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专题3.17 等腰三角形背景下的旋转问题（专项练习）
1．（1）如图1， ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D在CA上，点E在CB上，且
CD=CE，则易证得AD与BE的数量关系是 ．
（2）如图2，若把 DCE绕点C顺时针旋转一定角度，连接AD、BE，判断AD与BE是否
相等？若相等请证明；若不相等，说明理由．
（3）如图3，若把 ACB和 CDE都改为一般的等腰三角形，且∠ACB=∠DCE，则
AD=BE还成立吗？若成立，请给出证明过程；若不成立，请说明理由．
2．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针
方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）．
（Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝ 度，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位
置关系是 ；
（Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD的面积最大．3．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图
1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中 ， ，
，点 ， 在 的同侧，点 ， 在线段 上，连接 并延长 交 于
点 ，已知 ．将 从图1中的位置开始，绕点 顺时针旋转（ 保持不
动），旋转角为 ．
数学思考：（1）“求索小组”的同学发现图1中 ，请证明这个结论；
操作探究：（2）如图2，当 时，“笃行小组”的同学连接线段 ， ．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．①猜想 ， 满足的数量关系，并说明理由；
②若 ，请直接写出 时， ， 两点间的距离；
B．①猜想 ， 满足的位置关系，并说明理由；
②若 ，请直接写出点 落在 延长线时， ， 两点间的距离．
4．已知， ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，将边AB绕点A顺时针旋转90°得线段AE，点E为点B的对应点，连接BE，EC，其中EC交射线DA于点F，连接BF．
（1）如图1，若∠ABC＝60°，则BF与EC的位置关系是 ，∠BCE＝
．
（2）若∠ABC＝α，（1）中的结论是否成立？若成立，用图2给出证明，若不成立，说明
理由．
（3）如图3，若AF＝ ，FC＝3，请直接写出BE的长．
5．如图， 和 都是等腰直角三角形， ．（1）猜想：如图1，点 在 上，点 在 上，线段 与 的数量关系是______，
位置关系是______；
（2）探究：把 绕点 旋转到如图2的位置，连接 ， ，（1）中的结论还成立
吗？说明理由；
（3）拓展：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，当 ， ，
三点在同一直线上时，则 的长是______．
6．（1）问题发现：
如图1， 和 均为等边三角形，当 旋转至点A，D，E在同一直线上，连
接 ．
①填空： 的度数为______．
②线段 、 之间的数量关系是_______．
（2）拓展研究：
如图2， 和 均为等腰三角形，且 ，点A、D、E在同一直
线上，若 ， ，求 的长度．
（3）探究发现：图1中的 和 ，在 旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线
与 相交于点O，试在备用图中探索 的度数，直接写出结果，并说明理由．
7．如图1， 中， ， ，点 是线段 上点，且 ，
将 绕点 顺时针旋转得 ，旋转角为 ．
（1）若 ，求证： ≌ ，并求出 的值．
（2）如图2，若 ，求 的长；
（3）当 _____ 时，点 到 的距离最大，最大值为______ ．
8．如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝ ，AC、BD交
于M（1）如图1，当 ＝90°时，∠AMD的度数为 °；
（2）如图2，当 ＝60°时，求∠AMD的度数；
（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与 是否存在着确定的数量关系？如
果存在，请你用 表示∠AMD，不用证明；若不确定，说明理由．
9．如图1，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，点E在AB上，点D在CB的延长线上，
BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2 ，连接AD、CE
①请直接写出线段AD与线段CE数量关系是 ，位置关系是
②如图2将△BDE绕点B逆时针方向旋转，在旋转过程中，猜想线段AD与线段CE的关
系是什么？并说明你的理由．
③将△BDE绕点B逆时针方向旋转一周，在旋转过程中当点E恰好落在直线AD上时，
CE=
10．实践与探究已知： ABC和 DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结
论： △ △
（1）如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是
，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将 DOE绕点O顺时针旋转 （ ）得到图2，则问题
（1）中的结论是否成立？△请说明理由．
（3）如图3在（2）的基础上，当AE=CE时，请求出 的度数．
（4）在（2）的基础上， DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当 OFC为等腰
三角形时，请直接写出 △的度数． △
11．如图所示，△ ABC和△ AEF为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点
A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB的度数．
12．如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点
C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC，连接 OD.（1）求证：△COD 是等边三角形．
（2）求∠OAD 的度数．
（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
13．如图，在等腰 中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆
时针旋转90°到AD，连接DE、CD．
（1）求证： ；
（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长．
14．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE
的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN的中点．
(2)将图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△CAN为等腰直角三角形．
(3)在（2）条件下，已知AD=1，CE= ，求AN的长．
15．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，
OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填
“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：
AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数
量关系和位置关系，并给出证明．
参考答案
1．（1）AD=BE；（2）AD=BE，见解析；（3）AD=BE还成立，见解析
【解析】
【分析】（1）根据CA=CB，CD=CE，即可得出结果；
（2）根据题意证明△ACD≌△BCE，即可得出结果；
（3）证明△ACD≌△BCE即可．
【详解】
解：（1）∵CA=CB，CD=CE，
∴ ，
即AD=BE；
（2）AD=BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°
∠ACD=∠ACB-∠DCB，
∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB， ∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
（3）AD=BE还成立．
∵∠ACB=∠DCE，
∠ACD=∠ACB-∠DCB，
∠BCE=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD 和△BCE中
CA=CB，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握全等三角
形的判定与性质是解本题的关键．
2．（Ⅰ） ；垂直；平行；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和 即可求出旋转角 的度数，
再利用角度之间的关系求出 ，即可得到 与 的位置关系，再根据平行线的判定即可求出 与 的位置关系；
（Ⅱ）利用全等三角形的判定得出 ≌ ，从而得出 ，再根据角
之间的关系得出 ，从而得出 的度数；
（Ⅲ）由题意可知，点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动，在 中，当
以 为底边，点 到 的距离最大时， 的面积最大，即 时 的面
积最大，从而求出旋转角的度数．
【详解】
解：（Ⅰ）如图所示，
∵ 为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
∵ 为等腰直角三角形
∴ ，
∴
∴旋转角
∵ ，
∴
∴
∴ 与 的位置关系是垂直
∵ ,
∴
∴
∴ ∥
（Ⅱ）如图所示∵ ，
∴
∵ 与 为等腰直角三角形
∴
在 与 中
∴ ≌
∴
∵
∴
∴
（Ⅲ）如图3、图4所示
∵ 绕点 按逆时针方向旋转
∴点 在以点 为圆心， 长为半径的圆周上运动
∴当以 为底边，点 到 的距离最大时， 的面积最大
∴当 时 的面积最大
∴旋转角 或 时 的面积最大
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，
熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键．3．（1）见解析（2）A． ① ，理由见解析；② ； B． ① ，理
由见解析；②
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可证OB=OC，OE=OF，则OE-OB=OF-OC即可证明；
（2）若选A，①通过SAS证明 OBE≌△OAD即得；②过点E作EH⊥CO，交CO的延长线
于H，在 COE中，已知两边一△角，解三角形即可；
若选B，①△如图，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，通过SAS证明 OBE≌△OAD即得；
②过O点作OQ⊥AF于点Q，则 OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1，△在Rt OQF中，
利用勾股定理即可求解． △ △
【详解】
解：（1）证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵AO⊥BC，
∴OB=OC=OA，
同理可证明OE=OF=0D，
∴OE-OB=OF-OC，
∴BE=CF，
（2）A①：AD=BE，理由如下：
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴AD=BE，
A②：过点E作EH⊥CO，交CO的延长线于H，当旋转角α=45°时，∠BOE=45°，∠COE=135°，
∵AB=AC=2
由勾股定理得：BC＝ ，
∴OC= ，
如图所示，在Rt EHO中，OE=2，
△
∴HE=HO= ，
在Rt EHC中，由勾股定理得：
△
CE= ；
B①：AD⊥BE，
如图2，延长DA交BE于点P，交EF于点Q，
∵∠AOB=∠EOD=90°，
∴∠BOE=∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴∠BEO=∠ADO，
∵∠EQP=∠AQO，∴∠EPQ=∠QOD，
∴AD⊥BE，
B②：过O点作OQ⊥AF于点Q，
则△OCQ为等腰直角三角形，QO=QC=1，
在Rt△OQF中，由勾股定理得：FQ= ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等
知识，证明△OBE≌△OAD是解题的关键．
4．（1）BF⊥EC，45°；（2）若∠ABC＝α，（1）中的结论成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由AB＝AC，∠ABC＝60°得△ABC是等边三角形，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝
60°，由旋转得∠BAE＝90°，AE＝AB＝AC，根据等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝
15°，可得出∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，根据等边三角形的性质可得AD是BC的垂直平
分线，则FB＝FC，可得∠FBC＝∠BCE＝45°，可得出∠BFC＝90°，即可得出BF⊥EC；
（2）若∠ABC＝α，（1）中的结论成立，根据等腰三角形的性质∠BAC＝180°﹣2α，由旋转得∠BAE＝90°，AE＝AB＝AC，则∠EAC＝360°﹣90°﹣（180°﹣2α），根据等腰三角形
的性质可得∠AEC＝∠ACE＝ （180°﹣∠EAC）＝45°﹣α，可得出∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE
＝（45°﹣α）+α＝45°，根据等腰三角形的性质可得AD是BC的垂直平分线，则FB＝FC，
可得∠FBC＝∠BCE＝45°，可得出∠BFC＝90°，即可得出BF⊥EC；
（3）由（1）、（2）可得∠BCE＝45°，可得DF＝CD＝BD＝ ，根据勾股定理求出
AB＝ ＝ ，在Rt△BAE中，根据勾股定理即可得BE的长．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
由旋转得∠BAE＝90°，AE＝AB＝AC，
∴∠EAC＝90°+60°＝150°，
∴∠AEC＝∠ACE＝15°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠BCE＝45°，
∴∠BFC＝90°，
∴BF⊥EC，
故答案为：BF⊥EC，45°；
（2）若∠ABC＝α，（1）中的结论成立，
证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠BAC＝180°﹣2α，
由旋转得∠BAE＝90°，AE＝AB＝AC，
∴∠EAC＝360°﹣90°﹣（180°﹣2α），
∴∠AEC＝∠ACE＝ （180°﹣∠EAC）＝45°﹣α，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝（45°﹣α）+α＝45°，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠BCE＝45°，
∴∠BFC＝90°，
∴BF⊥EC；
（3）由（1）、（2）可得∠BCE＝45°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DF＝CD＝BD＝ ＝ ，
∴AB＝ ＝ ，
由旋转得∠BAE＝90°，AE＝AB＝ ，
在Rt△BAE中，
BE＝ ＝ ．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，
等腰三角形的性质，旋转的性质；解题的关键是熟练掌握以上性质．
5．（1） ， ；（2）成立，理由见解析；（3）34或14
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用
∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出 BCE≌△ACD（SAS），得出
BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，B△E与AD的交点记作点G，进而得出
∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=
DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论；②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN= DE=10，再由
勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC和 DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC=AC，EC=DC， △
∴BC-EC=AC-DC，
∴BE=AD，
∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，
∴BE⊥AD，
故答案为BE=AD，BE⊥AD；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
由旋转知，∠BCE=∠ACD，
∵BC=AC，EC=DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠BHC=90°，
∵∠BHC=∠AHG，
∴∠CAD+∠AHG=90°，
∴∠AGH=90°，
∴BE⊥AD；（3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，
∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EM=CM= DE=10，
在Rt AMC中，AC=26，
△
根据勾股定理得， ，
∴AE=AM-EM=24-10=14；
②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N，
∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EN=CN= DE=10，
在Rt△ANC中，AC=26，
根据勾股定理得 ，
∴AE=AN+EN=24+10=34；
综上，AE的长为14或34，
故答案为14或34．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
6．（1）①60°；② ；（2）AB的长度为17；（3）60°或120°，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在
同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角
形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知
∠EAB+∠ABE=120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°．
【详解】
（1）①如图1，
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：60°．
②∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（3）如图3，由（1）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图4，同理求得 ，
∴ ，
∵ 的度数是60°或120°．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出
ACD≌△BCE（SAS）是解本题的关键．
△
7．（1）证明见解析， ；（2） ；（3）60或300，4
【解析】
【分析】
（1）根据SSS即可证得 ≌ ，由此可得 ；
（2）过点O作OH⊥ ，根据 ， 可得
，由此可得 ，再利用勾股定理即可求得PH的长，进而可求得 的长；
（3）由题意可知点 的运动轨迹是以点O为圆心，OP为半径的圆，过点O作OE⊥ ，
垂足为点E，先判断出OE的取值范围，进而可求得最大值，注意旋转角 需要分类讨论．
【详解】
（1）证明：∵旋转，
∴ ，
在 与 中，
∴ ≌ （SSS），
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点O作OH⊥ ，垂足为点H，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt 中， ，
∵ ，OH⊥ ，
∴ ；
（3）由题意可知点 的运动轨迹是以点O为圆心，OP为半径的圆，如下图所示，过点O作OE⊥ ，垂足为点E，
当∠ ＜90°时，OE＜ ，
当∠ ＝90°时，OE＝ ，
由此可知，OE≤ ，
∵ ，
∴OE≤4，
∴OE的最大值为4，此时点E与点 重合，
当点 在OA的左侧时，如下图：
∵∠ ＝90°，点P为AO的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴ ；
当点 在OA的右侧时，如下图：同理可得，此时 ，
故答案为：60或300，4．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，含30°
的直角三角形的性质，勾股定理的应用以及等边三角形的判定，熟练掌握相关图形的性质
是解决本题的关键．
8．（1）90；（2）120°；（3）存在，∠AMD＝180°﹣
【解析】
【分析】
（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由
∠AKM=∠BKO，得∠AMK=∠BOK=90°可得结论．
（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由
∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=60°可得结论．
（3）如图3中，设OB交AC于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由
∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α；
【详解】
解：（1）如图1中，设OA交BD于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKM=∠BKO，
∴∠AMK=∠BOK=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°．
故答案为90．
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKM=∠BKO，
∴∠AMK=∠BOK=60°，
∴∠AMD=180°-60°=120°，
（3）如图3中，设OB交AC于K．
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD=∠OAC，
∵∠AKO=∠BKM，
∴∠AOK=∠BMK=α．
∴∠AMD=180°-α．
【点拨】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等．
9．①AD = CE，AD CE；②AD = CE，AD CE，见解析；③ 或
【解析】
【分析】
（1）首先证明 可得AD=CE，再延长CE交AD于Q，证明∠
△ 即可得到结论；
（2）方法同（1）可得AD = CE，AD CE；
（3）分 BDE绕点B逆时针旋转小于或大于90°两种情况求解即可．
【详解】△
解：（1）∵△ 和 均为等腰直角三角形，
∴ △ ，
∴
∴△ ，
延长CE交AD于点Q，如图1
∴∠
∵∠∴∠
∴∠
∴∠ ，即AD CE；
故答案为：AD = CE，AD CE；
（2）AD = CE，AD CE，如图2
∵△ 和 均为等腰直角三角形，
∴ △ ，
∴∠ ，即∠
∴△
∴
又∠
∴∠
∴
（3）①△BDE绕点B逆时针旋转小于90°时，如图3所示：
连接CE，过B作BR⊥CE于R，在Rt BRE中，BR=ER= ，
△
在Rt BCR中，CR= ，
△
∴CE= ，
②△BDE绕点B逆时针旋转大于90°时，如图4所示：
过B作BG⊥AE，垂足为点G，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BG=DG= .
∴
∴AD=AG-DG= ,
∵△ 和△ 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴∠ABD=∠CBD
∴△
∴CE=AD=
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾
股定理等知识；熟练掌握旋转的性质、证明三角形全等是解题的关键．10．（1）AE=CD AE⊥CD；（2）成立，理由见解析；（3）45°；（4）45°或22.5°
【解析】
【分析】
（1）证明 AOC是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）连接△AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N，证明 AOE≌△COD可得
AE=CD，证明∠DME=90°可得AE⊥CD； △
（3）证明OE是AC的垂直平分线即可得到结论；
（4）分OF=FC和OC=CF两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ABC是等腰三角形，∠CAB =90°，
∴∠ACB=45°△
∵点O是BC的中点，
∴AO⊥BC
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AO=CO
∵ DOE是等腰三角形，∠DOE=90°，
∴E△O=DO
∴EO-AO=DO-CO
即AE=CD
∵OE经过点A，OD经过点C，
∴AE⊥CD
故答案为：AE=CD AE⊥CD
（2）（1）中的结论仍然成立
理由如下：连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N∵△ABC是等腰直角三角形，O是BC的中点
∴AO=CO，AO⊥BC
∴∠AOC=∠EOD=90°
∴∠AOE=∠COD
∵OE=OD
∴△AOE≌△COD(SAS)
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO
∵∠CDO+∠OND=90°，且∠OND=∠MNE
∴∠AEO+∠MNE=90°
∴∠DME=90°
∴DM⊥AE
即DC⊥AE
（3）连接OA，如图3，
∵AE=CE，OA=OC
∴OE是AC的垂直平分线
∴∠AOE=∠COE=45°
∴ =45°
(4)①若OF=FC时，如图4，∵ ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠△ACB=45°
∴∠FOC=45°
∵AO⊥BC
∴∠AOC=90°
∴∠AOF=90°-45°=45°，即 =45°；
②当OC=FC时，如图5，
∵ ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠△ACB=45°
∴∠FOC=
∵AO⊥BC
∴∠AOC=90°
∴∠AOF=90°-67.5°=22.5°，即 =22.5°；
综上所述， 的度数为45°或22.5°．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性
质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
11．150°
【解析】
【分析】
连接FC，可证△AEB≌△AFC（SAS），然后根据勾股定理的逆定理可求的∠EFC=90°，然
后根据全等的性质可求解.
【详解】
连接FC，则△AEB≌△AFC（SAS）．
在△EFC中，EF=3，FC=4，EC=5，
所以是直角三角形，则∠EFC=90°，
∠AEB=∠AFC=90°+60°=150°
12．（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或 150°.
【解析】
【详解】
分析：（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD， 再由全等三角形对应边相等得到OC＝
CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ，分三种情况讨论即可．
详解：（1）∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，则△OCD 是等边三角形；
（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．
∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．
∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，
∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．
（3）若△AOD 是等腰三角形 ．∵由（1）知△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝
60°．
由（2）知∠OAD＝45°， 分三种情况讨论：
①当 OA＝OD 时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；
②当 OA＝AD 时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；
③当 AD＝OD 时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．
综上所述：当α＝105°，127.5°或 150°时，△AOD 是等腰三角形 ．
点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线
段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．解题的关键是要分类讨论．
13．（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据E点绕A点逆时针旋转90°到AD，可得AD＝AE，∠DAE＝90°，进而可以证明
ABE≌△ACD；
△（2）结合（1） ABE≌△ACD，和等腰三角形的性质，可得∠DCE＝90°，再根据勾股定理
即可求出DE的长△．
【详解】
（1）证明：∵E点绕A点逆时针旋转90°到AD，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵AC＝AB，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）∵等腰 ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠△ABC＝45°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∠DCA＝∠ABE＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4＝CD，
∴DE＝ ＝2 ．
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解
决本题的关键是综合运用以上知识．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AN=
【解析】
【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到 ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．
（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，△从而可以证到 ABC≌△NEC，进而可以证
到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有 ACN为等腰直角三角△形．
（3）由（2）知，NE=AD=1，利用等腰△直角三角形的性质得出AB=1，BE=2，得出
AE=3，最后利用勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：(1)∵点M为DE的中点，
∴DM=ME．
∵AD∥EN，
∴∠ADM=∠NEM，
又∵∠DMA=∠EMN，
∴△DMA≌△EMN，
∴AM=MN，即M为AN的中点．
(2)由(1)中 DMA≌△EMN可知DA=EN，
又∵DA=A△B，
∴AB=NE，
∵∠ABC=∠NEC=135°，BC=CE，
∴△ABC≌△NEC，
∴AC=CN，∠ACB=∠NCE，
∵∠BCE=∠BCN+∠NCE=90°，
∴∠BCN+∠ACB=90°，
∴∠ACN=90°，
∴△CAN为等腰直角三角形．
(3)由(2)知，NE=AD=1，
在等腰直角三角形BAD中，AD=1，
∴AB=AD=1，
在等腰直角三角形BCE中,CE= ，
∴BE=2，
∴AE=AB+BE=3
由(2)知,∠AEN=90°，在Rt AEN中,AE=3,NE=1,根据勾股定理得, AN= .
△
【点拨】本题主要考查全等三角形的综合问题，旋转的性质以及用勾股定理理解三角形，
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
15．（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD
的位置关系；
（2）证明△OCA≌△ODB，即可得到AC=BD；
（3）证明△OCA≌△ODB，可得AC=BD，∠BDO=∠ACO，进而可证∠DEF=90°．
【详解】
解：（1）∵OA=OB，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD，
∴AC=BD．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO⊥BO，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴AC⊥BD；
（2）在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．理由：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知
识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质
（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
