． B． ,11, ,22, C． D． 【答案】B 【解析】 Fx f xx1 设 ， Fx1 f x1x 则 ， F1 f 1110 ， x x x x f x  f x  x x 对任意的 1， 2且 1 2， 1 2 1 2， f x x 1 f x x 1 得 1 1 2 2 ， Fx  Fx  即 1 2 ， Fx 所以 在R上是增函数， f x1 x Fx1 F1 不等式 即为 ， 所以x11，x2. 故选：B y  f x 2,2 2.（2019·江西省新余一中高三一模（理））已知 是定义在 上的增函数，若 f (m-1) 0 时，00； (3)f(x)在R上是减函数． 【答案】见解析 【解析】分析：(1)可通过赋值求f(0)；(2)可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)>0；(3)利用定义可证 明函数的单调性．解：(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)， ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知x>0时，00； 当x<0时，－x>0，∴00. 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)设x，x∈R，且x0，又x－x>0，∴0