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专题3.13 平面直角坐标系背景下的面积问题（知识讲解）
模型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算
直接使用三角形的面积公式 S=AB・h,其中 AB边在坐标轴上或与坐
标轴平行,h为AB边上的高。
1．如图所示，在平面直角坐标系中点 ， ， ， ．（1）求四边形 的面积
（2）点 为 轴上一点，且 的面积等于四边形 的面积的一半，求点 的
坐标．
【答案】（1）23；（2） 或 ．
【分析】
（1）分别过 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，分别计算AF、DF、BE的长，
根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得 ， ， 即可解
题；
（2）设 ，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．
解：（1）分别过 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．（2）设
则有
即
解得：
所以
所以点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起
来．
（1） ， ， ， ， ， ；
（2） ， ， ， ， ， ， ， ．
观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积．
【答案】（1）如图见解析，图形像两座山，图形的面积是6；（2）如图见解析，图
形像一座房子或一个箭头，图形的面积是17．
【分析】将点在平面直角坐标系内描出依次连接，即可得到图形；再根据所得图形用
割补法，分割成已知面积公式的图形进行分别求面积，再将面积相加即可．
解：（1）如图，图形像两座山，图形的面积是 ；（2）如图，图形像一座房子或一个箭头，图形的面积是 ．
【点拨】本题考查了学生在平面直角坐标系中根据坐标描点，割补法求面积的能力，
属于常见考查内容．
【变式1】如图，描出A(−3，−2)，B(2，−2)，C(−2，1)，D(3，1)四个点．线段AB，
CD有什么位置关系和数量关系？顺次连接A，B，C，D四点，求四边形ABCD的面积．
【答案】见解析．AB∥CD，AB=CD；四边形ABDC的面积为15．
【分析】根据平面直角坐标系描出各点，再根据网格结构的特点观察图形即可得解；
利用网格结构求出AB边的长度以及AB边上的高，然后根据面积公式列式计算即可得解．
解：如图，∵A（-3，-2），B（2，-2），
∴AB=5，AB∥x轴．
又∵C（-2，1），D（3，1），
∴CD=5，CD∥x轴．
∴AB=CD，AB∥CD；
由图形可得AB=2-（-3）=2+3=5，AB边上的高为3，
所以，四边形ABDC的面积=5×3=15．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握网格结构与平面直角坐标系准确描
出A、B、C、D四个点是解题的关键．
模型2三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计
算2． 中，A、B、C三点坐标分别为 、 、 ．
（1）求 的面积；
（2）若B、C点坐标不变，A点坐标变为 ，则 的面积为______．
【答案】（1） ；（2）8．
【分析】
（1）分别过点 作 的垂线交 于 两点，并反向延长 ，交于
点，则 的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解；（2）分别过点 作 的垂线，分别相交于点 ，则 的面积为长
方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求解．
【详解】
解：（1）分别过点 作 的垂线交 于 两点，并反向延长 ，
交于 点，如下图：
则： 、 、 、 、 、
由图形可得：
所以，
（2）分别过点 作 的垂线，分别相交于点 ，如下图：
则： 、 、 、 、
由图形可得：所以，
【点拨】此题考查了平面直角坐标系的应用，割补法求解三角形面积，解题的关键是
根据直角坐标系的性质构造出矩形求解三角形面积．
举一反三：
【变式1】在如图的平面直角坐标系中：
（1）写出各点坐标：A ；C
（2）△ABC的面积为
（3）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，点P的坐标为
【答案】（1） , ；（2）4；（3）（10，0）或（−6，0）．
【分析】
（1）根据图像直接写出即可；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则四边形DCEO为矩形，
求解即可．
（3）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x−2|，由三角形的面积公式求解即可．
解：（1）由图可得： , ；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：则四边形DCEO为矩形，
∴
．
（3）设点P的坐标为（x，0），
则BP＝|x−2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴ ×1×|x−2|＝4，
解得：x＝10或x＝−6，
∴点P的坐标为（10，0）或（−6，0），
【点拨】本题考查了三角形面积、坐标与图形的性质等知识，利用割补法求得△ABC
的面积是解题的关键．
如图1，若B（x，y）、C（x，y）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直
1 1 2 2
线上．
（1）求△OBC的面积（用含x、x、y、y 的代数式表示）；
1 2 1 2
（2）如图2，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形
OABC的面积．【答案】（1） ；（2）38.5
【分析】
（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．根据图形知S =S
△OBC 梯形
+S -S ；
BCED △OBD △OCE
（2）连接OB．根据图形知S =S +S ；
四边形OABC △OAB △OBC
利用梯形、三角形的面积公式可以分别求得S 、S ．
△OBC 四边形OABC
解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．
S =S +S -S
△OBC 梯形BCED △OBD △OCE
= （y+y）（x-x）+ xy- xy
1 2 2 1 1 1 2 2
= （xy-xy）．
2 1 1 2
∴△BOC的面积为 （xy-xy）．
2 1 1 2
（2）连接OB．则有S =S +S
四边形OABC △OAB △OBC
= (7×5-2×7)+ (9×7-7×1)
=38.5．
∴四边形OABC的面积为38.5．
本题考查了三角形的面积、坐标与图形的性质．需要掌握点的坐标的意义以及与
【点拨】
图形相结合的解题方法．
