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专题 3.15 直线和圆的位置关系（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解直线与圆的三种位置关系,
2. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；
【要点梳理】
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，
唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以
转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直
线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
特别说明：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【典型例题】
类型一、判定直线和圆的位置关系
1．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作
圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且
【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可．
解：（1） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有1个交点；
（2） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有2个交点；
（3） 圆心 的坐标为 ，
当 或5时，圆 与坐标轴有3个交点；
（4） 圆心 的坐标为 ，
当 且 时，圆 与坐标轴有4个交点．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且 ．
【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，
这是此题易遗漏的地方．
举一反三：
【变式1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，
保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线BC与所作⊙O相切，理由见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，以OA为半径画圆即可；
（2）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义可得出∠CAD＝∠ODA，从而有
OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC为⊙O的切线
解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）直线BC与所作⊙O相切．
理由如下：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查垂直平分线和圆的作法以及直线与圆的位置关系，掌握切线的
判定方法是解题的关键.【变式2】如图， ，点 在 上，且 ，以 为圆心，
为半径作圆．
（1）讨论射线 与 公共点个数，并写出 对应的取值范围；
（2）若 是 上一点， ，当 时，求线段 与 的公共
点个数．
【答案】（1）见解析 （2）0个
【分析】(1) 作 于点 ,由 ，可得点 到射线 的距
离 ,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个
数；
(2) 连接 ．可得 ,由 可得 ,得到
,故当 时，可判断线段 与 的公共点个数．
解：（1）如图，作 于点 ．
，
∴点 到射线 的距离 ．
∴当 时， 与射线 只有一个公共点；
当 时， 与射线 没有公共点；当 时， 与射线 有两个公共点；
当 时， 与射线 只有一个公共点．
（2）如图，连接 ．
．
,
.
∴当 时，线段 与 的公共点个数为0．
【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.
【变式3】如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径
为3的圆与OA的位置关系.
【答案】相切
【解析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可
试题解析：相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
类型二、由直线和圆的位置关系求半径的取值范围
2．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点
P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的
取值范围．
【答案】（1）AB＝AC（2） ≤r<5
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质和垂直得出 ，推出
，求出 ，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出 在 的垂直平分线上，作出线段 的垂直平分线 ，作
，求出 ，求出 范围，再根据相离得出 ，即可得出答案.
解：(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出
；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴ ，
，
，
r2≥5，
∴ ，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即 .
图1 图2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，
主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
【变式1】如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围
【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．
【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果；
（2）由（1）的结果即可得出答案．
解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，
∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；
（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于
12cm，
∴2cm＜x＜12cm，
x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；
熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【变式2】．在 中，D是边BC上一点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，
如果与边BC有交点E（不与点D重合），那么称 为 的A-外截弧.例如，图中
是 的一条A-外截弧.在平面直角坐标系xOy中，已知 存在A-外截弧，
其中点A的坐标为 ，点B与坐标原点O重合.
（1）在点 ， ， ， 中，满足条件的点C是_______.（2）若点C在直线 上.
①求点C的纵坐标的取值范围.
②直接写出 的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围.
【答案】（1）C 、C ；（2）-22；（3） 0，设点C坐标为（m，
m-2），利用直角三角形斜边中线的性质可求出∠ACB=90°时点C的坐标，根据
∠ACB<90°时，△ABC有A-外截弧可得m的取值范围，代入y=x-2，即可得点C纵坐标
的取值范围；
②求出∠ACB=90°时AC的长，进而可得答案.
解：（1）如图，∵BC ⊥AB，
1
∴△ABC 没有A-外截弧，
1
作AF⊥BC 于F，
2
∵A（5，0），B（0，0），C （5，-3），
2
∴∠BAC =90°，AC =3，AB=5，
2 2
∴AC 0，
当∠ACB=90°时，
∵A（5，0），B（0，0），
∴斜边AB的中点H的坐标为（2.5，0），
∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，
解得：m= ，m=4，
1 2
∴∠ACB=90°时，点C坐标为（ ， ）或（4，2），
∵直线解析式为y=x-2，
∴x=0时，y=-2，
∴与y轴交点为（0，-2），∵△ABC有A-外截弧时，∠ACB<90°，
∴点C的纵坐标的取值范围为-22.
②由①得x= 或x=4时，∠ACB=90°，
∴C （ ， ），C （4，2），
1 2
∴AC = ，AC = ，
1 2
∴ 的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围为：
