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专题 3.3 函数的单调性、极值与最值【八大题型】
【新高考专用】
1、函数的单调性、极值与最值
导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高考常考的热点内容，从近几年的
高考情况来看，高考中常涉及的问题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的
根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、
填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题及其解题策略】
1．确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2．含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3．根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点2 函数的极值问题及其解题策略】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左右两侧值的符号；
0
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列
方程组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【知识点3 函数的最值问题及其解题策略】
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含参函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，
从而得到函数f(x)的最值.
【题型1 利用导数判断单调性、求单调区间】
【例1】（2024·海南海口·模拟预测）已知函数f (x)=x−lnx，则f (x)的单调递减区间为（ ）
A．(−∞,1) B．(0,1)C．(1,+∞) D．(0,+∞)
【变式1-1】（2024·北京东城·二模）下列函数中，在区间(1,+∞)上单调递减的是（ ）
A．f (x)=√x B．f (x)=e−x
1
C．f (x)=x+ D．f (x)=lnx
x
【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）函数f (x)=ln(2x−1)−x2+x的单调递增区间是（ ）
(1 )
A．(0,1) B． ,1
2
C．(1−√2 1+√2) D．(1 1+√2)
, ,
2 2 2 2
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在(0,+∞)上单调递减的是（ ）
A． B． 2x−2−x
f (x)=3x+2−x f (x)=
2x+2−x
C．f (x)=x−x3 D．f (x)=log
1
(x+√x2+1)
2
【题型2 由函数的单调性求参数】
【例2】（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，
a>0 a≠1 f(x)=a(lnx−ax−1 ) (1,+∞)
则a的取值范围是（ ）
1 1
A． (0, ] B． [ ,1) C．(1,e] D．[e,+∞)
e e
【变式2-1】（2024·云南大理·模拟预测）若函数f (x)=ax2+cosx−1在(0,+∞)为增函数，则实数a的取
值范围为（ ）
[1 ) (1 )
A． ,+∞ B． ,+∞ C．[1,+∞) D．(1,+∞)
2 2
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 且 在区间
f(x)=log (x3−ax2+x−2a)(a>0 a≠1) (1,+∞)
a
上单调递减，则a的取值范围是（ ）
( 2] [2 )
A． 0, B． ,1 C．(1,2] D．[2,+∞)
3 3
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=eax−lnx(a>0)在[1,+∞)上为单调递增函数，则a的值可
以为（ ）1 1 1
A． B． C． D．1
8 4 2
【题型3 导数中函数单调性的应用】
1
1 3 −
【例3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知a=sin ,b=ln ,c=3 2，则（ ）
3 2
A．cf (2x−1)的x的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1) B．(−∞,1) C．(−1,+∞) D．(1,+∞)
【变式3-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(−∞,0]时，
31 (31) 1 ( 1) ( 1) ( 1)
f (x)+xf′(x)<0，若a= ⋅f ，b=(cos )f cos ，c= 4sin f 4sin ，则a,b,c的大小
32 32 4 4 4 4
关系是（ ）
A．c>a>b B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a
【变式3-3】（2024·广东佛山·一模）设f′(x)是函数f (x)的导数，f (1−x)+f (1+x)=0，f (2)=0，当x>1
时，(x−1)f′(x)−f (x)>0，则使得f (x)<0成立的x的取值范围是（ ）
A．(0,1)∪(1,2) B．(0,1)∪(2,+∞) C．(−∞,0)∪(1,2) D．(−∞,0)∪(2,+∞)
【题型4 利用导数求函数的极值】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）若函数 在 处取得极大值，则 的极小值为
f(x)=(x2−ax−2)ex x=−2 f(x)
（ ）
A．−6e2 B．−4e C．−2e2 D．−e
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为 的导函数，
f(x)=4xex−e2x−2ex f′ (x) f(x)
f′ (x)，则（ ）
g(x)=
ex
A．g(x)的极大值为4e2−2，无极小值
B．g(x)的极小值为4e2−2，无极大值
C．g(x)的极大值为4ln2−2，无极小值
D．g(x)的极小值为4ln2−2，无极大值【变式4-2】（2024·福建泉州·一模）已知 ，是函数 两个极值点，则（ ）
x ,x f(x)=(x−1) 3−x
1 2
A． B． C． D．
x +x =−2 x +x =1 f (x )+f (x )=−2 f (x )+f (x )=2
1 2 1 2 1 2 1 2
【变式4-3】（2024·四川内江·一模）已知a为常数，函数f (x)=xex−ae2x有两个极值点x 、x ，且x − B．f (x )<0，f (x )<−
1 2 2 1 2 2
1 1
C．f (x )>0，f (x )>− D．f (x )>0，f (x )<−
1 2 2 1 2 2
【题型5 根据极值（点）求参数】
1
【例5】（2024·陕西宝鸡·三模）若函数f(x)=− ax2+4x−2lnx有两个不同的极值点，则实数a的取值
2
范围是（ ）
A．(0,2) B．(0,1) C．(−∞,1) D．(2,+∞)
【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）已知函数 在 处取得极大值，则 的值是（ ）
f (x)=x(x−a) 2 x=1 a
A．1 B．2 C．3 D．4
3
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）若函数f (x)=alnx+ −x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范
x
围为（ ）
A． B．
(0,2√3) (−∞,−2√3)∪(2√3,+∞)
C． D．
(−∞,−2√3) (2√3,+∞)
4 b
【变式5-3】（2024·广东佛山·二模）若函数f (x)=alnx+ + （a≠0）既有极大值也有极小值，则下列
x x2
结论一定正确的是（ ）
A．a<0 B．b<0 C．ab>−1 D．a+b>0
【题型6 利用导数求函数的最值】
【例6】（2024·福建·三模）函数f (x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)为f (x)的导函数，满足
3
2(f (x)+x2)=x(f′(x)+x)，f (1)=− ，则f (x)的最小值为（ ）
2e2
A．−e B．e C．−e2 D．−
2
【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 ，若 ，则
f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x f (x )=g(x ) x x
1 2 1 2
的最小值为（ ）
1 √e
A．−e B．− C．−1 D．−
e 2
【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数 ．
f(x)=ax2+x−lnx,a∈R
(1)若a=1，求函数y=f(x)的最小值；
(2)若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数，求实数a的取值范围．
【变式6-3】（2024·吉林·模拟预测）已知函数f (x)=e2x+ex−x.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
y=f (x) (0,f (0))
(2)当x∈[−1,0]时，求函数f (x)的最大值与最小值.
【题型7 已知函数最值求参数】
【例7】（2024·新疆·模拟预测）已知函数f (x)=¿存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(−∞, −e2] (−e2, +∞) (−∞, e−2] (e−2, +∞)
a
【变式7-1】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数f (x)=x3−ax2+3x在R上单调递增，且g(x)=x+
2x
在区间(1,2]上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[3,4) B．(2,3] C．(3,4] D．[2,3)
【变式7-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知实数a>0，函数f (x)=ex−ax．
(1)若f (x)存在零点，求实数a的取值范围；(2)当函数f (x)=ex−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值时，求a．
【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）已知函数f (x)=lnx−a(x−1)，其中a∈R
(1)若a=1，求函数f (x)的增区间；
(2)若f (x)在(0,1]上的最大值为0．求a的取值范围．
【题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例8】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数f (x)=x3−ax2−2x，下列命题中，是假命题的为（ ）
5
A．若f (x)在(1,2)上单调递减，则a≥
2
3
B．若x=1是函数f (x)的极值点，则f (x)在x∈[0,2]上的最小值为−
2
1
C．若x=1是函数f (x)的极值点，则a=
2
D．若x2lnx≥f (x)在x∈[1,2]上恒成立，则a≥−1
tanx
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinx+ ，则下列结论正确的是（ ）
tan2x+1
π π
( )
A．f (x)在区间 − , 上单调递减
3 3
π
( )
B．f (x)在区间 0, 上有极小值
2
π π
( )
C．设g(x)=f (x)−2在区间 − , 上的最大值为M，最小值为m，则M+m=4
2 2
π π
( )
D．f (x)在区间 − , 内有且只有一个零点
2 2
x2+x+a
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知x=−1是函数f (x)= 的极小值点．
ex
(1)求f (x)的单调性；(2)讨论f (x)在区间[m,m+√5]的最大值．
【变式8-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数f (x)=(4x+a)ln(x+1)，g(x)=x2+bx.
(1)当a=4时，求f (x)的最小值；
(2)若y=f (x)与y=g(x)在原点处的切线重合，且函数ℎ(x)=f (x)−g(x)有且仅有三个极值点，求实数a的
取值范围.
1．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=aex−lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．e2 B．e C．e−1 D．e−2
2．（2024·上海·高考真题）定义集合 ，在使得
M={x ∣x ∈R,x∈(−∞,x ),f(x)0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 D．ac<0
4．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)= y2f (x)+x2f (y)，则（ ）．
A．f (0)=0 B．f (1)=0
C．f (x)是偶函数 D．x=0为f (x)的极小值点
5．（2024·广东江苏·高考真题）设函数 ，则（ ）
f(x)=(x−1) 2 (x−4)A． 是 的极小值点 B．当 时，
x=3 f(x) 0f(x)
6．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范
a∈(0,1) f (x)=ax+(1+a) x (0,+∞)
围是 .
7．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
f(x)=x−x3eax+b y=f(x) (1,f(1))
y=−x+1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
g(x)=f′ (x) g(x)
(3)求f(x)的极值点个数．
(1 )
8．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)= +a ln(1+x)．
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
a=−1 y=f (x) (1,f (1))
(2)若函数f (x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围．
sinx π
9．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=ax− ,x∈ ( 0, ) ．
cos2x 2
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sinx<0，求a的取值范围．(1 )
10．（2023·全国·高考真题）已知函数f(x)= +a ln(1+x).
x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=−1 y=f (x) (1,f (1))
(1)
(2)是否存在a，b，使得曲线y=f 关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
x
(3)若f (x)在(0,+∞)存在极值，求a的取值范围.
11．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
f (x)=a(ex+a)−x
(1)讨论f (x)的单调性；
3
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ ．
2
12．（2024·全国·高考真题）已知函数f (x)=a(x−1)−lnx+1．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f (x)
