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专题 3.2 函数的单调性与最值
练基础
1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)= 在R上（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
【答案】B
【解析】
画出函数图像即可得解.
【详解】
选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.
故选：B.
2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有
>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【解析】
根据条件可得当ab时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】
由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是
增函数.
故选：A.
3．（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)f(1-2m)，则
m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】
由题意得： 解得 时，f(x)>0，则以下结论正确的是（ ）
A．f(0)＝－ ，f(－1)＝－
B．f(x)为R上的减函数
C．f(x)＋ 为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
【答案】AC
【解析】
取 ， ， 得出 ， ， 的值进而判断A；由判断B；令 结合奇偶性的定义判断C；令 ，结合g(x)为奇函数，得
出 ，从而判断D.
【详解】
由已知，令 ，得 ， ，令 ，得
， ，再令 ，得
， ，A正确； ， 不是 上的
减函数，B错误；令 ，得 ， ，故C
正确；令 ，由C可知g(x)为奇函数， ，即
， ，故D错误.
故选：AC
6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数 在 上是增函数，对于任意的
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C． D．
E.
【答案】AB
【解析】
利用函数单调性的定义： 与 同号，判断A、B、E的正误；而对于C、D选项，由于
的大小不定， 与 的大小关系不能确定.
【详解】
由函数单调性的定义知，若函数 在给定的区间上是增函数，则 与 同号，由
此可知，选项A，B正确，E错误；
对于选项C、D，因为 的大小关系无法判断，则 与 的大小关系确定也无法判断，故C，D
不正确．
故选：AB.
7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数 的定义域为 ，若存在区间
使得 ：
（1） 在 上是单调函数；
（2） 在 上的值域是 ，
则称区间 为函数 的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】ABD
【解析】函数中存在“倍值区间”，则 在 内是单调函数, 或 ，对四个函数的
单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．
【详解】
函数中存在“倍值区间”，则（1） 在 内是单调函数，（2） 或 ，
对于A， ，若存在“倍值区间” ，则 ，
，存在“倍值区间” ；
对于B， ，若存在“倍值区间” ，当 时， ，故只需
即可，故存在；
对于C， ；当 时，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
若存在“倍值区间” ， ，
不符题意；
若存在“倍值区间” ， 不符题意，故此函数不
存在“倍值区间“；
对于D， ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，若存在“倍值区间” ， ， ， ， ，
即存在“倍值区间” ；
故选：ABD．
8．（2021·全国高三专题练习（理））已知 ， ，当 时， 恒
成立，则 的最小值是_____．
【答案】
【解析】
根据题中条件，先讨论 ，根据不等式恒成立求出 ；再讨论
，求出 得到 ，再由基本不等式即可求出结果.
【详解】
当 时， ，即 恒成立，
是 上的增函数，
∴ ，
当 时， ，即 恒成立，
是 上的增函数，∴ ，
∴ ，∴ ，当 时等号成立．
故答案为： .
9．（2021·全国高三专题练习）对于满足 的所有实数p，则使不等式 恒成立的
x的取值范围为______．
【答案】 ．
【解析】
将不等式转化为在[-2，2]内关于 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量 的范围的问题．
【详解】
解：原不等式可化为 ，令 ，则原问题等价于 在
上恒成立，
则 ，即 解得： ∴ 或 ．
即x的取值范围为 .
故答案为： .
10．（2021·上海高三二模）已知 ，函数 的最小值为 ，则由满足
条件的 的值组成的集合是_______________.
【答案】
【解析】讨论 与 、 的大小关系，判断函数 在 、 上的单调性与最小值，根据函数
的最小值列方程解出实数 的值.
【详解】
分以下三种情况讨论：
①若 时，即当 时， ，
所以，函数 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，
此时，函数 无最小值；
②若 时，即当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
，所以， ，整理可得 ，
，解得 （舍去）；③当 时，即当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
因为 ，所以， ，整理可得 ，
，解得 或 （舍去）.
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
练真题
TIDHNE
1．（2020·全国高考真题（文））设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（ ）
A． B．y= C． D．
【答案】A
【解析】
函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选A.
3．（2018·全国高考真题（文））设函数 ，则满足 的x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有 成立，
一定会有 ，从而求得结果.详解：将函数 的图像画出来，观察图像可知会有 ，解得 ，所以满足
的x的取值范围是 ，故选D.
f(x)ln(x2 2x8)
4.(2017课标II)函数 的单调递增区间是（ ）
(,2) (,1) (1,) (4,)
A. B. C. D.
【答案】D
x2 2x80 x2 x4
【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函
4,
数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .
故选D.
1
af(log ),b f(log 4.1),c f(20.8)
5.(2017天津)已知奇函数 f(x) 在R上是增函数.若 2 5 2 ，则
a,b,c
的大小关系为（ ）
abc（B）bac（C）cba（D）cab
（A）
C
【答案】
1
a f log f log 5
2 5 2 log 5log 4.12,120.8 2
【解析】由题意： ，且： 2 2 ，log 5log 4.120.8 f log 5 f log 4.1 f 20.8
据此： 2 2 ，结合函数的单调性有： 2 2 ，
abc,cba
即 ，本题选择C选项.
6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评
价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关
系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力
比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企
业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
