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专题 3.15 直线和圆的位置关系（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解直线与圆的三种位置关系,
2. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；
【要点梳理】
1．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，
唯一的公共点叫做切点．
(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以
转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直
线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么
特别说明：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
【典型例题】
类型一、判定直线和圆的位置关系
1．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作
圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且
【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可．
解：（1） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有1个交点；
（2） 圆心 的坐标为 ，
当 时，圆 与坐标轴有2个交点；
（3） 圆心 的坐标为 ，
当 或5时，圆 与坐标轴有3个交点；
（4） 圆心 的坐标为 ，
当 且 时，圆 与坐标轴有4个交点．
故答案为：（1） ；（2） ；（3） 或5；（6） 且 ．
【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，
这是此题易遗漏的地方．
举一反三：
【变式1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，
保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线BC与所作⊙O相切，理由见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，以OA为半径画圆即可；
（2）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义可得出∠CAD＝∠ODA，从而有
OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC为⊙O的切线
解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）直线BC与所作⊙O相切．
理由如下：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查垂直平分线和圆的作法以及直线与圆的位置关系，掌握切线的
判定方法是解题的关键.【变式2】如图， ，点 在 上，且 ，以 为圆心，
为半径作圆．
（1）讨论射线 与 公共点个数，并写出 对应的取值范围；
（2）若 是 上一点， ，当 时，求线段 与 的公共
点个数．
【答案】（1）见解析 （2）0个
【分析】(1) 作 于点 ,由 ，可得点 到射线 的距
离 ,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个
数；
(2) 连接 ．可得 ,由 可得 ,得到
,故当 时，可判断线段 与 的公共点个数．
解：（1）如图，作 于点 ．
，
∴点 到射线 的距离 ．
∴当 时， 与射线 只有一个公共点；
当 时， 与射线 没有公共点；当 时， 与射线 有两个公共点；
当 时， 与射线 只有一个公共点．
（2）如图，连接 ．
．
,
.
∴当 时，线段 与 的公共点个数为0．
【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.
【变式3】如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径
为3的圆与OA的位置关系.
【答案】相切
【解析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可
试题解析：相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
类型二、由直线和圆的位置关系求半径的取值范围
2．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点
P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的
取值范围．
【答案】（1）AB＝AC（2） ≤r<5
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质和垂直得出 ，推出
，求出 ，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出 在 的垂直平分线上，作出线段 的垂直平分线 ，作
，求出 ，求出 范围，再根据相离得出 ，即可得出答案.
解：(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出
；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴ ，
，
，
r2≥5，
∴ ，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即 .
图1 图2
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，
主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
【变式1】如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm．
（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围
【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．
【分析】（1）由切线的判定与性质和平移的性质即可得出结果；
（2）由（1）的结果即可得出答案．
解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，
∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；
（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于
12cm，
∴2cm＜x＜12cm，
x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、直线与圆的位置关系等知识；
熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
【变式2】．在 中，D是边BC上一点，以点A为圆心，AD长为半径作弧，
如果与边BC有交点E（不与点D重合），那么称 为 的A-外截弧.例如，图中
是 的一条A-外截弧.在平面直角坐标系xOy中，已知 存在A-外截弧，
其中点A的坐标为 ，点B与坐标原点O重合.
（1）在点 ， ， ， 中，满足条件的点C是_______.（2）若点C在直线 上.
①求点C的纵坐标的取值范围.
②直接写出 的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围.
【答案】（1）C 、C ；（2）-2<y< 或y>2；（3） <r<5或 <r<5.
2 3
【分析】（1）如图，根据BC ⊥AB可得△ABC 没有A-外截弧，作AF⊥BC 于F，由
1 1 2
AC <AB可得当AF<AD <AC 时，△ABC 有A-外截弧；作AG⊥BC 于G，根据点C 坐标，
2 2 2 2 3 3
可求出AC 的长，可得AC <AB，即可得出AG<AD <AC 时，△ABC 有A-外截弧；根据
3 3 1 3 3
A、B、C 坐标可求出BC 、AC 的长，根据勾股定理逆定理可得△ABC 是直角三角形，且
4 4 4 4
AC ⊥BC ，可得△ABC 没有A-外截弧，综上即可得答案；
4 4 4
（2）①根据△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°，可得x>0，设点C坐标为（m，
m-2），利用直角三角形斜边中线的性质可求出∠ACB=90°时点C的坐标，根据
∠ACB<90°时，△ABC有A-外截弧可得m的取值范围，代入y=x-2，即可得点C纵坐标
的取值范围；
②求出∠ACB=90°时AC的长，进而可得答案.
解：（1）如图，∵BC ⊥AB，
1
∴△ABC 没有A-外截弧，
1
作AF⊥BC 于F，
2
∵A（5，0），B（0，0），C （5，-3），
2
∴∠BAC =90°，AC =3，AB=5，
2 2
∴AC <AB，
2
∴AF<AD <AC 时，△ABC 有A-外截弧，满足条件，
2 2 2
作AG⊥BC 于G，
3
∵C （6，4），
3
∴AC = <AB，
3
∴AG<AD < 时，△ABC 有A-外截弧，满足条件，
1 3
∵C （4，2），
4∴BC = ，AC = ，AB=5，
4 4
∵( )2+( )2=52，
∴△ABC 是直角三角形，∠AC B=90°，
4 4
∴△ABC 没有A-外截弧，
4
综上所述：满足条件的点C是C 、C .
2 3
故答案为：C 、C
2 3
（2）①∵点C在直线y=x-2上，
∴设点C的坐标为（m，m-2），
∵△ABC有A-外截弧，
∴∠ABC<90°，
∴m>0，
当∠ACB=90°时，
∵A（5，0），B（0，0），
∴斜边AB的中点H的坐标为（2.5，0），
∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，
解得：m= ，m=4，
1 2
∴∠ACB=90°时，点C坐标为（ ， ）或（4，2），
∵直线解析式为y=x-2，
∴x=0时，y=-2，
∴与y轴交点为（0，-2），∵△ABC有A-外截弧时，∠ACB<90°，
∴点C的纵坐标的取值范围为-2<y< 或y>2.
②由①得x= 或x=4时，∠ACB=90°，
∴C （ ， ），C （4，2），
1 2
∴AC = ，AC = ，
1 2
∴ 的A-外截弧所在圆的半径r的取值范围为： <r<5或 <r<5.
【点拨】本题考查直线和圆的位置关系、直角三角形斜边中线的性质、一次函数图象
上点的坐标特征及勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质
是解题关键.
【变式3】已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°， ，AB＝14，
（1）求：△ABC的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A
的半径．
【答案】(1)42;(2) 4或16
【分析】（1）过C作CD⊥AB于D解直角三角形得到CD，根据三角形的面积公式即
可得到结论；（2）根据圆C与直线AB相切，得到○C的半径，根据勾股定理得到AC，
设○A的半径为r，当圆A与圆C内切时，当圆A与圆C外切时即可得到结论
解：
（1）过C作CD⊥AB于D，
∵ ，
∴ ，
∵∠ABC＝45°，
∴BD＝CD，
∵AB＝14，
∴ ，
∴CD＝6，
∴△ABC的面积 ；
（2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切，
∴⊙C的半径＝6，
∵AD＝8，
∴ ，
设⊙A的半径为r，
当圆A与圆C内切时，r﹣6＝10，∴r＝16，
当圆A与圆C外切时，r+6＝10，
∴r＝4，
综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：4或16．
【点拨】本题的关键是做辅助线，考虑圆A与圆C内切或外切两种情况
类型三、由直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
3．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、
C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，在图中标出该圆弧所在圆的圆心D．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：D（ ）；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③利用网格试在图中找出格点E ，使得直线EC与⊙D相切（写出所有可能的
结果）．
【答案】（1）见解析；（2）①（2，0）；②2 ；③（7，0）．
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及
BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；
（2）①根据第一问画出的图形即可得出D的坐标；
②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆D的半
径；
③根据半径相等得出CD=AD=2 ，设EF=x，在Rt△CDE和Rt△CEF中，根据勾股定理
列出两个式子即可求出x的值，从而求出E点坐标解：(1)根据题意画出相应的图形，如图所示：
(2)①根据图形得：D(2,0)；
②在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根据勾股定理得：AD= =2
则D的半径为2
③∵EC与⊙D相切
∴CE⊥DC
∴△CDE为直角三角形即∠DCE=90°
∵AD和CD都是圆D的半径，
∴由②知，CD=AD=2
设EF=x
在Rt△CDE中，（2 ）2+CE2=(4+x)2
在Rt△CEF中，22+x2=CE2
∴（2 ）2+（22+x2）=(4+x)2
解得，x=1，即EF=1
∴OE=2+4+1=7
∴E点坐标为（7,0）
【点拨】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:坐标与图形性质,垂径定理,勾
股定理及逆定理,切线的判定,利用了数形结合的思想,根据题意画出相应的图形是解本题的
关键.
【变式1】如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3．
（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式．
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以
外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP．请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似
给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于 的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) p＝4k+3；(2)见解析;(3) 存在，k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等
于 ,理由见解析
【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形
OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直
线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；
（2）连接DN．∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND
＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知
∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA证明△AMN∽△ABP；
（3）存在．把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得
AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比．分两种情况进行讨论：①当
点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2−4k−2＝0，解关于k的一元二次方程；
②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝−（4k＋3），解关于k的一
元二次方程．解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD
＝OB＝4；
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝
4k+3；
（2）连接DN．∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，
∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝
∠AMN，
∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP
（3）存在．理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝
，
∵S ＝ AB•DN＝ AD•DB∴DN＝ ＝ ，∴AN2＝AD2﹣DN2＝
△ABD
，
∵△AMN∽△ABP，∴ ，即
当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16
（k2+1），
或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），
S ＝ PB•AD＝ （4k+3）×4＝2（4k+3），
△ABP
∴ ，
整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k＝2+ ，k＝2﹣
1 2
当点P在B点下方时，∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S ＝ PB•AD＝ [﹣
△ABP
（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）
∴
化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，
综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于
【点拨】本题主要考查了梯形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质以及一
次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的
中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为
半径作圆．设点Q运动的时间为t秒．
（1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．
（2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为 s或 s
【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大
小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理
PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可，
（2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切r -r =OP, 圆O与圆P内切，r -r =OP即可．
O P P O
解：（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10，
∴AB=2AC=20，BC= ，
∵P为BC的中点
∴BP=
∴PH= BP= ，
当t=2.5s时，PQ= ，
∴PH=PQ= ∴直线AB与⊙P相切 ，
（2）连结OP，
∵O为AB的中点，P为BC的中点，
∴OP= AC=5，
∵⊙O为Rt△ABC的外接圆，
∴AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径OB=10 ，
∵⊙P与⊙O相切 ，
∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP 即 t-10=5或10- t =5，∴ t= 或t= ，
故当t为 s或 s时，⊙P与⊙O相切．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到
直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，
抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆
P与圆O内切r -r =OP, 圆O与圆P内切，r -r =OP．
O P P O
【变式3】如图，P是⊙O直径BA延长线上一点，过P作PC切⊙O于C，连接AC、
BC，若PA＝AO＝2，
（1）求PC的长，求AC的长；
（2）求tan∠PCA的值及△PAC的面积．
【答案】（1）PC＝2 ；AC＝2，（2）tan∠PCA＝ ；△PAC的面积为： ．
【分析】（1）连接OC，根据PA＝AO＝2，可知PO＝2OC，所以∠P＝30°，所以
∠POC＝60°，从而可知△AOC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知AC＝2，最后
根据含30度角的直角三角形求出OP，即可得出结论；
（2）由（1）易知∠PCA＝30°，从而可求出tan∠PCA，易知CA是△PCO的中线，
所以△PAC的面积等于△PCO的面积的一半．解：（1）连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PA＝AO＝CO＝2，
∴PO＝2+2＝4，
∴PO＝2OC，
∴∠P＝30°，
∴∠POC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝2，
在Rt△OCP中，OP＝2OC＝4，根据勾股定理得，PC＝2
（2）由（1）可知：∠ACO＝60°，∠PCO＝90°，
∴∠PCA＝30°，
∴tan∠PCA＝ ；
∵A是PO的中点，
∴CA是△PCO的中线，
∵△PCO的面积为： ×2×2 ＝2 ，
∴△PAC的面积为： ×2 ＝ ．
【点拨】本题考查圆的综合问题，涉及三角形面积公式，含30度角的直角三角形的性
质，锐角三角函数，勾股定理等知识，需要学生灵活运用所学知识．类型四、圆平移到与直线相切时圆心移动的距离
4．作一个圆，使它经过已知点 和 ，并且圆心在已知直线 上．
（1）当直线 和 相交时，可作几个？
（2）当直线 和 垂直但不经过 的中点时，可作出几个？
（3）你还能提出不同于（1），（2）的问题吗？
【答案】（1）可作 个圆；可作 个；可作无数个圆；（2）可作 个；（3）可作 个
圆．
【分析】（1）圆心在线段 的中垂线上，分类讨论：若不垂直可作 个圆；若垂
直但不经过 的中点，可作 个；垂直且经过 的中点时，可作无数个圆．
（2）在（1）中第二种情况已解答；
（3）可以设 与 平行，则线段 的中垂线与 必有一个交点，则可作 个圆．
解：（1）当直线 和 相交，若不垂直可作 个圆；若垂直但不经过 的中点，
可作 个；垂直且经过 的中点时，可作无数个圆．
（2）当直线 和 垂直但不经过 的中点时，可作 个；
（3）当直线 和 平行时，可作 个圆．
【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离
为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【变式1】如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐
标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x
轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．（1）∠BCD的度数为______°.
（2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形.
（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．
①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切.
②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形
ABCD的交点有三个．
【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3 ；（3）①当t的值为2或5或 时，⊙P
与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝ ；5＜t＜ ．
【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得
OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）
分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、
AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有
两个交点即可得答案.
解：（1）∵A（5，0）、C（0，3），
∴OC＝3，OA＝5，
又∵AD＝2，
∴OD＝OA﹣AD＝3，
∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
又∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠ODC＝45°，
故答案为：45；
（2）若△PCD为等腰三角形，
①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合，
∴P（0，0），
∵E（﹣5，0），
∴PE＝5，
∴t＝5.
②当CP＝CD时，
∵CO⊥PD，
∴CO垂直平分PD，
∴PO＝OD＝3，
∴P（﹣3，0），
∵E（﹣5，0），
∴PE＝2，
∴t＝2.
③当DC＝DP时，
在Rt△COD中，DC＝ ＝3 ，
∴DP＝3 ，
∴OP＝3 ﹣3，
∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3 ﹣3）＝8﹣3 ，
∴t＝8﹣3 .
故答案为：5或2或8﹣3
（3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时，
PC⊥CD，∵∠CDO＝45°，
∴△CPD为等腰直角三角形，
∵CO⊥PD，
∴PO＝DO＝3，
∴EP＝2，
即t＝2；
如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时，
∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC，
∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切，
∴t＝5.
如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时，
PA为⊙P半径，
设PC＝PA＝r，
在Rt△PCD中，
OP＝OA﹣PA＝5﹣r，
∵PC2＝OC2+OP2，
∴r2＝32+（5﹣r）2，解得，r＝ ，
∴t＝EP＝10﹣ ＝ .
∴当t的值为2或5或 时，⊙P与四边形ABCD的一边相切.
②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继
续向右运动会有两个交点.
如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，
继续向右运动会有三个交点.
如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，
此时t＝ ，继续向右运动有三个交点.
如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此
时t＝ ，综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝ ；5＜t＜ ．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟
练掌握直线与圆的位置关系是解题关键.
【变式2】如图，⊙P与y轴相切，圆心为P（－2，1），直线MN过点M（2，3），
N（4，1）.
（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′；（不要求写作法）
（2）求⊙P在x轴上截得的线段长度；
（3）直接写出圆心P′到直线MN的距离．
【答案】（1）如下图；（2） ；（3）解答：（1）如图所示：
（2）⊙P在x轴上截得的线段长度为2√22−1=2√3；
（3）由图可知，P′M=2，P′N=2，△P′MN为直角三角形
∴MN= =2 ，
∴点P′到直线MN的距离= ．
考点：基本作图，勾股定理
点评：作图题是初中数学学习中的重要题型，在中考中比较常见，一般难度不大，需
熟练掌握.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴
相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度
的最大值为_____．
【答案】32
【分析】连接OP，根据题意得：当OP经过点C时，OP最长；结合C（6，8），以
点C为圆心的圆与y轴相切，根据勾股定理和圆的半径性质，计算得OP；在通过直角三角
形斜边中线的性质，即可得到AB的最大值．
解：连接OP当OP经过点C时，OP最长
∵C（6，8），以点C为圆心的圆与y轴相切
∴ ，
∴
∵OA＝OB，∠APB＝90°
∴OP是 斜边上的中线
∴ ，即OP取最大值时，AB最大
∴
故答案为：32．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边中线、圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练
掌握直角三角形斜边中线、圆、勾股定理的性质，从而完成求解．
类型五、直线平移到与圆相切时移动的距离
5．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两
点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切．
【答案】需要平移2cm．
【分析】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．
解：∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中， ，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
【点拨】考查垂径定理以及直线和圆的位置关系.注意：直线和圆相切时，应满足
【变式1】如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP
的方向在直线BP上移动．
（Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是 ．
（Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是 ．
【答案】相切;1cm＜d＜5cm
试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
∴O′C= PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；
（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
考点：直线与圆的位置关系．
【变式2】已知：直线 经过点 .
（1）求 的值；
（2）将该直线向上平移 个单位，若平移后得到的直线与半径为6的 相
离（点 为坐标原点），试求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直
线与圆的位置关系的判定解答．
解：（1）因为直线 经过点 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线 所对应的函数关系式为，设直线 与 轴、 轴分别交于点 、 （如图所示），
当 时， ；当 时， .
所以 ， ，即 ， .
在 中， .
过点 作 于 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，解得 .
依题意得： ，
解得 ，
即 的取值范围为 .
【点拨】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．【变式3】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为
（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离．
【答案】1或5．
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故答案为：1或5．
【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到
圆心的距离等于圆的半径．
