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专题3.14 圆中的几何模型-四点共圆（专项练习）
知识点回顾：
四点共圆的内涵：如果在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，
一般简称为"四点共圆"。四点共圆常见的有以下四种形式：
1. 对角互补的四边形，四点共圆；
2. 外角等于内对角的四边形，四点共圆；
3. 同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；
4.到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。一、单选题
1．如图，在 中， ，AB=AC=5，点 在 上，且 ，点E是AB
上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG时，
线段 长为（ ）
A． B． C． D．4
2．如图，四边形 内接于 ， ， 为 中点， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．3．如图，圆上有 、 、 、 四点，其中 ，若弧 、弧 的长度分别
为 、 ，则弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
二、填空题
5．如图，已知在扇形 中， ，半径 ．P为弧 上的动点，过
点P作 于点M， 于点N，点M，N分别在半径 上，连接 ．点
D是 的外心，则点D运动的路径长为________．
6．如图， 是 和 的公共斜边，AC=BC， ，E是 的中点，
联结DE、CE、CD，那么 ___________________ ．7．如图，将 绕点 顺时针旋转25°得到 ，EF交BC于点N，连接AN，若
，则 __________．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则 的长
为__．
三、解答题
9．如图，四边形 是圆的内接四边形，延长 、 相交于点 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 是四边形 外接圆的直径，求证： ．10．如图所示，正方形 中， 为对角线，点 为 上一点，过 作 ，交
于 ，求证： .
11．如图所示， ， ，求 .
12．如图所示中， ， ， 分别在边 和 上，且 ， ，
垂足分别为 ， ，求 的长.13．如图所示，在平行四边形 中，点 为 ， 的垂直平分线的交点，若
，求 .
14．如图，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，M为BC的中点．
（1）求证：ME=MF．
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
15．如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，连AM．
⑴求证：BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；⑶求∠AMC的度数．16. 如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ， 于点 ，直
线 与直线 于点 ．
（1）若点 在 内，如图1，求证： 和 关于直线 对称；
（2）连接 ，若 ，且 与 相切，如图2，求 的度数．
17．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C
运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，
两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E． F运动时间为t秒．回答下列问题：
(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于 cm?
(2)如图2，在点E、F运动过程中，
①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．
18．（1）如图①， 的顶点O重合，且 ，则
∠AOB+∠COD=______°；（直接写出结果）
（2）连接 ，若 分别是四边形 的四个内角的平分线.
①如图②，如果 ，那么 的度数为_______；（直接写出结果）
②如图③，若 ， 与 平行吗？为什么？
19．如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．
（1）求BC的长．
（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．20．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为
45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B
（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与
经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、
ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．
（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生
变化，请说明理由.21．（问题提出）
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，
将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
（类比探究）
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间
又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，
并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
22．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接
DE，以线段DE为直角边构造等腰Rt DEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG．
（1）如图1，若AB＝12 ，BE＝5，则DE的长为多少？
（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2 ，以点G为圆心，AG为半径作
⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取
值范围．
参考答案
1．A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边
的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和
性质求得AE的长度，从而求解．
解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在 中， ，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点 是BC的中点，
∴CF=BF= ，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵ ，
∴∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定
理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
2．A
【分析】根据 ， 为 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形
的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
解：∵ 为 中点，
∴ ,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵ ，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形 内接于 ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴ =40°，
故选：A．【点拨】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角
相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
3．C
【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得 ，然后根据圆周角
定理可得弧 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
解： 弧 、弧 的长度分别为 、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧 所对圆心角的度数为
则弧 的长度为
故选：C．
【点拨】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理
与性质是解题关键．
4．A
解：
如图，AB=AC=AD
∵
，
故选A．
5． ．【分析】根据点 在弧 上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点 运动路径所对的
圆心角是 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，根据在 和 中，
点 是斜边 的中点，可证得点 ， ， ， 四点均在同一个圆，即 上，过点
作 ，垂足为点 ，由垂径定理， ， ，可求得
，再根据点 和点 重合，得到点 运动路径所对的圆心角是 ，根
据弧长公式可求解．
解：点 在弧 上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，
当点 与点 重合时， ，
当点 与点 重合时， ，
点 运动路径所对的圆心角是 ，
如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
在 和 中，点 是斜边 的中点，
，
根据圆的定义可知，点 ， ， ， 四点均在同一个圆，即 上，
又 ， ，
， ，
过点 作 ，垂足为点 ，
由垂径定理得， ，
在 中， ， ，则 ，
，
∵ 是 的外接圆的圆心，
即：点 和点 重合，如图2，
点 是以点 为圆心 为半径，
点 运动路径所对的圆心角是 ，
点 运动路径所对的圆心角是 ，
点 运动的路径长为 ．
故答案是： ．
【点拨】
本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公
式是解题的关键．
6．13
【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∠DCB与∠BAD的是同弧所对的圆周角的
关系，得到∠DCB的度数，再证∠ECB=45°，得出结论．
解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，E是AB中点，
∴AE=EB=EC=ED，
∴A、C、B、D在以E为圆心的圆上，
∵∠BAD=32°，
∴∠DCB=∠BAD=32°，
又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中点，
∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．
故答案为：13．
【点拨】
本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．
7．102.5°
【分析】先根据旋转的性质得到 ， ，得到点A、N、F、C共圆，再利用 ，根据平角的性质即可得到答案；
解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，
根据旋转的性质得到：
AC=AF， ， ， ，
∴点A、N、F、C共圆，
∴ ，
又∵点A、N、F、C共圆，
∴ ，
∴ （平角的性质），
故答案为：102.5°
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解
题的关键；
8．4
【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利
用含30°的直角三角形的性质解答即可．
解：连接OB，OD，过O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，
∴∠C+∠A=3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，在Rt△BEO中，OB=4，
∴BE=2 ，
∴AC=4 ，
故答案为：4 ．
【点拨】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠A=60°．
9．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得∠B＝∠C，从而利用等角对等边证得AB＝
AC；
（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现．
解：（1）∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）连接AE
∵AB是圆的直径
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的
有关性质．
10．【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据 得到∠AEF=90°，从
而得证 ， ， ， 共圆， ，继而得出AE=FE.
解：在正方形ABCD中， ,∠BDC=45°
∵
∴
∴∠ADC+∠AEF=180°
∴ ， ， ， 共圆，
∴ ，
∴
∴ .
【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知
识是解题的关键
11．30°.
【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周
角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC．
解：∵AB=AC=AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，
∴∠CAD=2∠BAC=120°．
∴∠BDC=30°.
【点拨】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是
解此题的关键．
12．
【分析】本题关键要建立未知线段 和已知线段 的关系，由 ， ， ， 共圆，
和 为直径，于是在 中便可以建立 和 的关系，求出 的长即求出
的长.解：连结 ， ，∵ ，
∴ ∴ ，
∴由圆的定义知点 ， ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上，作出辅助圆，延长
交圆 于 ，连结 ，
∴
在 中， ，∴ ∴
【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.
13．
【分析】由点 为 ， 的垂直平分线的交点知， ，所以 ， ， 在以
为圆心， 为半径的圆上，由圆的性质知 ，再由平行四边形的性质，
问题得解.
解：连结 ，∵点 为 ， 的垂直平分线的交点
∴ ，∴ ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上，
作出辅助圆，由圆的性质知 ，
又平行四边形 中，
∴
【点拨】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔
思路，更简捷的方法.
14．（1）证明见解析（2）80°．
解：试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME= BC，MF=
BC，得到答案；
（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案．
试题解析：（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M为BC的中点，
∴ME= BC，MF= BC，
∴ME=MF；
（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠FME=2∠ACF=80°．
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．等腰三角形的判定与性质．
15．(1)见解析；（2）见解析；（3）135°
解：试题分析：⑴证△BEA≌△CFA．⑵∠ABE＝∠ACF，∴∠CMB＝∠CAB＝90°．
⑶作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得
∠AMC＝135°
试题解析：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°
∴∠BAE=∠CAF
∵ AE=AF，AB=AC，
∴三角形BAE 全等于 三角形CAF，
∴ BE=CF
（2）∵∠AEB=∠AFC
设CF与AE相交于点H 则∠MHE = ∠AHF
∵三角形EMH与三角形 HAF的内角和都为180°
∴ ∠EMF = ∠EAF
即BE⊥CF
（3）∵∠ABE=∠ACF
∴ A，B，C，M四点共圆
∴ ∠AMC+∠ABC=180°
∵AB=AC，∠BAC=90°,∠ABC=45°
∴ ∠AMC=180°--∠ABC=135°
也可以作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，证△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得
∠AMC＝135.考点：
16．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得 ，可证 与
全等，得到 ，进一步即可证点 和 关于直线 成轴对称；
（2）作出相应辅助线如解析图，可得 与 全等，利用全等三角形的性质及切
线的性质，可得 ，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案．
（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵同弧所对圆周角相等，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴点 和 关于直线 成轴对称；
（2）如图，延长 交 于点 ，连接 ， ， ， ，
∵ ， ，∴ 、 、 、 四点共圆， 、 、 、 四点共圆，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应
辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键．
17．（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．
【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得
∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；
②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一
是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；
③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．
解：（1）由题意易得：DE=CF=t，
四边形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，
EC=12-t，
EF的长等于 cm，
在Rt△CEF中， ，即
解得 ；
（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，
△ADE≌△DCF，
∠CDF=∠DAE，
∠CDF+∠PDA=90°，
∠DAE+∠PDA=90°，
∠ADP=∠APF=90°，
∠APF+∠B=180°，
由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，
点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；
②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；
a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：
由题意可得AB为⊙O的直径，
t=12；
b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O
作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，
四边形OMBH、GOHC是矩形，
OH=BM=GC，OG=HC，
AB=BC=12cm，
OH=6，
CF=t，BF=12-t，
，
在Rt△FOH中， ，即 ，
解得： ；
综上所述：当 或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；
③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；
当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条
线段，如图所示：
OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．
故答案为6cm．
【点拨】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．
18．（1）180；（2）① ；② ，理由见解析.
【分析】（1）结合三角形三角和为 ，利用题目已知条件，计算结果，即可.
（2）①利用第一问的结果，计算，即可.
②利用四边形四角和为 ，计算得出 的度数，结合角平分线定理，得到
的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.
解：（1） ,可得 ；
（2）①结合 ,可得 ；
② ，
理由是：因为 分别是四边形 的四个内角的平分线，
所以 .
所以
在四边形 中， .
所以
在 中， .
在 中， .
所以 .
所以
所以 .
因为 ，
所以
在 中， .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以【点拨】考查三角形内角和及平行线的判定，得到 和 的关系是解题的关键.
19．（1）BC= ；（2）EF的最小值为
【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，
由直角三角形的性质得BM= ，进而即可求解；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得
∆OEF是等边三角形，进而得EF= BD，由BD⊥CD时， BD的值最小，进而即可求解．
解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，
∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，
∴BM=3÷2× = ，
∴BC=2 BM=2× =3 ；
（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF= BD，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，
∴∆OEF是等边三角形，
∴EF=OF= BD，
∵∠C=∠EBF =30°，
∴当BD⊥CD时，BD= BC= ，此时，BD的值最小，
∴EF的最小值= BD = × = ．【点拨】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助
线，构造四边形的外接圆，是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3） ；（4） 不变，为 .
【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据
定义得：△ABC是半直角三角形；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、
A、E四点共圆，
则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半径为5，
由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；
（4）过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出
HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN为等腰直角三角形即可.
解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠ADE=45〫
∴ΔABC是半直角三角形
（2））∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，∴∠DEA=∠DEC；
（3））①如图，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0,8）∴OM=8-r
由 得 解得r=5 ∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50
∴
（4） 不变，为
过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q，
∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，
∴∠ODA=∠CDA，在△HDC和△ADO中，
∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），
∴HC=OD，DH=OA，
又∵BO=AO，
∴HO=DH+DO=OB+CH，
而CH=OQ，HO=CQ，
∴CQ=OB+OQ=BQ，
∴∠CBQ=45°，
又∵CH∥BA，
∴∠HCN=45°，
∴△HCN为等腰直角三角形，
∴
∴ =
【点拨】
本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决
问题，属于中考压轴题．
21．证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【分析】（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和
旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量
代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出
图形根据图形直接写出结论即可．
解：（1）证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE， EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图③，
，
ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF；
∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：
AF=AB+BD．
考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，
22．（1）DE＝13；（2）见解析；（3） ﹣2 ≤AP≤ +2
【分析】（1）借助三角形全等，求线段的长度．
（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形．将AG转化为GM；
（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹．
解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，又∵ ,
∴BD＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBE＝∠ADB＝90°，
在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝13；
（2）如图2，
连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，
∵AD∥BC，
∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，
又DK＝KE，
∴△BEK≌△MDK（AAS），
∴DK＝KE，
又∵BH＝GH，
∴KH∥ GM，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，
∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，
∴∠EDB＝∠FDA，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD，∴DB＝DA，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE
∵∠DAG＝∠DFG＝45°，
∴A、F、G、D四点共圆，
∴∠DGE＝∠DAF＝90°，
在Rt△DGE中，K是DE的中点，
∴GK＝ DE，
在Rt△DKE 中，
同理可得：KB＝ DE，
∴GK＝KB，
又∵BH＝GH，
∴KH⊥BG，
∵KH∥MG，
∴MG⊥AB，
∴∠AGM＝90°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠AMG＝∠BAD＝45°，
∴AG＝GM，
∴KH＝ GM＝ AG．
（3）作EN⊥AB于N，
在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，
∴EN＝BN＝ ，
在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3 ，EN＝ ，
∴GE＝2 ，
∴DE＝ GE＝2 ，在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2 ，
∴BD＝6，
∴AB＝ BD＝6 ，
∴AG＝AB﹣BG＝4
连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，
∵P是MK的中点，
∴PI＝ ＝2 ，
∴点P在以I为圆心，半径为2 的⊙I上运动
由（2）知：KH＝ AG＝2 ，
∵IQ是△KGH的中位线，
∴IQ＝ KH＝ ，
在Rt△AIQ 中，AQ＝AG+GQ＝4 + ＝ ，IQ＝ KH= ，
∴AI＝ ，
∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，
∴ ﹣2 ≤AP≤ +2 ．
【点拨】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和
圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识．
