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专题3.19 切线长定理（专项练习2）
一、单选题
知识点七、切线长定理求解或证明
1．如图， 、 是 的切线， 是 的直径， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知 、 是 的两条切线， 、 为切点，连接 交 于 ，交
于 ，连接 、 ，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为（ ）
A．1，2 B．2，2
C．2，6 D．1，6
3．如图，已知 是 的两条切线，A，B为切点，线段 交 于点M．给出
下列四种说法：① ；② ；③四边形 有外接圆；④M是
外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．44．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，OP交⊙O于点C，连接AB，下列结论中，错误
的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．OP＝2OA
知识点八、直角三角形周长、面积和内切圆半径关系
5．若 的外接圆半径为R，内切圆半径为 ，则其内切圆的面积与 的面
积比为（ ）
A． B． C． D．
6．正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比为( )
A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：3
7．在 中， ， ， 的内切圆半径为1，则 的周长为
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有
直角三角形，勾(短直角边)长为 步，股(长直角边)长为 步，问该直角三角形能容纳的圆
形(内切圆)直径是（ ）
A． 步 B． 步 C． 步 D． 步
知识点九、三角形内心的应用
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
10．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
11．如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC
的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I'的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
知识点十、三角形外接圆和内切圆综合
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（
）A．70° B．110° C．120° D．130°
14．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则____
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
15．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
16．已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（ ）
A．5 +5 B．12 ﹣5 C．5 ﹣5 D．10 ﹣10
知识点十一、圆的综合题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.分别以AC，BC为直径作半圆，面积分
别记为S，S，则S＋S 的值等于( )．
1 2 1 2
A．2π B．3π C．4π D．8π
18．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P
是直径MN上一动点．若MN=2 ，AB=1，则△PAB周长的最小值是（ ）A．2 +1 B． +1 C．2 D．3
19．如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是( )
A．∠OBA=∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．.AB=2BC D．∠OBA+∠BOC=90°
20．如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为 ，直线AB为⊙O的切线，B为切点，
则B点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
知识点七、用切线长定理求解或证明
21．如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ，则
=__________．22．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两
点，若∠APB＝40°，PA＝5，则下列结论：①PA＝PB＝5；②△PCD的周长为5；
③∠COD＝70°．正确的有______________个．
23．如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与
AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.
24．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，
并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是_____．
知识点八、直角三角形周长、面积和内切圆半径关系
25．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC
＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是______
（分母不含根号）．
27．我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，
股十五步，勾中容圆，问径几何?”．意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8
步和15步，则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是__________步．
28．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一
个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记
为S，S，S，…，S ，则S+S +S +…+S =______．
1 2 3 10 1 2 3 10
知识点九、三角形内心的应用
29．如图，已知 的半径为2， 内接于 ， ，则
__________．
30．如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=_____．31．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、
BE、CE，若∠BEC =127°，则∠CBD的度数为_______度．
32．如图，点I为△ABC的内心，且∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BIC＝____.
知识点十、三角形外接圆和内切圆综合
33．△ABC为半径为5的⊙O的内接三角形，若弦BC=8，AB=AC，则点A到BC的距离为
_____．
34．直角三角形的两条直角边长为 和 ，则它的外接圆的半径 ________，内切圆半
径 ________．
35．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=________°．
36．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．AD与BC相交于点F，连结BE，DC，已知EF=2，CD=5，则AD=______________.
知识点十一、圆的综合题
37．如图，在△ABC中，∠ABC＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线
于点E，若点E在BD的垂直平分线上，则∠C的度数为_____．
38．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是
AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值
为_______．
39．如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边
AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
40．如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB＝45°，E、F分别是AC、BC
的中点，直线EF与⊙O交于点G、H．若⊙O的半径为2，则GE＋FH的最大值为
__________.三、解答题
知识点七、用切线长定理证明
41．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点
D，交BN于点C，
（1）求证：OD∥BE；
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．
知识点八、直角三角形周长、面积和内切圆半径关系42．如图，在 中， ， ， ．
的外接圆半径为______；
用直尺和圆规作出 的内切圆 保留作图痕迹，不写作法 ，并求出 的内
切圆半径．
知识点九、三角形内心的应用
43．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
知识点十、三角形外接圆和内切圆综合
44．如图,E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．(1)求证:ED=BD;
(2)若∠BAC=90°,△ABC的外接圆☉O的直径是6,求BD的长.
知识点十一、圆的综合题
45．如图，AB为半⊙O的直径，弦AC的延长线与过点B的切线交于点D，E为BD的中
点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为点F，AC＝5，CF＝3，求⊙O的半径．
参考答案
1．B
【分析】(1)根据切线长定理推出AP=BP,根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=59°,求出∠BAC∠BOC即可.
【详解】
解:(1) PA,PB是⊙O的切线,
AP=BP,
∠P=62°, ∠PAB= =59°,
AC是⊙O的直径,
∠PAC=90°,
∠BAC=90°-59°=31°，
∠BOC=2∠BAC=62°，
故选B.
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,切线长定理,切线的性质,圆周角定理等知识点的应
用,题型较好,综合性比较强,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.
2．C
【分析】根据切线长定理及半径相等得，△APB为等腰三角形，△AOB为等腰三角形，共
两个；
根据切线长定理和等腰三角形三线合一的性质，直角三角形有：△AOC，△AOP，
△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
【详解】
解：因为OA、OB为圆O的半径，所以OA＝OB，所以△AOB为等腰三角形，
根据切线长定理，PA＝PB，故△APB为等腰三角形，共两个，
根据切线长定理，PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，所以△PAC≌△PBC，
故AB⊥PE，根据切线的性质定理∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以直角三角形有：△AOC，△AOP，△APC，△OBC，△OBP，△CBP，共6个．
故选：C．
【点拨】此题综合考查了切线的性质和切线长定理及等腰三角形的判定，有利于培养同学
们良好的思维品质．
3．C
【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三
角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】解：如图， 是 的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是 的两条切线，
取 的中点 ，连接 ，
则
所以：以 为圆心， 为半径作圆，则 共圆，故③正确，
M是 外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是 个，
故选C．
【点拨】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是
解题的关键．4．D
【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出．
【详解】
由切线长定理可得：∠1＝∠2，PA＝PB，从而AB⊥OP．
因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．
综上可知：只有D是错误的．
故选D．
【点拨】此题考查切线长定理、等腰三角形的性质，解题关键是利用切线长定理、等腰三
角形的性质解答．
5．B
【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：
结合勾股定理可得： 再求解
直角三角形的面积 ，从而可得直角三角形的内切圆的面
积与直角三角形的面积之比．
【详解】
解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设
，
，而
故选B．
【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，
掌握以上知识是解题的关键．
6．A
【分析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，根据⊙O是等边三角形ABC的外接圆求出
∠OBC=30°，推出OB=2OD，求出 ，代入求出即可．
【详解】
解：连接OB，AO，延长AO交BC于D，如图所示：
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴AD⊥BC，∠OBC＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°，
∴OD＝ OB，OD为△ABC内切圆半径，
∵OB＝OA，
∴OD＝ OA，∴OD＝ AD，
∴正三角形的高、外接圆半径、内切圆半径之比＝AD：OB：OD═3：2：1；
故选A．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆、等边三角形的性质、直角三角形的性质，根据题意
画出图形，运用等边三角形和直角三角形的性质是解答此题的关键．
7．B
【分析】根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，即可求
得两条直角边的和，从而求得其周长．
【详解】
解：根据直角三角形的内切圆的半径公式，得 ，
．
则三角形的周长 ．
故选B．
【点拨】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟记直角三角形的内切圆的半径公式：直
角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解答此题的关键．
8．A
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.
【详解】
根据勾股定理，得
斜边为 ，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 （步），即直径为6步，
故答案为A.
【点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.
9．C
【解析】
分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣
（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可
得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
点拨：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆
内接四边形的性质．
10．B
【详解】
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
【点拨】本题考查内心的定义．
11．B
【详解】
试题解析：由图可得：OA=OB=OC= ，
所以点O在△ABC的外心上，故选B.
12．A
【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转
的性质得出对应点坐标．
【详解】
过点作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故I到BC的距离也为1，
则AE=1，
故IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则I（3，2），
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I'的坐标为：（﹣2，3），
故选A．
【点拨】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其
内心I的坐标是解题的关键.
13．B
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从
而得出∠DOE．
【详解】解：∵∠BAC=50°，∠ACB=60°，
∴∠B=180°-50°-60°=70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-70°=110°．
故选：B．
【点拨】此题重点考查学生对三角形的内切圆和切线长定理的理解，把握三角形内角和是
解题的关键.
14．C
【解析】
连接OA、OB，
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO，∵EF∥AB，
∴∠AOE＝∠OAB，
∠BOF＝∠ABO，
∴∠EAO＝∠AOE，
∠FBO＝∠BOF，
∴AE＝OE，OF＝BF，
∴EF＝AE＋BF，
故选C.
15．D
【分析】设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是 ．根据直角三角形的内切圆半
径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是 ；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是 ．所以它们的比为 = ．
【详解】
解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是 ；
∵内切圆半径是 ，
外接圆半径是 ，
∴所以它们的比为 = ．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆
的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的
一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．
16．C
【解析】
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边
长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的
长．
【详解】
解：∵等腰直角三角形外接圆半径为5，
∴此直角三角形的斜边长为10，两条直角边分别为5 ，∴它的内切圆半径为：R= (5 +5 −10)=5 −5；
故选C.
【点拨】要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：
r= (a+b-c)；(a、b为直角边，c为斜边).直角三角形的外接圆半径：R= c.
17．A
【解析】
根据半圆面积公式结合勾股定理，可知S+S 等于以斜边为直径的半圆面积．
1 2
解：∵ ， ，
∴ ．
故选A．
“点拨”本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边的平方是解答此题的关键．
18．D
【解析】
【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，
PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以
∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′= ，因为点B是弧AN的中点，所以
∠BON=30°，∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，再由勾股定理求出A′B=2，最后即可求解.
【详解】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′= ，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3
故选D．
【点拨】本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌
握是关键.
19．D
【解析】
试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，
则 ,
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴ ,
∴AE=BE=BC，
∴2BC>AB，故C错误；∵OA=OB=OC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在 上，而点O是圆心，
∴四边形OABC不内接于O，故B错误；
故D正确；
故选D.
点拨：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
20．D
【详解】
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵⊙O的半径为2，点A的坐标为 ，即OC=2.
∴AC是圆的切线.
∵OA=4，OC=2，
∴∠AOC=60°.
又∵直线AB为⊙O的切线，
∴∠AOB=∠AOC=60°.
∴∠BOD=180°－∠AOB-∠AOC=60°.又∵OB=2，∴OD=1，BD= ，即B点的坐标为 .故选D.
21．65°
【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即
可求出结论．
【详解】
解：∵ 是 的切线，
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB= （180°－∠A）=65°
故答案为：65°．
【点拨】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是
解决此题的关键．
22．2
【分析】根据切线长定理，可判断①正确；将 的周长转化为 ，可判断②
错误；连接 、 、 ，求出 ，再由 ，可判断③正确．
【详解】
解： 、 是 的切线，
，故①正确；
、 、 是 的切线，
， ，
的周长 ，故②错
误；
连接 、 、 ，，
，故③正确．
综上可得①③正确，共2个．
故选： ．
【点拨】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟悉相关性质是解答本题的关键．
23．8
【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,
再利用等量代换即可解题.
【详解】
解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,
如下图,连接各切点,有切线长定理易得,
BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,
∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,
∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,
又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm
故答案是8
【点拨】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换
的方法是解题关键.
24．3 cm．【分析】连接OA，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得
OB，从而得出光盘的直径．
【详解】
如图，作OB⊥AB，连接OA，
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝ ∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得 3 cm，
∴光盘的半径是3 cm．
故答案为：3 cm．
【点拨】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函
数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
25．4
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形
AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】
∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S =r²，
四边形AEOF
连接AO，BO，CO，
∴S =S +S +S ，
△ABC △AOB △AOC △BOC
∴ ，
∴r=2，
∴S =r²=4，
四边形AEOF
【点拨】本题考查三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，
正确把握相关知识是解题的关键.
26．
【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，
而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．
【详解】
解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=CE=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴AB= ，∴BE=BF=2-r，AF=AD=4-r，
∴4-r+2-r= ，
∴r= ．
∴△ABC的内切圆的半径为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线
长定理和勾股定理是解题的关键．
27．6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确
定出内切圆半径，得到直径．
【详解】
根据勾股定理得：斜边＝ ＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝ ＝3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点拨】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，
斜边为c，其内切圆半径r＝ 是解题的关键．
28．π.
【详解】图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E. F,则∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECF为矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF为正方形
设圆O的半径为r,
则OE=OF=r,
AD=AE=3−r,
BD=4−r
∴3−r+4−r=5,r= =1
∴S=π×12=π
1
图2,由S△ABC= ×3×4= ×5×CD
∴CD=
由勾股定理得：AD=
,BD=5− = ，
由(1)得：⊙O的半径= ,
⊙E的半径= ，
∴S+S=π×( )2+π×( )2=π.
1 2
图3,由S△CDB= × × = ×4×MD
∴MD= ，
由勾股定理得：CM= ,
MB=4− = ，
由(1)得：⊙O的半径= ,
⊙E的半径= ，
∴⊙F的半径= ，∴S1+S2+S3=π×( )2+π×( )2+π×( )2=π
29．
【详解】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB
的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2 ，
故答案为2 ．
点拨：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用数形结合的思想解答．
30．1．
【解析】
【分析】先根据已知条件得出△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算出
△ABC的面积，再连接AO,BO,CO，S =S +S +S ，设内切圆半径为r，再根据
△ABC △AOB △BOC △AOC
面积公式计算即可得出结论.
【详解】
解：∵AB=5，AC=4，BC=3，32+42=52，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为直角三角形,∴S = ×AC×BC= ×4×3=6，
△ABC
设△ABC的内切圆圆心为O，连接AO,BO,CO，
∴S =S +S +S ，
△ABC △AOB △BOC △AOC
设内切圆半径为r，则 ABr+ BCr+ ACr=6，
5r+ 3r+ 4r=6，
解得r=1.
故答案为1.
【点拨】本题考查了三角形的内切圆半径，解题的关键是熟练的掌握圆的知识点.
31．37
【详解】
分析：根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠ABC+∠ACB=106°, ∠BAC=74°进
而求得∠DAC，再由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD=∠DAC=37°．
详解：在△BCE中, ∠BEC =127°，
∴∠EBC+∠ECB=180°−127°=53°，
∵点E是△ABC的内心，
∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°,
∴∠BAC=74°，
∴∠DAC= ∠BAC =37°,
∴∠CBD=∠DAC=37°
故答案为37°
点拨：此题考查三角形内心定义、三角形内角和性质和同弧所对的圆周角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键,.
32．125°
【解析】
【分析】根据内心的性质得到IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，则∠IBC= ∠ABC=20°，
∠ICB = ∠ACB=35°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BIC的度数．
【详解】
∵点I为△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC= ∠ABC= ×40 =20 , ∠ICB = ∠ACB = ×70 =35 ，
∴∠BIC =180 −∠IBC −∠ICB =125 .
故答案为125 .
【点拨】本题考查三角形的内切圆与内心.
33．8或2
【分析】分两种情况考虑：当三角形ABC为锐角三角形时，过点A作AH垂直于BC，根
据题意得到AH过圆心O，连接OB，在直角三角形OBH中，由OB与BH长，利用勾股定
理求出OH的长，进而可求出AH的长；当三角形ABC为钝角三角形时，同理求出AH的
长即可；
【详解】
作AH⊥BC于H，连结OB，如图，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH= BC=4，AH必过圆心，即点O在AH上，
在Rt△OBH中，OB=5，BH=4，
∴OH= =3，
当点O在△ABC内部，如图1，AH=AO+OH=5+3=8，
当点O在△ABC内部，如图2，AH=AO﹣OH=5﹣3=2，
∴综上所述，点A到BC的距离为8或2，故答案为8或2．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理及其推论，熟练掌握三角形的外接
圆的性质和垂径定理是解答关键，还要注意分类讨论.
34．2.5 1
【分析】用勾股定理求出斜边.利用直角三角形的斜边是外接圆直径，它的内切圆半径等于
两直角边的和与斜边差的一半可得到其外接圆半径和内切圆半径.
【详解】
直角三角形的两条直角边长为 和 ，则其斜边为 ，
所以它的外接圆半径 ，内切圆半径 .
故答案为：（1） ；（2） .
【点拨】注意：直角三角形外接圆半径是其斜边的一半，内切圆半径是两直角边的和与斜
边的差的一半.
35．125
【详解】
试题分析：内切圆的圆心是角平分线的交点，则∠OBC= ∠ABC=35°，∠OCB=
∠ACB=20°，则∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(35°+20°)=125°．
36．
【分析】根据三角形的内心的定义得到BD=CD，△BDF∽△ADB，根据相似三角形的性质
列出比例式，代入计算即可．
【详解】
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∴ ，
∴BD=CD=5，
由圆周角定理得，∠CAD=∠CBD，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠CAD，
∴∠DBE=∠DEB．
∴DE=DB=5，
∴DF=DE-EF=3，
∵∠DBC=∠BAD，∠BDF=∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴ ，
∴AD= ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是三角形的内接圆与内心、外接圆与外心，掌握三角形的内心的定义、
圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
37．33°
【详解】
过点E作EF⊥BD于点F，连接AD，
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴ = ,
直线EF必过圆心，EF AD，∵
∴
∴
∴
∴
故答案为 .
【点拨】属于圆的综合题，考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，垂径定理，比较基
础.
38．10.5
【详解】
如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°．
∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形．∴OA=OB=AB=7．
∵E、F是AC、BC的中点，∴EF= =3.5．
∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，∴要使GE+FH最大，即要GH最大．
∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5．
39． a．【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为 的圆心，H为 的圆心，连接EF，
GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG= a，根据四边形
EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE= a，即可得到EF=
a．
【详解】
如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为 的圆心，同理可得，H为 的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a-x，CE=a，
Rt△CEG中，（2a-x）2+a2=x2，
解得x= a，
∴GE=FG= a，
同理可得，EH=FH= a，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO= BC=a，∴Rt△OEG中，OE= ，
∴EF= a，
故答案为 a．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两
个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建
立联系．
40．4－
【分析】接OA，OB，根据圆周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．
由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出EF= AB= 为定值，
则GE+FH=GH-EF=GH- ，所以当GH取最大值时，GE+FH有最大值．而直径是圆中最
长的弦，故当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值，问题得解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2 ，∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF= AB= ，
∴GE+FH=GH-EF，
当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
GE+FH=GH-EF=4-
故答案为4- ．
【点拨】本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的
位置是解题的关键．
41．（1）证明见解析（2）10
【解析】
解：（1）证明：连接OE，
∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，
∴∠ADO=∠EDO， ∠DAO=∠DEO=90°．
∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE．
∵∠ABE= ∠AOE，∴∠AOD=∠ABE．
∴OD∥BE．
（2）由（1）得：∠AOD=∠EOD= ∠AOE，
同理，有：∠BOC=∠EOC= ∠BOE．∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°．∴∠EOD+∠EOC=90°．
∴△DOC是直角三角形．
∵OD=6cm，OC=8cm，
∴ （cm） ．
（1）首先连接OE，由AM和BN是它的两条切线，易得∠ADO=∠EDO，
∠DAO=∠DEO=90°，由切线长定理，可得∠AOD=∠EOD= ∠AOE，∠AOD=∠ABE，根
据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE．
（2）由（1），易证得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的长．
42．（1）2.5；（2）该三角形内切圆的半径长是1．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答
案．
（2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面
积公式求出内切圆半径即可．
【详解】
解： 在 中， ， ， ，由勾股定理得：
，
即三角形的外接圆的半径长是 ，
故答案为 ．
如图所示： 即为所求连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设内切圆的半径长为r，则 ，
由
得：
解得： ，
即该三角形内切圆的半径长是1．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生
运用定理进行计算的能力
43．（1）35°；（2）证明见解析.
【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD= ，进而得出
∠CBD=∠CAD=35°；
(2) 由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得
∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.
【详解】
（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD= ，
∵ ，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
【点拨】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意
数形结合思想的应用.
44．（1）证明见解析；（2）3√2．
【解析】
试题分析：（1）根据点E是△ABC的内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出
∠BED=∠EBD，即可得出答案；
（2）求出BC为△ABC的直径，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．
试题解析：（1）∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD，
∴ED=BD；
（2）连接CD，
∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵⊙O的直径=6，
∴BC=6，∵E为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
√2
∴BD=DC= BC=3√2．
2
考点：1.三角形的内切圆与内心；2. .三角形的外接圆与外心.
45．（1）证明见解析（2）
【分析】(1) 连接CO、EO、BC,可证的△EBO≌△ECO，可得∠ECO=∠EBO=90°，所以CE
为⊙O的切线；
（2）设：BF=x，利用勾股定理BC2+AC2=AB2可求出x的值，可得圆的半径.
【详解】
(1)连接CO、EO、BC
∵AB是直径
∴∠BCA=∠BCD=90°
∵Rt△BCD中E为BD中点
∴CE=BE=ED
则△EBO≌△ECO(SSS)
∠ECO=∠EBO=90°
∵点C在圆上
∴CE为⊙O的切线
（2）由题意得：AF=4
设：BF=x
利用勾股定理BC2=x2+32
BC2+AC2=AB2x2+32+52=(x+4)2
解得：
则
则⊙O的半径为
【点拨】本题主要考查圆的切线的证明及圆中利用勾股定理求圆的半径，需注意计算的准
确性.
