专题 3.2 导数的概念及其意义与运算
【新高考专用】
题型一 导数的定义及其应用
f (x −3Δx)−f (x )
1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数f (x)在x=x 处可导，且lim 0 0 =3，
0
2Δx
Δx→0
则f′ (x )=（ ）
0
3
A．−3 B．−2 C．− D．2
2
【解题思路】利用导数的定义求解.
f (x −3Δx)−f (x )
【解答过程】解：因为lim 0 0 =3，
2Δx
Δx→0
所以− 3 lim f (x 0 −3Δx)−f (x 0 ) =3，即− 3 f′ (x )=3，
2 −3Δx 2 0
Δx→0
所以f′ (x )=−2，
0
故选：B.
2．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的
绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.
假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可.
【解答过程】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，
所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.
故选：C.
3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系s=100t−5t2(0<t<20)，则当t=2时，
物体的瞬时速度为 80 ．
【解题思路】由瞬时变化速度计算公式可求当t=2时，物体的瞬时速度.
Δs 100(t+Δt)−5(t+Δt) 2−(100t−5t2)
【解答过程】因为 = =100−10t−5Δt.
Δt Δt
lim Δs
所以该物体t=2时，物体的瞬时速度为Δt→0 =lim (100−10t−5Δt)=80.
Δt
Δt→0
故答案为：80.
4．（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim ¿”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①
lim sinx 1 lim sinxcosx
x→0 =1；②lim(1+x)x=e，则依据两个公式，类比求x→0 = 1 ；
x x→0 x
1
lim(1+sin2x)sinxcosx= e2 .
x→0
【解题思路】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.
lim sinx 1
【解答过程】由极限的定义知：①x→0 =1；②lim(1+x)x=e，
x x→0sinxcosx sin2x sin2x sint
因为 = ，t=sin2x，可得 = ，
x 2x 2x t
lim sinxcosx lim sint
则x→0 = t→0 =1；
x t
1 2 2 2
又因为 (1+sin2x)sinxcosx=(1+sin2x)sin2x，令t=sin2x，可得 (1+sin2x)sin2x=(1+t)t，
1 2 1
所以lim(1+sin2x)sinxcosx=lim(1+t)t =lim[(1+t)t ] 2=e2.
x→0 t→0 t→0
故答案为：1；e2.
题型二 求（复合）函数的导数
5．（2024·福建漳州·三模）已知函数f (x)=lnx+x,g(x)是函数f (2x+1)的导函数，则g(0)=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】计算f (2x+1)=ln(2x+1)+2x+1的导数，得到g(x)，代值即可.
【解答过程】因为f (x)=lnx+x(x>0)，
所以f (2x+1)=ln(2x+1)+2x+1，
2
即f′(2x+1)= +2，
2x+1
2
所以g(x)= +2，
2x+1
所以g(0)=4.
故选：D.
6．（2024·新疆喀什·二模）已知函数f (x),g(x)的定义域均为R,g′(x)为g(x)的导函数，且f (x)+g′(x)=2，
f (x)−g′(2−x)=2，若g(x)为偶函数，则f (2023)+g′(2024)+g′(2025)=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【解题思路】由题意分析可得g′ (x)=−g′ (2−x)，再推导得g′ (x)的奇偶性和周期性，利用特殊值求出
g′ (0),g′ (1)，进而分析得到，计算可得答案.
【解答过程】由题意f (x)+g′(x)=2，f (x)−g′(2−x)=2可知，g′ (x)=−g′ (2−x)①，
令x=1可得，g′ (1)=−g′ (1)，所以g′ (1)=0.又因为g(x)为偶函数，所以g(−x)=g(x)，两边同时求导可得，−g′ (−x)=g′ (x)②
令x=0可得，−g′ (0)=g′ (0)，所以g′ (0)=0，
联立①②可得，g′ (−x)=g′ (2−x)，化简可得g′ (x)=g′ (x+2)，所以g′ (x)是周期为2的函数，所以
g′ (2025)=g′ (2023)=g′ (1)=0，g′ (2024)=g′ (0)=0，
又因为f (x)+g′(x)=2，所以f(2023)+g′ (2023)=2，所以f(2023)=2，
所以f (2023)+g′(2024)+g′(2025)=2.
故选：A.
7．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数f (x)=x3f′(1)−4lnx+2，则f (2)= 18−4ln2 .
【解题思路】左右两侧同时求导得到f′(1)，求出原函数后再求f (2)即可.
4
【解答过程】由题意知f′(x)=3x2f′(1)− ，令x=1，
x
得f′(1)=3f′(1)−4，解得f′(1)=2，
所以f (x)=2x3−4lnx+2，
所以f (2)=2×23−4ln2+2=18−4ln2.
故答案为：18−4ln2.
8．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)的导函数为f′(x)=x，若g(x)=f (sinx)，g′(x)为g(x)的导函数，
则g′(π)
=
1
.
4 2
π
【解题思路】求出复合函数的导函数，代入 求值.
4
【解答过程】g'(x)=(sinx) 'f'(sinx)=cosxsinx，
2
所以g′(π)
=cos
π
sin
π
=
(√2)
=
1
.
4 4 4 2 2
1
故答案为： .
2
题型三 求曲线切线的斜率（倾斜角）9．（2024·河北唐山·模拟预测）已知曲线f (x)=2xcosx在x=0处的切线为l，则l的斜率为（ ）
A．ln2 B．−ln2 C．1 D．−1
【解题思路】由导数的几何意义结合导数运算即可求解.
【解答过程】对f (x)=2xcosx求导得，f′(x)=(ln2)×2x ⋅cosx−2x ⋅sinx，由题意曲线f (x)=2xcosx
在x=0处的切线l的斜率为k =f'(0)=(ln2)×20 ⋅cos0−20 ⋅sin0=ln2.
l
故选：A.
1
10．（23-24高二下·湖北·期中）点P在曲线y=2x3−√3x+ 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α
4
的范围是（ ）
A． [2π ,π ) B． [ 0, π ) ∪ [2π ,π) C．[0,π) D．
3 2 3
[
−
π
,0
)
∪
[π ,π)
2 2
【解题思路】求导得y′=6x2−√3≥−√3，即k=tanα≥−√3，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求
解即可.
1
【解答过程】解：由y=2x3−√3x+ ，可得y′=6x2−√3，
4
所以y∈[−√3,+∞)，即k=tanα∈[−√3,+∞)，
当tanα∈[−√3,0)时，α∈
[2π ,π)
，当tanα∈[0,+∞)时，α∈
[
0,
π )
，
3 2
所以角α的范围是
[
0,
π )
∪
[2π ,π)
.
2 3
故选：B.
2 π
11．（23-24高三上·陕西渭南·开学考试）函数y= √x3+1在x=3处的切线的倾斜角为 .
3 3
【解题思路】利用导数求得函数在x=3处的切线的倾斜角.
3 1
2 2 2 3
【解答过程】y= √x3+1= ⋅x2+1,y′= ⋅ ⋅x2=√x，
3 3 3 2
π π
y′| =√3=tan ，所以函数在x=3处的切线的倾斜角为 .
x=3 3 3
π
故答案为： .
3(π (π))
12．（23-24高二下·广东·阶段练习）函数f (x)=3x+2sinx的图象在点 ,f 处的切线斜率为 4 ．
3 3
【解题思路】利用导数的几何意义可得切线斜率.
【解答过程】因为f (x)=3x+2sinx，
f′(x)=3+2cosx，
所以k=f′(π)
=3+2cos
π
=4，
3 3
故答案为：4.
题型四 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程
13．（2024·陕西西安·三模）已知函数f (x)=¿则f (x)在点(5,f (5))处的切线方程为（ ）
A．4x−y−28=0 B．4x+ y−12=0
C．x−4 y−12=0 D．x+4 y−22=0
【解题思路】根据分段函数结合导函数求出f′(5)，再根据点斜式得出直线方程.
【解答过程】当x∈(0,2]时，f′(x)=2x−3，
当x∈(4,6]时，f (x)=2f (x−2)=4f (x−4)，则f′(x)=4f′(x−4)，
所以f (5)=4f (1)=−8，f′(5)=4f′(1)=−4．
则所求的切线方程为y−(−8)=−4(x−5)，即4x+ y−12=0．
故选：B.
14．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）函数f (x)的定义域为R，f (3x−1)为奇函数，且f (x−1)的图像
关于x=1对称．若曲线f (x)在x=1处的切线斜率为2，则曲线f (x)在x=2023处的切线方程为（ ）
A．y=−2x+4046 B．y=2x+4046
C．y=2x−4046 D．y=−2x−4046
【解题思路】根据题意得函数f (x)的图像关于点(−1,0)对称，关于x=0对称，进而得函数f (x)是周期为4
的周期函数，再结合题意，根据周期性与对称性求解即可.
【解答过程】解：因为f (3x−1)为奇函数，即f (−3x−1)=−f (3x−1)，
所以，函数f (x)的图像关于点(−1,0)对称，即f (−x−2)=−f (x)，
因为f (x−1)的图像关于x=1对称，
所以f (x)的图像关于x=0对称，即f (x)=f (−x)，
所以，f (−x−2)=f (x+2)=−f (x)，
所以f (x+4)=−f (x+2)=f (x)，即函数f (x)是周期为4的周期函数，所以曲线f (x)在x=2023处的切线斜率等于曲线f (x)在x=−1处的切线斜率，
因为曲线f (x)在x=1处的切线斜率为2，图像关于x=0对称，
所以，曲线f (x)在x=−1处的切线斜率为−2，
因为f (1)=f (−1)，f (−1)=−f (−1)，
所以f (1)=f (−1)=0，
所以f (2023)=f (−1)=0，
所以曲线f (x)在x=2023处的切线方程为y−0=−2(x−2023)，即y=−2x+4046.
故选：A.
15．（2024·四川·模拟预测）函数f (x)=x3−2x2的图象在点(2,f (2))处的切线方程为 4x−y−8=0 ．
【解题思路】根据导数的几何意义求解即可.
【解答过程】f′(x)=3x2−4x，f′(2)=3×22−4×2=4，f (2)=23−2×22=0，
故函数f (x)=x3−2x2的图象在点(2,f (2))处的切线方程为y−0=4(x−2)，即4x−y−8=0.
故答案为：4x−y−8=0.
1
16．（2024·全国·模拟预测）过原点与曲线f (x)=¿相切的一条切线的方程为 y=2x或y=−2x或y= x
e
( 写出其中一条即可 ) .
【解题思路】根据曲线y=x2+1,x<2表示抛物线的一部分，设其切线方程为y=kx，利用判别式法求解；
设f (x)=lnx,x≥2的切线的切点为P(x ,y )，利用导数法求解.
0 0
【解答过程】解：设曲线y=x2+1,x<2表示抛物线的一部分，
设其切线方程为y=kx，代入y=x2+1，
得x2−kx+1=0.由Δ=k2−4=0，得k=±2.
当k=2时，x=1，符合题意，
当k=−2时，x=−1，均符合题意，
所以切线方程y=±2x.
设f (x)=lnx,x≥2的切线的切点为P(x ,y ).
0 0
1 1
由f′(x)= ，得f′ (x )= ，y =lnx ,x ≥2，
x 0 x 0 0 0
0
1
得切线方程为y= x
.
x
0将P(x ,y )的坐标代入切线方程，得y =1，
0 0 0
1
所以x =e，所以切线方程为y= x.
0 e
1
故答案为：y=2x或y=−2x或y= x(写出其中一条即可).
e
题型五 与切线有关的参数问题
17．（2024·陕西·模拟预测）函数y=ex+m−n的图象与直线y=ex相切，则以下错误的是（ ）
1
A．若m=1，则n=e B．若n=1，则m=
e
C．n=m+e D．n=em
【解题思路】根据切点和斜率列方程，从而判断出正确答案.
【解答过程】设f (x)=ex+m−n与直线y=ex相切于点(t,et+m−n)，
f′(x)=ex+m,f′(t)=et+m，则et+m=e,t+m=1,t=1−m①，
所以切点为(t,e−n)，而斜率为e，
所以切线方程为y−(e−n)=e(x−t),y=ex−et+e−n，
n
则−et+e−n=0,et=e−n,t=1− ②.
e
n n
由①②得1−m=1− ,m= ，n=em，C选项错误，D选项正确.
e e
所以当m=1时，n=e，A选项正确.
1
当n=1时，m= ，B选项正确.
e
故选：C.
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)=(x+1)ex，过点P(m,0)作曲线y=f (x)的两条切线，切点分别
为A(a,f (a))和B(b,f (b))，若a+b=0，则实数m=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】本题考查导数的计算及几何意义．
【解答过程】由题意知f′(x)=(x+2)ex，
因为PA与曲线y=f (x)相切，(a+1)ea
所以(a+2)ea= ，整理得a2+(1−m)a−2m−1=0，
a−m
同理b2+(1−m)b−2m−1=0，
则a，b是方程x2+(1−m)x−2m−1=0的两个实数根，
所以a+b=m−1=0，
所以m=1．
故选：B.
1 1
19．（2024·广东佛山·一模）若直线y=kx与曲线y=lnx+ 相切，则k= ．
2x 2
1
【解题思路】设出切点坐标P(x ,y )，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得k= .
0 0 2
1
【解答过程】设直线y=kx与曲线y=lnx+ 相切于点P(x ,y )，
2x 0 0
1 1 1 1 2x −1
求导可得y′= − ，因此切线斜率k= − = 0 ，
x 2x2 x 2x2 2x2
0 0 0
1
lnx + −0
又切线过原点O(0,0)，可得 0 2x 2x −1 ，化简可得x lnx −x +1=0，
k = 0 = 0 0 0 0
PO x −0 2x2
0 0
令g(x)=xlnx−x+1，则g′(x)=lnx+1−1=lnx，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，g(1)=0，即可得g(x)=xlnx−x+1≥0，
2x −1 1
因此可得x =1，即可得k= 0 = .
0 2x2 2
0
1
故答案为： .
2
1
20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知0<a<1，若曲线y=axlna与直线y=ex相切，则a= ．
e
【解题思路】设出切点，利用切点在曲线上也在直线上和切点处的导数等于斜率列方程求解。
【解答过程】设f (x)=axlna，与直线y=ex相切的切点为(x ,f (x ))，
0 0
则f′(x)=ax(lna) 2，故y=f (x)在点(x ,f (x ))处的切线方程可写为y=ax 0(lna) 2 ⋅(x−x )+ax 0lna，
0 0 0
即y=ax 0(lna) 2x−x ax 0(lna) 2+ax 0lna，
0
1
若切线为y=ex，则−x ax 0(lna) 2+ax 0lna=0且e=ax 0(lna) 2，得x = ，
0 0 lna
1 1 1 1
所以 alna(lna) 2=e，设 alna=m 则 lnalna=lnm ，
lna
lna=lnm=1所以m=e，
1
所以e(lna) 2=e，(lna) 2=1所以又因为0<a<1，所以lna=−1解得a= ．
e
1
故答案为： .
e
题型六 切线的条数问题
21．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点(2,0)可作曲线f (x)=x3−3x−2的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可.
【解答过程】由f (x)=x3−3x−2⇒f′(x)=3x2−3，
当点(2,0)是切点时，此时切线的斜率为f′(2)=3×22−3=9，此时有一条切线；
当点(2,0)是不切点时，设切点为(x ,y )，则切线的斜率为f′ (x )=3x2−3，
0 0 0 0
切线方程为：y−(x3−3x −2)=(3x2−3)(x−x )，该切线过点(2,0)，
0 0 0 0
于是有0−(x3−3x −2)=(3x2−3)(2−x )⇒x3−3x2+4=0⇒x3+1−3x2+3=0
0 0 0 0 0 0 0 0
⇒(x +1)(x2−x +1)−3(x +1)(x −1)=0⇒(x +1)(x −2) 2=0⇒x =−1或x =2（舍去），
0 0 0 0 0 0 0 0 0
综上所述：过点(2,0)可作曲线f (x)=x3−3x−2的切线条数为2，
故选：B.
( 1 )
22．（23-24高三上·湖北·期中）函数f(x)=x3+(a−1)x2−x+b为R上的奇函数，过点P − ,1 作曲线
2
y=f(x)的切线，可作切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【解题思路】根据奇函数确定f(x)=x3−x，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算x =−1，
0计算切线得到答案.
【解答过程】f(−x)=−x3+(a−1)x2+x+b=−f (x)=−x3−(a−1)x2+x−b，故a=1，b=0，
f(x)=x3−x，f′ (x)=3x2−1，
y −1
f′ (x )=3x 2−1= 0
设切点为M(x ,y )，则 0 0 1，且f(x )=x3−x = y ，
0 0 x + 0 0 0 0
0 2
整理得到(x +1)(4x2−x +1)=0，解得x =−1，f′ (−1)=2，
0 0 0 0
故切线方程为y=2x+2，
故选：A.
23．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线y=(x−a)ex有两条过点(1,0)的切线，则a的取值范围是
(−∞,1)∪(5,+∞) .
【解题思路】先利用导数求曲线y=(x−a)ex过坐标(1,0)的切线方程，再列出关于a的不等式，进而求得a
的取值范围.
【解答过程】由y=(x−a)ex得y′=(x−a+1)ex，设切点坐标为(x ,(x −a)ex 0)，
0 0
则切线斜率k=(x −a+1)ex 0，
0
切线方程为y−(x −a)ex ❑0 =(x −a+1)ex 0(x−x )，
0 0 0
又因为切线过(1,0)，所以0−(x −a)ex ❑0 =(x −a+1)ex 0(1−x )，整理得x2−(a+1)x +2a−1=0，
0 0 0 0 0
又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，
所以Δ=(a+1) 2−4(2a−1)>0，解得a<1或a>5，
所以a的取值范围是(−∞,1)∪(5,+∞)，
故答案为：(−∞,1)∪(5,+∞).
x
24．（23-24高二下·陕西西安·期末）若曲线f (x)= 有三条过点(0,a)的切线，则实数a的取值范围为
ex
4
(0, ) .
e2x2
【解题思路】构造新函数ℎ(x)= ，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数a的取值范围.
ex
x x
【解答过程】设点P(x ,y )为曲线f (x)= 上一点，则f (x )= 0
0 0 ex 0 ex
0
ex−xex 1−x 1−x
又f′(x)= = ，则f′ (x )= 0 ，
(ex) 2 ex 0 ex
0
x
则曲线f (x)= 在点P(x ,y )处的切线方程为
ex 0 0
x 1−x
y− 0 = 0 (x−x )，又切线过点(0,a)，
ex
0
ex
0
0
x 1−x x2
则a− 0 = 0 (−x )，即a= 0
ex
0
ex
0
0 ex
0
x2 2xex−x2ex x(2−x)
令ℎ(x)= ，则 ℎ′ (x)= = ，
ex (ex) 2 ex
则x<0时ℎ′ (x)<0，ℎ(x)单调递减；
0<x<2时ℎ′ (x)>0，ℎ(x)单调递增；
x>2时ℎ′ (x)<0，ℎ(x)单调递减，
4
则x=0时ℎ(x)取得极小值ℎ(0)=0，x=2时ℎ(x)取得极大值 ℎ(2)= ，
e2
4
又
ℎ(−1)=e> =ℎ(2)，
e2
x2
当x>0时，ℎ(x)= >0恒成立，x→+∞时，ℎ(x)→0，
ex
x2
又由题意得方程a= 0有3个根，
ex
0
4
则y=a与y=ℎ(x)图像有3个交点，则a∈(0, ).
e2
x 4
则曲线f (x)= 有三条过点(0,a)的切线时实数a的取值范围为(0, ).
ex e24
故答案为：(0, ).
e2
题型七 两条切线平行、垂直、公切线问题
25．（2024·陕西渭南·一模）已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f (x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切
线，则a+b等于（ ）
A．e+2 B．3 C．e+1 D．2
【解题思路】由f (x)求得切线方程，结合该切线也是g(x)的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求
得直线y=ax+b，从而求得正确答案.
【解答过程】设(t,et)是f (x)图象上的一点，f′(x)=ex，
所以f (x)在点(t,et)处的切线方程为y−et=et(x−t)，y=etx+(1−t)et①，
1
令g′(x)= =et ，解得x=e−t，
x
2−t−et
g(e−t)=lne−t+2=2−t，所以 =et ，
e−t−t
1−t=(1−t)et，所以t=0或t=1（此时①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去），
所以t=0，此时①可化为y−1=1×(x−0),y=x+1，
所以a+b=1+1=2.
故选：D.
26．（2024·辽宁辽阳·二模）若对函数f (x)=2x−sinx的图象上任意一点处的切线l ，函数
1
g(x)=mex+(m−2)x的图象上总存在一点处的切线l ，使得l ⊥l ，则m的取值范围是（ ）
2 1 2
( e ) ( e)
A． − ,0 B． 0,
2 2
C．(−1,0) D．(0,1)
1
【解题思路】求导得到− 范围A，再分m>0，m<0，m=0三种情况讨论得g′(x)范围B，最后根据
f′ (x)条件得A与B包含关系，计算得到答案.
1 [ 1]
【解答过程】由f (x)=2x−sinx，得f′(x)=2−cosx∈[1,3]，所以− ∈ −1,− =A，
2−cosx 3
由g(x)=mex+(m−2)x，得g′(x)=mex+m−2，设该导函数值域为B，
(1)当m>0时，导函数单调递增，g′(x)∈(m−2,+∞)，
1
由题意得∀x ,∃x ,f′ (x )g′ (x )=−1∴g′ (x )=− ∴A⊆B
1 2 1 2 2 f′ (x )
1
故m−2<−1，解得0<m<1；
1
(2)当m<0时，导函数单调递减，g′(x)∈(−∞,m−2)，同理可得m−2>− ，与m<0矛盾，舍去；
3
（3）当m=0时，不符合题意.
综上所述：m的取值范围为(0,1).
故选：D.
27．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=√x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有
相同的切线，则公共点坐标为 (e,√e) .
1
1 1 −
【解题思路】设公共点为(x 0 ,y 0 ) (x 0 >0)，即可得到 ax 0=x 0 2，再由导数的几何意义得到ax 0lna= 2 x 0 2，
从而求出x ，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.
0
1
【解答过程】设公共点为(x
0
,y
0
) (x
0
>0)，则¿，即 ax 0=x2，
0
1 1
所以x lna= lnx ，所以lna= lnx ，
0 2 0 2x 0
0
1 1
由y ′= 1 x − 2，y ′=axlna，所以y ′| = 1 x − 2，y ′| =ax 0lna，
1 2 2 1 x=x 0 2 0 2 x=x 0
1 − 1 1 1 1 − 1
又在公共点处有相同的切线，所以ax 0lna= x 2，即x2· ·lnx = x 2，
2 0 0 2x 0 2 0
0
所以lnx❑=1，则x❑=e，所以y =√e，
0 0 0
所以公共点坐标为(e,√e).
故答案为：(e,√e).
28．（2024·河北邯郸·三模）若曲线y=ex与圆(x−a) 2+ y2=2有三条公切线，则a的取值范围是 (1,+∞)
．【解题思路】易得曲线y=ex在点(x ,y )处的切线方程为y−ex 0=ex 0(x−x )，再根据切线与圆
0 0 0
|ex 0(a−x )+ex 0 |
(x−a) 2+ y2=2相切，得到 0 =√2，化简为e2x 0((x −a−1) 2−2)=2，根据曲线y=ex与圆
0
√1+e2x
0
(x−a) 2+ y2=2有三条公切线，则方程e2x 0((x −a−1) 2−2)=2有三个不相等的实数根，令
0
g(x)=e2x((x−a−1) 2−2)，由曲线y=g(x)与直线y=2有三个不同的交点求解.
【解答过程】解：曲线y=ex在点(x ,y )处的切线方程为y−ex 0=ex 0(x−x )，
0 0 0
|ex 0(a−x )+ex 0 |
由于直线y−ex 0=ex 0(x−x )与圆(x−a) 2+ y2=2相切，得 0 =√2（*）
0
√1+e2x
0
因为曲线y=ex与圆(x−a) 2+ y2=2有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程e2x 0((x −a−1) 2−2)=2有三个不相等的实数根.
0
令g(x)=e2x((x−a−1) 2−2)，则曲线y=g(x)与直线y=2有三个不同的交点.
显然，g′(x)=2e2x(x−a−2)(x−a+1).
当x∈(−∞,a−1)时，g′(x)>0，当x∈(a−1,a+2)时，g′(x)<0，当x∈(a+2,+∞)时，g′(x)>0，
所以，g(x)在(−∞,a−1)上单调递增，在(a−1,a+2)上单调递减，在(a+2,+∞)上单调递增；
(x−a−1) 2−2
且当x→−∞时，g(x)= →0，当x→+∞时，g(x)=e2x((x−a−1) 2−2)→+∞，
e−2x
因此，只需¿，即¿，
解得a>1.
故答案为：(1,+∞).
题型八 与切线有关的最值问题
29．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−4的距
离的最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2 D．2√2【解题思路】问题转化为过点P的切线与直线y=x−4平行时，点P到直线y=x−4的距离最小，利用导
数的几何意义求得点P的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【解答过程】因为点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，
所以当点P处的切线和直线y=x−4平行时，点P到直线y=x−4的距离最小．
1
因为直线y=x−4的斜率等于1，曲线y=x2−lnx的导数y′=2x−
，
x
1
令y′=1，可得x=1或x=− (舍去)，
2
所以在曲线y=x2−lnx上与直线y=x−4平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，
|1−1−2|
所以点P到直线y=x−4的最小距离为 =2√2.
√1+1
故选：D.
30．（2024·四川·一模）若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l:x+ y−4=0距离的最小值
为（ ）
√2
A． B．√2 C．2√2 D．4√2
2
【解题思路】由题知过点P作曲线y=lnx−x2的切线，当切线与直线l:x+ y−4=0平行时，点P到直线
l:x+ y−4=0距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.
【解答过程】解：过点P作曲线y=lnx−x2的切线，当切线与直线l:x+ y−4=0平行时，点P到直线
l:x+ y−4=0距离的最小.
1
设切点为P(x ,y )(x >0)，y′= −2x，
0 0 0 x
1
所以，切线斜率为k= −2x ，
x 0
0
1 1
由题知 −2x =−1得x =1或x =− （舍），
x 0 0 0 2
0
|1−1−4|
所以，P(1,−1)，此时点P到直线l:x+ y−4=0距离d= =2√2.
√2
故选：C.
31．（23-24高二下·江西赣州·期中）设点A在直线√3x−y+1=0上，点B在函数f (x)=lnx的图象上，则
1
|AB|的最小值为 1+ ln3 .
4
【解题思路】设函数f (x)=lnx与直线√3x−y+1=0平行的切线为l，利用导数的几何意义得出切点P，再由距离公式
得出|AB|的最小值.
【解答过程】
设函数f (x)=lnx与直线√3x−y+1=0平行的切线为l，则l的斜率为√3，
由f′(x)= 1 =√3，得x= √3 ，所以切点为P (√3 ,− 1 ln3 ) ，
x 3 3 2
| 1 |
1+ ln3+1
则点P到直线l的距离就是|AB|的最小值，即 2 1 .
=1+ ln3
2 4
1
故答案为：1+ ln3.
4
x
32．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，若曲线y=f (x)的一条切线为
n
m
直线l：4x−y+3=0，则 的最小值为 −4e ．
n
【解题思路】根据题意，设切点为(x ,y )，将切点分别代入函数f (x)以及切线l上，且f′ (x )=4，得到方
0 0 0
m 1 4
=e(
−
)
程化简可得 ，从而求得其最小值.
n x2 x
0 0
【解答过程】设切点为(x ,y )，x >0，则(x ,y )在l：4x−y+3=0上，即y =4x +3①，
0 0 0 0 0 0 0
x 1 1
因为f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)，则f′(x)= − ，
n x n
1 1 1 1−4x
又因为直线l的斜率为4，则f′ (x )= − =4，所以 = 0 ③，
0 x n n x
0 0
x
因为(x ,y )在f (x)=lnx− +lnm+3(m>1)上，
0 0 n
x
所以y =lnx − 0+lnm+3②，
0 0 n
x
由①②可得4x +3=lnx − 0+lnm+3④，
0 0 nx
4x +3=lnx − 0 +lnm+3
将③代入④中可得， 0 0 x ，
0
1−4x
0
e
化简可得lnm+lnx −1=0，即 m= ⑤，
0 x
0
e
m x 1 4
= 0 =e( − )
由③⑤可得， ，
n x x2 x
0 0 0
1−4x
0
1
令 =t,t>0，则y=t2−4t=(t−2) 2−4,t>0，
x
0
1
当t=2时，即x = 时，y =22−4×2=−4，
0 2 min
1 (m)
所以当x = 时， =e⋅(−4)=−4e，
0 2 n
min
故答案为:−4e.
一、单选题
(2+Δx) 3−23
1．（2024·重庆·模拟预测）lim =（ ）
Δx
Δx→0
A．72 B．12 C．8 D．4
【解题思路】令f (x)=x3，根据导数的概念，可求解.
【解答过程】令f (x)=x3，根据导数的概念，
(2+Δx) 3−8 (2+Δx) 3−23 f (2+Δx)−f (2)
lim = lim = lim =f′(2)，
Δx Δx Δx
Δx→0 Δx→0 Δx→0
f′(x)=3x2，所以f′(2)=12.
故选：B．
2．（2024·贵州黔南·一模）曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
1 e
A． B．1 C． D．e
2 2
【解题思路】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.1
【解答过程】由f(x)=lnx，求导得f′ (x)= ，则f′ (1)=1，而f(1)=0，
x
因此曲线f(x)=lnx在点(1,f(1))处的切线为y−0=x−1，该切线交x于点(1,0)，交y轴于点(0,−1)，
1 1
所以该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S= ×1×1=
.
2 2
故选：A.
3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数f (x)的部分图象，记f (x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大
的是（ ）
A．f (3) B．3f′(3) C．f (−14) D．f′(8)
【解题思路】由函数f (x)的图象，结合导数的几何意义，即可判断.
【解答过程】
由图可知，f (−14),f′(8)为负数，f (3),3f′(3)为正数，故不选f (−14),f′(8)，
设f (x)在x=3处的点为A，显然OA的斜率k 大于f′(3)，
OA
f (3)−0
则 >f′(3)，可转化为f (3)>3f′(3)，
3−0
所以f (3)的值最大.
故选：A．
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2相切，则a=
（ ）
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
2 2 12 12
【解题思路】求导，计算曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程，利用切线与曲线y=ax2+x+2相切可得
结果.1
【解答过程】解法1：由y=x+lnx得y′=1+ ，当x=1时，y′=2，
x
所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为：y−1=2(x−1)，即y=2x−1.
由¿得，ax2−x+3=0，
1
所以Δ=1−12a=0，解得a= ，
12
故选：D.
1
解法2：由y=x+lnx得y′=1+ ，当x=1时，y′=2，
x
所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为：y−1=2(x−1)，即y=2x−1.
因为y=ax2+x+2，所以y'=2ax+1，
1
令y′=2ax+1=2，得x= ，
2a
( 1 3 )
所以y=2x−1与曲线y =ax2+x+2的切点为 , +2 ，
2a 4a
3 1 1
由切点在切线y=2x−1得 +2= −1，解得a= ，
4a a 12
故选：D.
5．（2024·山东·二模）已知f (x)为定义在R上的奇函数，设f′(x)为f (x)的导函数，若
f (x)=f (2−x)+4x−4，则f′(2023)=（ ）
A．1 B．−2023 C．2 D．2023
【解题思路】根据f (x)=f (2−x)+4x−4进行f′(x)奇偶性和周期性的推导，得到f′(x)是周期为4的偶函
数，从而算出f′(2023)的值.
【解答过程】因为f (x)=f (2−x)+4x−4，所以两边求导，得f′ (x)=−f′ (2−x)+4，
即f′ (x)+f′ (2−x)=4①
因为f (x)为定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，
所以两边求导，得f′ (x)=f′ (−x)，所以f′ (x)是定义在R上的偶函数，
所以f′ (2−x)=f′ (x−2)，结合①式可得，f′ (x)+f′ (x−2)=4，
所以f′ (x−2)+f′ (x−4)=4，两式相减得，f′ (x)=f′ (x−4)，所以f′ (x)是周期为4的偶函数，
所以f′ (2023)=f′ (−1)=f′ (1).
由①式，令x=1，得f′ (1)=2，所以f′ (2023)=f′ (1)=2.
故选：C.
1
6．（2024·全国·模拟预测）若过点(m,n)可作函数y=2x+ (x>0)图象的两条切线，则必有（ ）
x
1
A．0<2m+ <n B．0<n<2m
m
1
C．2m<n<2m+ D．n<2m
m
( 1)
【解题思路】设切点为 a,2a+ ，a>0，求导，根据导数的几何意义可得(2m−n)a2+2a−m=0有两
a
个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
( 1)
【解答过程】设切点为 a,2a+ ，a>0，
a
1 1
又y′=2− ，所以切线斜率k=2−
，
x2 a2
( 1) ( 1 )
所以切线方程为y− 2a+ = 2− (x−a)，
a a2
又切线过点(m,n)，
( 1) ( 1 )
则n− 2a+ = 2− (m−a)，a>0，
a a2
即(2m−n)a2+2a−m=0，
由过点(m,n)可作两条切线，
所以(2m−n)a2+2a−m=0有两个正根，
1
即¿，整理可得2m<n<2m+ ，
m
故选：C.
7．（2024·河南·一模）抛物线C:y2=2px(p>0)在其上一点处的切线方程为y−x−1=0，点A，B为C上
两动点，且|AB|=6，则AB的中点M到y轴距离的取值范围为（ ）[9 ) [3 )
A．[2,+∞) B． ,+∞ C．[3,+∞) D． ,+∞
4 2
【解题思路】根据抛物线的切线方程，利用求导数，设切点，求出p=2；接着设出A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
x +x
表示出点M到y轴的距离为：d= 1 2，利用抛物线的定义表达式，将其转化为两条焦半径的和，结合
2
图形易得d≥2，故得解.
y2
【解答过程】依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为( 0 ,y )，由y=√2px求导可得：
2p 0
√2p
y′=
，
2√x
√2p
√2p
=1
p
依题， =1，即 √ y2 化简得y =p，故切点为( ,p)，代入y−x−1=0中，解得p=2，故
2√x 2 0 0 2
0
2p
C:y2=4x.
x +x y + y
如图，设点A(x ,y ),B(x ,y ),则M( 1 2, 1 2 )，点M到y轴的距离为：
1 1 2 2 2 2
x +x x +1+x +1 |AF|+|BF| |AB|
d= 1 2= 1 2 −1= −1≥ −1=2,
2 2 2 2
当且仅当线段AB经过点F时，等号成立. 故AB的中点M到y轴距离的取值范围为[2,+∞).
故选：A.
8．（2024·山东潍坊·三模）过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f (x)=xex的图像相切，当n取最大值
时，m的取值范围为（ ）
5 5 1
A．− <m<e B．− <m<0 C．− <m<0 D．m<e
e2 e2 e【解题思路】求导分析f (x)=xex的图象可得n=3，再设切点坐标为(x ,y )，由题可得
0 0
m=(−x2+x +1)⋅ex 0有三根，再构造函数g(x)=(−x2+x+1)⋅ex求导分析图象单调性与最值即可
0 0
【解答过程】由f (x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，故当x<−1时，f′(x)<0，f (x)单调递减，且f (x)<0；当
x>−1时，f′(x)>0，f (x)单调递增，结合图象易得，过点P(1,m)(m∈R)至多有3条直线与函数
f (x)=xex的图像相切，故n=3.
此时，设切点坐标为(x ,y )，则切线斜率k=(x +1)⋅ex 0，所以切线方程为
0 0 0
y−x ex 0=(x +1)⋅ex 0(x−x )，将P(1,m)代入得m=(−x2+x +1)⋅ex 0，存在三条切线即函数
0 0 0 0 0
m=(−x2+x+1)⋅ex有三个不同的根，又g′(x)=−(x−1)(x+2)⋅ex，易得在(−2,1)上，g′(x)>0，g(x)单
调递增；在(−∞,−2)和(1,+∞)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，画出图象可得当g(−2)<m<0，即
5
− <m<0时符合题意
e2
故选：B.
二、多选题
9．（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线y=x+1相切的有（ ）
A．y=ex B．y=lnx
C．y=sinx+1 D．y=x3+1
【解题思路】假设选项中的曲线与直线y=x+1相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【解答过程】选项A中，若y=ex与y=x+1相切，设切点为(x ,y )，
1 1
易知y′=ex，则ex 1=1，解得x =0，即切点为(0,1)，切线为y=x+1，A正确；
1
选项B中，若y=lnx与y=x+1相切，设切点为(x ,y )，
2 2
1 1
易知y′=(lnx) ′= ，则 =1，解得x =1，切点为(1,0)，切线方程为y=x−1，即B错误；
x x 2
2
选项C中，若y=sinx+1与y=x+1相切，设切点为(x ,y )，
3 3
易知y′=cosx，则cosx =1，解得x =2kπ,k∈Z，
3 3
当k=0时，切点为(0,1)，切线方程为y=x+1，C正确；
选项D中，易知y=x3+1与y=x+1有三个交点，(0,1),(1,2),(−1,0)，
又y′=3x2，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以y=x+1不是切线，D错误.
故选：AC.
10．（2024·湖南·三模）已知定义域为R的函数f(x),g(x),f′ (x)是f(x)的导函数，且满足：
f′ (x)+g(x)=−f′ (4−x)+g(x−1)=2,g(x)−2是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
A．f′ (x)是奇函数 B．f′ (3)=0
2024
C．g(1)+g(2)=2 D．∑❑g(i)=4048
i=1
【解题思路】首先利用求导证明f′ (x)为奇函数，再证明g(x)是周期为3的函数，再通过合理赋值可核对
各选项的对错.
【解答过程】由f′ (x)+g(x)=2，得f′ (−x)+g(−x)=2，则f′ (x)+g(x)+f′ (−x)+g(−x)=4，
又g(x)−2是奇函数，即g(−x)−2=−[g(x)−2]，从而g(−x)+g(x)=4，f′ (x)+f′ (−x)=0，
即f′ (−x)=−f′ (x)，则f′ (x)是奇函数，A正确；
对于B，在g(−x)+g(x)=4中，令x=0，可得g(0)=2，在−f′ (4−x)+g(x−1)=2中，令x=1，可得−f′ (3)+g(0)=2，从而f′ (3)=0，B正确；
对于C，在−f′ (4−x)+g(x−1)=2中，以4−x代x，可得−f′ (x)+g(3−x)=2，
与f′ (x)+g(x)=2求和，可得g(3−x)+g(x)=4，令x=2，可得g(1)+g(2)=4，C错误；
对于D，由g(−x)+g(x)=4以及g(3−x)+g(x)=4，可得g(−x)=g(3−x)，
从而g(3+x)=g(x)，则g(x)是周期为3的周期函数，g(3)=g(0)=2，g(1)+g(2)=4，
2024
∑ g(i)=674×[g(1)+g(2)+g(3)]+g(1)+g(2)=674×6+4=4048，D正确.
i=1
故选：ABD.
11．（2024·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l 、l ，切点为P 、
1 2 1
P (P 、P 不重合)，设直线l 、l 分别与y轴交于点A、B，则（ ）
2 1 2 1 2
A．P 、P 两点的纵坐标之积为定值 B．直线P P 的斜率为定值
1 2 1 2
C．线段AB的长度为定值 D．△ABP面积的取值范围为(0,1)
【解题思路】根据切线方程的定义，利用分类讨论的思想，可得整理切线方程，根据直线垂直可得切点横
坐标的乘积，进而可得纵坐标的乘积，利用直线斜率公式，等量代换整理，可得其值，利用切线方程，求
得A,B,P的坐标，可得答案.
【解答过程】由函数y=|lnx|=¿，则y′=¿，
设P (x ,y )，P (x ,y )，
1 1 1 2 2 2
1 1
当0<x <1，1<x 时，由题意可得，− ⋅ =−1，化简可得x x =1，符合题意；
1 2 x x 1 2
1 2
1 ( 1 )
当x ,x ∈(0,1)时，由题意可得，− ⋅ − =1，化简可得x x =−1，显然不成立；
1 2 x x 1 2
1 2
1 1
当x ,x ∈(1,+∞)时，由题意可得， ⋅ =1，化简可得x x =1，显然不成立；
1 2 x x 1 2
1 2
1
对于A，y y =−lnx lnx =−lnx ln =(lnx ) 2 ，故A错误；
1 2 1 2 1 x 1
1
y −y −lnx −lnx −lnx x
对于B，直线P P 的斜率k= 1 2= 1 2= 1 2=0，故B正确；
1 2 x −x x −x x −x
1 2 1 2 1 21 1
对于C，易知直线l :y=− x+ y +1，直线l :y= x+ y −1，
1 x 1 2 x 2
1 2
令x=0，则y= y +1，即A(0,y +1)，同理可得B(0,y −1)，
1 1 2
|AB|=|y +1−y +1|=|2−lnx −lnx |=|2−lnx x |=2，故C正确；
1 2 1 2 1 2
2x x 2x
对于D，联立¿，整理可得¿，解得x = 1 2= 1 ，
p x +x x 2+1
1 2 1
2x 2(1−x2)
令f (x)= ，其中x∈(0,1)，则f′(x)= >0，
x2+1 (x2+1) 2
所以，函数f (x)在(0,1)上单调递增，则当x∈(0,1)时，f (x)∈(0,1)，
1 2x
所以，S = |AB|⋅|x |= 1 ∈(0,1)，故D正确.
△ABP 2 P x 2+1
1
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·四川宜宾·一模）设曲线y=e2ax在(0,1)处的切线与直线x+2y+2=0垂直，则a= 1 .
【解题思路】由直线x+2y+2=0的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，
求得a的值.
1
【解答过程】直线x+2y+2=0的斜率k =− ，
1 2
−1
∵切线与直线x+2y+2=0垂直，∴切线的斜率k = =2，
2 k
1
y′=2ae2ax，当x=0时，k =2ae0=2，∴a=1，
2
故答案为：1.
13．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足2f (x)=f (−x)+6ex，则曲线y=f (x)在
点(0,f (0))处的切线方程为 2x−y+6=0 .
【解题思路】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.
【解答过程】因为2f (x)=f (−x)+6ex，所以2f′(x)=−f′(−x)+6ex，
令x=0，得2f′(0)=−f′(−0)+6e0，解得f′(0)=2，所以切线斜率为2，
因为2f (x)=f (−x)+6ex，令x=0，得2f (0)=f (−0)+6e0，解得f (0)=6，所以切点坐标为(0,6).
所以y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程为y−6=2(x−0)，即2x−y+6=0.
故答案为：2x−y+6=0.
1
14．（2024·全国·二模）已知函数
y
=x2的图象与函数y
2
=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的
1
1
切线，则a= a=e2e .
【解题思路】首先设出两个曲线的公共点，再根据导数的几何意义，列式求解.
【解答过程】设两个函数的图象的公共点为(x ,y )，
0 0
1
所以¿，则lna= ，且x =a2x 0⇔lnx =2x lna，
2x 0 0 0
0
所以lna= 2 1 x = l 2 n x x 0 ，得x 0 =e， a=e2 1 e.
0 0
1
故答案为： e2e.
四、解答题
15．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知函数y=lnx.
(1)求该函数在x=2处的切线方程；
(2)求该函数过原点的切线方程.
【解题思路】（1）代入得到切点坐标，再求导代入x=2得出斜率，写出切线方程即可；
1 1
（2）设切点(x ,y )，切线方程为y=kx，根据导数含义得k= ， ∴y= ⋅x，代入切点横坐标x 得到
0 0 x x 0
0 0
其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可.
【解答过程】（1）当x=2时，y=ln2，所以此时切点为(2,ln2)，
1
由f
(x)=lnx可得f′(x)=
，
x
1
所以切线的斜率为k=f′(2)=
，
2
1
则利用点斜式方程可得到y−ln2= (x−2)，即x−2y+2ln2−2=0，
2
（2）显然切线斜率不存在时，不合题意，1
故设切线方程为y=kx，切点(x ,y )，斜率k= ，
0 0 x
0
1
∴y= ⋅x，又因为切点在y=lnx上，
x
0
1
∴y = ⋅x =1，当y=1时，x =e，
0 x 0 0
0
1 1
∴k= ，切线方程为y= x，即x−e y=0.
e e
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数f (x)=(ax+1)ex．
(1)当a=1时，求曲线y=f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若当x≥0时，f (x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【解题思路】（1）结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解.
【解答过程】（1）当a=1时，f′(x)=(x+2)ex，则f′(0)=2．
又f (0)=1，所以切线方程为y=2x+1，即2x−y+1=0．
（2）f′(x)=(ax+1+a)ex．
当a≥0时，f′(x)>0在[0,+∞)上恒成立，则f (x)在[0,+∞)上单调递增，
又f (0)=1，所以f (x)≥1恒成立，满足题意；
1 ( 1)
当a<0时，− >0，f − =0<1，不符合题意．
a a
综上，a的取值范围为[0,+∞)．
17．（2024·四川雅安·一模）已知函数f(x)=aex+bx+c在x=ln2时有极小值.曲线y=f(x)在点(0,f(0))
处的切线方程为x+ y=0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x,f(x)≥(e−2)x+m恒成立，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）对函数求导，利用在x=ln2时有极小值和在点(0,f(0))处的切线方程，即可求出
a,b,c的值；
（2）将函数代入不等式并分离参数，转化成ex−ex−1≥m对任意实数x恒成立问题，构造函数
g(x)=ex−ex−1(x∈R)，通过讨论新函数的单调性，求出新函数的取值范围，进而得出实数m的取值
范围.【解答过程】（1）由题意，x∈R，
在f(x)=aex+bx+c中，f′(x)=aex+b，
在x=ln2时有极小值.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+ y=0.
∴¿即¿ ，
∴f(x)=ex−2x−1，f′(x)=ex−2，
当x>ln2时，f′ (x)>0,f(x)在(ln2,+∞)上单调递增.
当x<ln2时，f′ (x)<0,f(x)在(−∞,ln2)上单调递减.
当x=ln2时，f′ (x)=0,f(x)在x=ln2时有极小值.
故a=1,b=−2,c=−1符合题意，即为所求.
（2）由题意及（1）得，x∈R，
在f(x)=aex+bx+c中，f(x)≥(e−2)x+m，即ex−ex−1≥m对任意实数x恒成立，
设g(x)=ex−ex−1(x∈R)，则g′ (x)=ex−e.
当x>1时，ex−e>0，则g′ (x)>0，故g(x)在(1,+∞)上单调递增；
当x<1时，ex−e<0，则g′ (x)<0，故g(x)在(−∞,1)上单调递减；
当x=1时，ex−e=0，则g′ (x)=0，
故x=1时g(x)有极小值，也就是g(x)的最小值g(1)=−1，
故m≤−1即为所求.
18．（2024·安徽·三模）若对任意的实数k，b，函数y=f (x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数
f (x)为“恒切函数”．
(1)判断函数f (x)=x3是否为“恒切函数”；
1 1
(2)若函数f (x)= (ex−x−1)ex+m是“恒切函数”，求证：− <m≤0．
2 8
【解题思路】（1）设函数f (x)的切点为(x ,y )，分析“恒切函数”的性质可得¿，对于函数f (x)=x3，则
0 0
有¿，解可得x =0，即可得出结论.
0（2）设函数f (x)的切点为(x ,y )，分析可得¿，设2ex=x+2，考查2ex=x+2的解，综合即可得答案.
0 0
【解答过程】（1）根据题意，若函数f (x)=x3为“恒切函数”，切点为(x ,y )，则¿即¿，对于函数
0 0
f (x)=x3，f′(x)=3x2，所以¿解得x =0．因此，函数f (x)=x3是“恒切函数”；
0
1
（2）根据题意，函数f (x)= (ex−x−1)ex+m是“恒切函数”，设切点为(x ,y )，由
2 0 0
1 1
f (x)= (ex−x−1)ex+m，可得f′(x)= (2ex−x−2)ex ，则有¿即¿考查方程2ex=x+2的解，设
2 2
g(x)=2ex−x−2，因为g′(x)=2ex−1，令g′(x)=0，得x=−ln2．当x∈(−∞,−ln2)时，g′(x)<0；当
x∈(−ln2,+∞)时，g′(x)>0．所以，函数y=g(x)的单调递减区间为(−∞,−ln2)，单调递增区间为
(−ln2,+∞)．所以g(x) =g(−ln2)=ln2−1<0．
min
2 2
（i）当x∈(−∞,−ln2)时，因为g(−2)= >0，g(−1)= −1<0，所以，函数y=g(x)在区间
e2 e
(−∞,−ln2)上存在唯一零点x ∈(−2,−1)．又因为
0
m=− 1 (ex 0−x −1)ex 0= 1 x (x +2)= 1 (x +1) 2− 1 ∈ ( − 1 ,0 ) ；
2 0 8 0 0 8 0 8 8
（ii）当x∈(−ln2,+∞)时，因为g(0)=0，所以函数y=g(x)在区间(−ln2,+∞)上有唯一零点，则m=0，
1
综上所述，− <m≤0．
8
19．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料：
①若函数f (x)可导，我们通常把导函数f'(x)的导数叫做f (x)的二阶导数，记作f″(x).类似的，函数f (x)的
二阶导数的导数叫做函数f (x)的三阶导数，记作f′′′(x)，函数f (x)的三阶导数的导数叫做函数f (x)的四阶
导数……，一般地，函数f (x)的n−1阶导数的导数叫做函数f (x)的n阶导数，记作f(n)(x)=[fn−1 (x)] ' ，
n≥4；
②若n∈N∗，定义n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1；
③若函数f (x)在包含x 的某个开区间(a,b)上具有任意阶的导数，那么对于任意x∈(a,b)有
0
f′ (x ) f″ (x ) f(n)(x )
g(x)=f (x )+ 0 (x−x )+ 0 (x−x ) 2+⋯+ 0 (x−x ) n+⋯，我们将g(x)称为函数f (x)在
0 1! 0 2! 0 n! 0点x=x 处的泰勒展开式.
0
1 1
例如f (x)=ex 在点x=0处的泰勒展开式为g (x)=1+x+ x2+⋯+ xn+⋯
1 1 2 n!
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出f(x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式g(x)；
(2)用f (x)=cosx在点x=0处的泰勒展开式前三项计算cos0.3的值，精确到小数点后4位；
sinx ( x )( x )( x )( x ) ( x )( x ) ∞ 1
(3)现已知 = 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+ ⋯，试求∑ 的值.
x π π 2π 2π nπ nπ n2
n=1
【解题思路】（1）利用n阶泰勒展开式的定义，可求g(x)，
（2）由（1）可求cos0.3；
x x3 x5 (−1) nx2n−1
（3）由（1）可得−sinx=− + − +⋯+ +⋯，进而可得
1! 3! 5! (2n−1)!
sinx x2 x4 (−1) n−1x2n−2
=1− + +⋯+ +⋯，结合已知可得结论.
x 3! 5! (2n−1)!
【解答过程】（1）f(x)=cosx，f′ (x)=−sinx，f ''(x)=−cosx，⋯，
所以f(0)=cos0=1，f′ (0)=−sin0=0，f ''(x)=−cos0=−1，⋯，
0 −1 (−1) n
由cosx=1+ (x−0)+ (x−0) 2+⋯+ (x−0) 2n+⋯
1! 2! n!
x2 x4 x6 (−1) nx2n
所以cosx=1− + − +⋯+ +⋯
2! 4! 6! (2n)!
0.32 0.34 0.36 (−1) n×0.32n 0.32 0.34
（2）由（1）可得cos0.3=1− + − +⋯+ +⋯≈1− +
2! 4! 6! (2n)! 2! 4!
=1−0.045+0.0003375=0.9553
sinx ( x )( x )( x )( x ) ( x )( x )
（3）因为 = 1− 1+ 1− 1+ ⋯ 1− 1+ ⋯
x π π 2π 2π nπ nπ
(
x2
)(
x2
) (
x2
)
= 1− 1− ⋯ 1− ⋯①，
π2 4π2 n2π2x2 x4 x6 (−1) nx2n
对cosx=1− + − +⋯+ +⋯，
2! 4! 6! (2n)!
x x3 x5 (−1) nx2n−1
两边求导可得：−sinx=− + − +⋯+ +⋯，
1! 3! 5! (2n−1)!
x x3 x5 (−1) n−1x2n−1
所以sinx= − + +⋯+ +⋯，
1! 3! 5! (2n−1)!
sinx x2 x4 (−1) n−1x2n−2
所以 =1− + +⋯+ +⋯②，
x 3! 5! (2n−1)!
比较①②中x2的系数，可得：
1 1 1 1 1 1
− =− ( + + ⋯+ +⋯)，
3! π2 12 22 32 n2
∞ 1 1 1 1 1 π2
所以∑ = + + ⋯+ +⋯= .
n2 12 22 32 n2 6
n=1
