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专题 3.1 变量之间的关系
变量的相关定义
【例1】一本笔记本5元，买 本共付 元，则5和 分别是
A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量
【变式训练1】汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，
在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【变式训练2】如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程
中，下面的量是常量的为
A． 的度数 B． 的长度 C． 的长度 D． 的面积
【变式训练3】在男子1000米的长跑中，运动员的平均速度 ，则这个关系式中自
变量是 ．
用表格表示的变量间关系
【例2】一个蓄水池有水 ，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，
下面说法不正确的是
1 2 3 4
放水时间（分
48 46 44 42
水池中水量
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量B．每分钟放水
C．放水10分钟后，水池里还有水
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【变式训练1】某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是
用电量（千瓦 1 2 3 4
时）
应缴电费（元 0.55 1.10 1.65 2.20
A．用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元
B．若用电量为8千瓦 时，则应缴电费4.4元
C．若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦 时
D．应缴电费随用电量的增加而增加
【变式训练2】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如
表所示的一组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
支撑物的高度
4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
小车下滑的时间
若支撑物的高度 为 ，则小车下滑的时间最有可能的是
A． B． C． D．
【变式训练3】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺
设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工 天与铺设管道 米
之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 米．
1 2 3 4 5
时间 天）
20 40 60 80 100
管道长度 米）
用关系式表示的变量间关系
【例3】用 元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买本书共需费用 元，则可列出关系式
A． B．
C． D．
【变式训练1】长方形的周长为 10，其中一边为 ，另一边为 ，则 与 的关系式为
．
【变式训练2】某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超
过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为 千米，乘车费为 元，
那么 与 之间的关系为 ．
【变式训练3】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量 与售价 的关系
如下表：
数量 （千 1 2 3 4 5
克）
售价 （元
则 与 之间的关系式为 ．
用图像表示的变量间关系
【例4】某游泳池水深 ，现需换水，每小时水位下降 ，那么剩下的高度
与时间 （小时）的关系图象表示为
A． B． C． D．
【变式训练1】一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发 小时后与兰州的距离为 千米，
下列图象能大致反映 与 之间的函数关系的是A． B．
C． D．
【变式训练2】船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重
要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品
耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的
距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
【变式训练3】国庆节来临之际，小明用20元零花钱购买水果去慰问老人，已知某种水果
的单价是每千克4元，设购买 千克水果的费用为 元，用图象表示 与 之间的关系，
其中正确的是
A． B．C． D．
根据实际问题列函数关系式
【例5】作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐！苹果产业已成为县城经济的发
展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该
果园苹果的定价为5元 斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8
折．
设小李在该果园购买苹果 斤，付款金额为 元，求出 与 之间的函数关系式；
（2）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤
苹果？
【变式训练1】一根长度为 的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性
限度内，所挂物体质量每增加 时，弹簧长度增加 ，完成下列问题：
①当挂物体重 时，弹簧总长度为 ；
②在正常的弹性限度内，如果用 表示所挂物体质量（单位 ，那么弹簧的总长度是多
少厘米？
③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为 ，那么它挂的物体质量是多少千克？【变式训练2】红星粮库需要把晾晒场上的 玉米入库封存，
（1）入库所需的时间 （单位：天）与入库平均速度 （单位： 天）的函数关系是
；
（2）已知粮库有60名职工晾晒，每天最多可入库 玉米，预计玉米入库最快可在几天
内完成？
（3）60名职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉
米全部入库，则至少需要增加多少职工？
【变式训练3】为了更好的收治新冠肺炎患者，某市计划用900 的建筑材料在一个空地
上搭建方舱医院，如图所示是医院的平面图，医院分为三个区，矩形 区用于隔离治
疗重症患者，矩形 区用于隔离治疗轻症患者，医护室是正方形 ，已知围成轻
症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，若设 ．
（1）用含 的代数式表示： ；
（2）设矩形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系．根据函数图像获取信息
【例6】小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送
给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本
次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列
问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米 分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【变式训练1】周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，
逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线
前往滨海公园．如图是他们离家路程 与小明离家时间 的关系图，请根据图回答下
列问题：
（1）图中自变量是 ，因变量是 ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 ，小明在中心书城逗留的时间为 ；
（3）小明出发 小时后爸爸驾车出发；
（4）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 ，小明爸爸驾车的平均速度
为 ；
（5）爸爸驾车经过 小时追上小明，他离家路程 与小明离家时间 之间的关系式为
．【变式训练2】小明家所在地的供电公司实行“峰谷电价”，峰时 电价为0.5
元 度，谷时 电价为0.3元 度．为了解空调制暖的耗能情况，小明记录了家
里某天0时 时内空调制暖的用电量，其用电量 （度 与时间 的函数关系如图所
示．
（1）小明家白天不开空调的时间共 ；
（2）求小明家该天空调制暖所用的电费；
（3）设空调制暖所用电费为 元，请画出该天0时 时内 与 的函数图象．（标注必
要数据）
【变式训练3】李老师某天晚饭后骑自行车到明湖公园游玩，途中遇到朋友，聊天一段时间
后继续骑行，如图所示是李老师从家到明湖公园这一过程中所走的路程 （米 与时间
（分 之间的关系．
（1）李老师从家到明湖公园的路程共 米；从家出发到明湖公园，李老师共用了
分钟；
（2）李老师与朋友聊天多长时间？（3）李老师与朋友聊天前和聊天后的平均速度分别是多少？
几何中的动点问题
【例7】如图①，在 中，点 从点 出发，沿 方向以 的速度匀速运动
到点 ，图②是点 运动时，线段 的长 随时间 变化的关系图象，当 与
面积相等时， 的长为
A． B．2 C． D．4
【变式训练1】如图1中， ， ，点 为 的中点，动点 从 点出发沿
运动到点 ，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如
图2所示，则 的长为A．10 B．12 C．14 D．16
【变式训练2】如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向
匀速运动至点 停止，已知点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 ，
的面积为 ，若 关于 的函数图象如图2所示，则长方形 的面积为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图， 中， ， ， 是 的中点，点
沿 的方向运动，速度为 ．设 的面积为 ，点 运动的时间为
，则 与 满足的函数关系图象为
A． B．C． D．
【例8】已知动点 以 的速度沿图1所示的边框从 — — — — — 的路径
运动，记三角形 的面积为 ， 与运动时间 的关系如图 2 所示，若
，请回答下列问题：
（1）图1中 ， ， ；
（2）求图2中 ， 的值．
【变式训练1】如 图 ① ， 在 矩 形 中 ， ． 点 从 点 出 发 ， 沿
路线向点 匀速运动，到达点 后停止；点 从点 出发，沿
路线向点 匀速运动，到达点 后停止．若点 、 同时出发，在运动过
程中， 点停留了 ，图②是 、 两点在折线 上相距的路程 与时间
之间的部分函数关系图象．
求（1） 、 两点的运动速度及 到 点的时间；
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的关系式．【变式训练2】如图 1 所示，在三角形 中， 是三角形的高，且 ，
点 是 上的一个动点，由点 向点 运动，其速度与时间的变化关系如图2
所示．
（1）由图2知，点 运动的时间为 ，速度为 ，点 停止运动时距
离点 ；
（2）求在点 的运动过程中，三角形 的面积 与运动时间 之间的关系式；
（3）当点 停止运动后，求三角形 的面积．
【变式训练3】如图1，是一个矩形裁去一个小矩形后余下的边框， ．动点 以每
秒 的速度从 点出发，沿 移动到 点止，相应的 的
面积 与时间 的图象如图2所示：（1）求图2中 的值；
（2）图1的面积为多少 ？
（3）求图2中 的值；
（4）当 的面积等于 时，求 的周长．
