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专题 3.1 变量之间的关系
变量的相关定义
【例1】一本笔记本5元，买 本共付 元，则5和 分别是
A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量
【解答】解：一本笔记本的单价是5元不变的，因此5是常量，
而购买的本数 ，是变化的量，因此 是变量，
故选： ．
【变式训练1】汽车以每小时100千米的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化，
在这个变化过程中，自变量是
A．汽车 B．路程 C．速度 D．时间
【解答】解：匀速行驶，速度不变，速度是常量，
时间是自变量，路程是因变量，
故选： ．
【变式训练2】如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程
中，下面的量是常量的为
A． 的度数 B． 的长度 C． 的长度 D． 的面积
【解答】解：把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，常
量为 的长度，
故选： ．
【变式训练3】在男子1000米的长跑中，运动员的平均速度 ，则这个关系式中自
变量是 ．【解答】解：在男子1000米的长跑中，运动员的平均速度 ，则这个关系式中自变
量是 ，
故答案为： ．
用表格表示的变量间关系
【例2】一个蓄水池有水 ，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，
下面说法不正确的是
1 2 3 4
放水时间（分
48 46 44 42
水池中水量
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水
C．放水10分钟后，水池里还有水
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
【解答】解：设蓄水量为 ，时间为 ，
则可得 ，
、放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故本选项符合题意；
、蓄水池每分钟放水 ，故本选项不合题意；
、放水10分钟后，水池中水量为： ，故本选项不合题意；
、蓄水池一共可以放水25分钟，故本选项不合题意；
故选： ．
【变式训练1】某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表：则下列叙述错误的是
用电量（千瓦 1 2 3 4
时）
应缴电费（元 0.55 1.10 1.65 2.20
A．用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元B．若用电量为8千瓦 时，则应缴电费4.4元
C．若应缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦 时
D．应缴电费随用电量的增加而增加
【解答】解： ．用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元，故本选项正确；
．若用电量为8千瓦 时，则应缴电费 元，故本选项正确；
．若所缴电费为2.75元，则用电量为 千瓦 时，故本选项错误；
．所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项正确；
故选： ．
【变式训练2】一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如
表所示的一组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
支撑物的高度
4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
小车下滑的时间
若支撑物的高度 为 ，则小车下滑的时间最有可能的是
A． B． C． D．
【解答】解：支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了
，
支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了 ；
支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了 ；
支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了 ；
支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了 ；
支撑物的高度 从 上升到 时，小车下滑的时间 减少了 ；
随着 逐渐升高，小车的时间减少，小车的平均速度逐渐加快，
又 高度 从 上升到 时，小车的平均速度为： ，高度 从 上升到 时，小车的平均速度 ，
设支撑物的高度 为 时，小车下滑的时间为 ，
则， ，
解得： ，
选项1.51不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意，
故选： ．
【变式训练3】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺
设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工 天与铺设管道 米
之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 84 0 米．
1 2 3 4 5
时间 天）
20 40 60 80 100
管道长度 米）
【解答】解：观察表格数据可知：
，
当 时， ，
所以未铺设的管道长度为： （米 ．
故答案为：840
用关系式表示的变量间关系
【例3】用 元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买
本书共需费用 元，则可列出关系式
A． B．
C． D．【解答】解：根据题意可得： ，
故选： ．
【变式训练1】长方形的周长为10，其中一边为 ，另一边为 ，则 与 的关系式为
． ．
【解答】解：由题意得 ，
整理得 ．
故答案为 ．
【变式训练2】某市出租车白天的收费起步价为7元，即路程不超过3千米时收费7元，超
过部分每千米收费1.2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为 千米，乘车费为 元，
那么 与 之间的关系为 ．
【解答】解：依据题意得： ，
故答案为： ，
【变式训练3】某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量 与售价 的关系
如下表：
数量 （千 1 2 3 4 5
克）
售价 （元
则 与 之间的关系式为 ．
【解答】解：由图表可得出：
．
故答案为： ．用图像表示的变量间关系
【例4】某游泳池水深 ，现需换水，每小时水位下降 ，那么剩下的高度
与时间 （小时）的关系图象表示为
A． B． C． D．
【解答】解：设水深剩下的高度 时，用了 小时，
则 与 的关系是为 ，是一次函数图象，即 越大， 越小，
符合此条件的只有 ．
故选： ．
【变式训练1】一辆客车从酒泉出发开往兰州，设客车出发 小时后与兰州的距离为 千米，
下列图象能大致反映 与 之间的函数关系的是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据出发时与终点这两个特殊点的意义，图象能大致反映 与 之间的函数关
系的是应选 ．
故选： ．
【变式训练2】船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重
要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品
耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的距离 与时间 之间的函数关系的大致图象是
A． B．
C． D．
【解答】解： 表示的是小艇离乙港的距离，小艇从甲港出发，
图象第一段为从左向右下降趋势，
离开甲港不久又原速返回乙港，
图象第二段从左向右上升趋势且倾斜程度与第一段相同，
到达甲港后找东西耽误了一段时间，
图象第三段从左向右是平线，
为了按时到达，小艇重新往乙港走加快了速度，
最后一段图象是从左向右下降的趋势且倾斜程度比第一段和第二段陡．
故选： ．
【变式训练3】国庆节来临之际，小明用20元零花钱购买水果去慰问老人，已知某种水果
的单价是每千克4元，设购买 千克水果的费用为 元，用图象表示 与 之间的关系，其
中正确的是
A． B．
C． D．【解答】解：根据题意可得 ，故函数为一次函数，
用20元零花钱购买水果，故 的范围是 ，
水果单价是每千克4元， 的范围是 ．
故选： ．
根据实际问题列函数关系式
【例5】作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐！苹果产业已成为县城经济的发
展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该
果园苹果的定价为5元 斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8
折．
设小李在该果园购买苹果 斤，付款金额为 元，求出 与 之间的函数关系式；
（2）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤
苹果？
【解答】解：（1）由题意得：
当 时， ，
当 时， ．
（2）令 ，则 ，
解得： ．
答：小李一共能购买30斤苹果．
【变式训练1】一根长度为 的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性
限度内，所挂物体质量每增加 时，弹簧长度增加 ，完成下列问题：
①当挂物体重 时，弹簧总长度为 3 6 ；
②在正常的弹性限度内，如果用 表示所挂物体质量（单位 ，那么弹簧的总长度是多
少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为 ，那么它挂的物体质量是多少千克？
【解答】解：① ；
故答案为：36；
②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，
设弹簧的总长度为 ，则 ，
③当 时， ，
解得 ，
答：所挂重物的质量是5千克．
【变式训练2】红星粮库需要把晾晒场上的 玉米入库封存，
（1）入库所需的时间 （单位：天）与入库平均速度 （单位： 天）的函数关系是
；
（2）已知粮库有60名职工晾晒，每天最多可入库 玉米，预计玉米入库最快可在几天
内完成？
（3）60名职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉
米全部入库，则至少需要增加多少职工？
【解答】解：（1）入库所需时间 （天 与入库速度 天）的函数关系式为 ；
故答案为： ；
（2）当 时，则有 ．所以预计玉米入库最快可在4日内完成；
（3）粮库的职工连续工作了两天后，还没有入库的玉米有： 每名职
工每天可使玉米入库的数量为： ，
将剩余的600吨玉米一天内全部入库需职工人数为： （名 ．
所以需增加的人数为： （名 ．
【变式训练3】为了更好的收治新冠肺炎患者，某市计划用900 的建筑材料在一个空地
上搭建方舱医院，如图所示是医院的平面图，医院分为三个区，矩形 区用于隔离治疗重症患者，矩形 区用于隔离治疗轻症患者，医护室是正方形 ，已知围成轻
症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，若设 ．
（1）用含 的代数式表示： ；
（2）设矩形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系．
【解答】解：（1） 四边形 为矩形，
，
围成轻症患者区的建筑材料与围成医护室、重症患者区的建筑材料之和一样多，
，
即 ．
设 米，则 ．
搭建方舱医院的材料总长度为 ，
．
故答案为： ．
（2） 四边形 为正方形，
，
．
依题意得： ，
整理得： ．根据函数图像获取信息
【例6】小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送
给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本
次去舅舅家所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列
问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 150 0 米，小红在商店停留了 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米 分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【解答】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，
故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
（2）根据图象， 时，直线最陡，
故小红在 分钟最快，速度为 （米 分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：
（米 ．
【变式训练1】周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，
逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线
前往滨海公园．如图是他们离家路程 与小明离家时间 的关系图，请根据图回答
下列问题：（1）图中自变量是 时间 ，因变量是 ；
（2）小明家到滨海公园的路程为 ，小明在中心书城逗留的时间为 ；
（3）小明出发 小时后爸爸驾车出发；
（4）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 ，小明爸爸驾车的平均速度为
；
（5）爸爸驾车经过 小时追上小明，他离家路程 与小明离家时间 之间的关系式为
．
【解答】解：（1）由图可得，自变量是 ，因变量是 ，
故答案为：时间，路程；
（2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为 ，小明在中心书城逗留的时间为
；
故答案为：30，1.7；
（3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
故答案为：2.5；
（4）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 ，
小明爸爸驾车的平均速度为 ；
故答案为：12；30；
（5）爸爸驾车经过 追上小明；
由爸爸的速度为 ，可设爸爸离家路程 与小明离家时间 之间的关系式为
，
则 ，
解得 ；他离家路程 与小明离家时间 之间的关系式为 ．
故答案为： ； ．
【变式训练2】小明家所在地的供电公司实行“峰谷电价”，峰时 电价为0.5
元 度，谷时 电价为0.3元 度．为了解空调制暖的耗能情况，小明记录了家
里某天0时 时内空调制暖的用电量，其用电量 （度 与时间 的函数关系如图所
示．
（1）小明家白天不开空调的时间共 1 0 ；
（2）求小明家该天空调制暖所用的电费；
（3）设空调制暖所用电费为 元，请画出该天0时 时内 与 的函数图象．（标注
必要数据）
【解答】解：（1）小明家白天不开空调的时间为： ，
故答案为：10；
（2）峰时所用电费为： （元 ，谷时所用电费为： （元 ，
所以小明家该天空调制暖所用的电费为： （元 ；
（3）根据题意，可得该天0时 时内 与 的函数图象如下：
【变式训练3】李老师某天晚饭后骑自行车到明湖公园游玩，途中遇到朋友，聊天一段时间
后继续骑行，如图所示是李老师从家到明湖公园这一过程中所走的路程 （米 与时间
（分 之间的关系．
（1）李老师从家到明湖公园的路程共 200 0 米；从家出发到明湖公园，李老师共用了
分钟；
（2）李老师与朋友聊天多长时间？
（3）李老师与朋友聊天前和聊天后的平均速度分别是多少？
【解答】解：（1）由题意可知，李老师从家到明湖公园的路程共 2000米；从家出发到明
湖公园，李老师共用了 20分钟；
故答案为：2000，20；
（2） （分钟），李老师与朋友聊天5分钟；（3）根据图象，可得： （米 分钟）， （米
分钟），
李老师与朋友聊天前的平均速度为100米 分钟，聊天后的平均速度为200米 分钟，
几何中的动点问题
【例7】如图①，在 中，点 从点 出发，沿 方向以 的速度匀速运动
到点 ，图②是点 运动时，线段 的长 随时间 变化的关系图象，当 与
面积相等时， 的长为
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由图②可知，当 时， ；当 时 取得最小值； 的最大值为
8，
；当 时， ； ，
过点 作 于点 ，如图③，则 ， ，
，
，
，
，
， 和 面积相等，
点 是 的中点，即 ，
，
，故选： ．
【变式训练1】如图1中， ， ，点 为 的中点，动点 从 点出发沿
运动到点 ，设点 的运动路程为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如
图2所示，则 的长为
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由图象可知：当 时， ，
；
面积最大时，
，
，
解得 或 ，
由图象可知 ，故 ， ，
在 中，由勾股定理得： ．
故选： ．
【变式训练2】如图1，在长方形 中，动点 从点 出发，沿 方向匀速运动至点 停止，已知点 的运动速度为 ，设点 的运动时间为 ，
的面积为 ，若 关于 的函数图象如图2所示，则长方形 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解 动点 从点 出发，沿 、 、 运动至点 停止，
当点 在点 ， 之间运动时， 的面积随时间 的增大而增大，
由图2知，当 时，点 到达点 处，
；
当点 运动到点 ， 之间时， 的面积不变，
由图2可知，点 从点 运动到点 所用时间为 ，
，
长方形 的面积 ．
故选： ．
【变式训练3】如图， 中， ， ， 是 的中点，点
沿 的方向运动，速度为 ．设 的面积为 ，点 运动的时间为
，则 与 满足的函数关系图象为A． B．
C． D．
【解答】解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ，
，
， ，
点 是 的中点，
， ， ，
当点 在线段 上，即 时， ，
；
当点 在线段 上，即 时，过点 作 于点 ，
此时， ，
，
，．
故选： ．
【例8】已知动点 以 的速度沿图1所示的边框从 — — — — — 的路径
运动，记三角形 的面积为 ， 与运动时间 的关系如图2所示，若 ，
请回答下列问题：
（1）图1中 8 ， ， ；
（2）求图2中 ， 的值．
【解答】解：（1）由图2可知从 运动时间为 ，
，
同理 ，
，
故答案为：8，4，6；
（2） ，
．
【变式训练1】如 图 ① ， 在 矩 形 中 ， ． 点 从 点 出 发 ， 沿
路线向点 匀速运动，到达点 后停止；点 从点 出发，沿
路线向点 匀速运动，到达点 后停止．若点 、 同时出发，在运动过程中， 点停留了 ，图②是 、 两点在折线 上相距的路程 与时
间 之间的部分函数关系图象．
求（1） 、 两点的运动速度及 到 点的时间；
（2）设 的面积为 ，求 与 之间的关系式．
【解答】解：（1）由函数图象②知， ，而 ，故 ；
由函数图象得出，当 、 两点在 点到 点两点之间时，路程随时间变化减慢，故此时
点停留1秒， 点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故 点运动速度为： ；
根 据 点 到 点 的 值 由 120 变 为 75 ， 再 由 点 速 度 ， 得 出 点 速 度 为
，
即点 速度为 ，点 速度为 ；
，故 到 点的时间为： ；
故点 速度为 ，点 速度为 ， 到 点的时间为3秒；
（2）①当 时，此时点 在 上，点 在 上，如下图：连接 、 ，则 ；
②当 时，此时，点 在 上，点 在 的中点处，
同理可得： ；
③当 时，此时，点 在 上，点 在 中点和点 之间，
如下图，连接 、 ，
同理可得： ；
④当 时，则点 在 上，点 在 上，
同理可得： ；
⑤当 时，
同理可得： ；
⑥当 时，
同理可得： ；故 ．
【变式训练2】如图 1 所示，在三角形 中， 是三角形的高，且 ，
点 是 上的一个动点，由点 向点 运动，其速度与时间的变化关系如图2
所示．
（1）由图2知，点 运动的时间为 3 ，速度为 ，点 停止运动时距离点
；
（2）求在点 的运动过程中，三角形 的面积 与运动时间 之间的关系式；
（3）当点 停止运动后，求三角形 的面积．
【解答】解：（1）解：（1）根据题意和图象，可得 点运动的时间为 ，速度为 ．
当点 停止运动时， ，此时距离点 ，
故答案为：3，3，1；
（2）根据题意得 ，
即 ；
（3）当 时， ，
故 的面积为 ．
【变式训练3】如图1，是一个矩形裁去一个小矩形后余下的边框， ．动点 以
每秒 的速度从 点出发，沿 移动到 点止，相应的
的面积 与时间 的图象如图2所示：（1）求图2中 的值；
（2）图1的面积为多少 ？
（3）求图2中 的值；
（4）当 的面积等于 时，求 的周长．
【解答】解：（1）动点 在 上运动时，对应的时间为0到3秒，
，
当 时， 的面积 ，
图2中 的值为24
（2）由图可得： ， ，
则 ，又由 ，
则甲图的面积为 ，
图甲中的图形面积的 ．
（3）根据题意，动点 共运动了 ，
其速度是 秒，则 ，
图乙中的 是16
（4）当点 在 上时， 边上的高 ，
，
的周长 ；
当点 在 上时， ，，
的周长 ．
