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专题3.18 平面直角坐标系背景下的最值问题（专项练习）
一、单选题
1．平面直角坐标系中，点 ， ，经过点 的直线 轴，点 是直线 上
的一个动点，当线段 的长度最短时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．代数式 的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．11
3．平面直角坐标系中，点A(-3，2)， ， ，若 ∥x轴，则线段 的最小
值及此时点 的坐标分别为( )
A．6， B．2， C．2， D．3，
4．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角三角形 的三个顶点坐标分别是 、
、 ，在直线 上有四个点坐标分别是 、 、 、
，则点 到直线 上的最短距离的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，2)，点C是x上任意一点，当CA+CB有最
小值时，C点的坐标为( )A．(0，0) B．(1，0)
C．(-1，0) D．(3，0)
6．如图，在平面直角坐标系中A（3，0），B（0，4），AB＝5，P是线段AB上的一个动
点，则OP的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．3
7．平面直角坐标系中，点A（-3，2），B（3，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC
的长度最小时点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．平面直角坐标系中，点 ， ，过点 作 轴．若点 是直线 上的
动点，则线段 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为(9,3 )，点D是
AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（ ）A． B． C． D．
10．已知P（a，b）是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A、B、C、D
的坐标如图所示，则 的最大值与最小值依次是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞
0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的
最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
12．已知在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（1，2）、B（3，1），P，Q分
别是x轴，y轴上两个动点，则四边形ABPQ的周长最小值为____．
13．如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点
B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形
ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为____．14．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，在 轴和 轴
上分别有两点 、 ，则 ， ， ， 四点组成的四边形的最小周长为__．
15．在平面直角坐标xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是(m，m-4)，则OB的最小值
是__________．
16．在平面直角坐标系中，射线OA是第一象限的角平分线，点C（11，5），E，F分别是
射线OA和x轴正半轴的动点，那么FE+FC的最小值是_____．
17．平面直角坐标系中，点 ，若 轴，则线段 的最小值
为________________.
18．在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（4，4），点C为y轴上一点，要使得
AC+BC最小，则点C的坐标为_____．
19．如图，在直角坐标系中，O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）一条动直
线l分别与BC、OA交于 点E、F，且将四边形OABC分为面积相等的两部分，则点C到动直线l的距离的最大值为____,
20．如图，已知 ABCD的顶点A、C分别在直线x=2和x=5上，O是坐标原点，则对角线
▱
OB长的最小值为_____．
21．已知，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点B(m， m)，点C为线段OA上一点(点
O为原点)，则AB＋BC的最小值为___________________．
22．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE
沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为___．
23．如图，在平面直角坐标系中， 是边长为 的等边三角形， 是 边上的高，
点 是 上的一个动点，若点 的坐标是 ，则 的最小值是________．三、解答题
24．（1）作出 关于 轴对称的 ．
（2）通过画图在 轴上找出点 ，使得 与 之和最小．
（3）连接 、 、 ，则 的面积为__________．
25．线段 在直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形边长为 个单位长度）．
（1）写出 ， 两点的坐标．
（2）在 轴上找点 ，使 长度最短，写出点 的坐标．
（3）连接 ， 并求出三角形 的面积．参考答案
1．D
【分析】由经过点A的直线a∥x轴，可知点C的纵坐标与点A的纵坐标相等，可设点C的
坐标（x，3），根据点到直线垂线段最短，当BC⊥a时，点C的横坐标与点B的横坐标相
等，即可得出答案．
解：如右图所示，
∵a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，点A（-2，3），
∴设点C（x，3），
∵当BC⊥a时，BC的长度最短，点B（2，-1），
∴x=2，
∴点C的坐标为（2，3）．故选：D．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征和点到直线垂线段最短，解答时注意
应用数形结合思想．
2．B
【分析】建立直角坐标系，设P点坐标为P（x，0），设A（0，-2），B（12，3），过点
B作BC⊥x轴，交AC于点C，则AB的长即为代数式 的最小值，
然后根据Rt△ABC，利用直角三角形的性质可求得AB的值．
解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），设A（0，-2），B（12，3），过点B作BC⊥x
轴，交AC于点C，
∴BC=3－(-2)=5，AC=12
原式可化为 ，
则 ＝AP， ＝BP，
∴ =AP＋BP
根据两点之间线段最短AB的长即为代数式 的最小值
∴AB＝ ＝13．
代数式 的最小值为13．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通
过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
3．D
【分析】由AC∥x轴，A（-3，2），根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标．
解：∵AC∥x轴，A（-3，2）， ， ，
∴y=2，
当BC⊥AC于点C时， 点B到AC的距离最短，即：BC的最小值=5−2=3，
∴此时点C的坐标为(3，2)．
故选D．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标，根据题意，画出图形，掌握“直线
外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短”，是解题的关键．
4．C
【分析】过点A作BC的垂线，根据垂线段最短，求出垂足的坐标即可.
解：过点A作BC的垂线，根据垂线段最短，故垂足即为点 到直线 上的最短距离的点
∵ 、 ，
∴BC∥x轴
∴垂足坐标为
故选C.【点拨】此题考查的是点到直线的距离和与坐标轴平行的直线上两点的坐标特征，掌握垂
线段最短是解决此题的关键.
5．B
【分析】作点A（1，0）关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于C，得到D（0，-1），此
时CA+CB有最小值，求得直线BD的解析式为：y=x-1，解方程即可得到结论．
解：作点A（1，0）关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于C，
则D（0，-1），
此时CA+CB有最小值，
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线BD的解析式为：y=x-1，
当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
故选B．
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于要考虑线段的性质定理，结合轴对
称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．B【分析】利用等面积法求得OP的最小值．
解：当OP⊥AB时，OP的值最小．
∵A（3，0），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝3．
∴ OA•OB＝ AB•OP．
∴OP＝ ．
故选B．
【点拨】此题考查坐标与图形，解题关键在于利用三角形面积公式进行计算.
7．B
【分析】由AC∥x轴，可得点C与点A的纵坐标相同，再根据垂线段最短可知BC⊥AC时，
BC有最小值，从而可确定点C的坐标．
解：如图所示：
由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
所以点C的坐标为（3，2），线段的最小值为2．
故选B．
【点拨】本题主要考查的是两点间的距离公式、垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂
线段的性质是解题的关键．
8．B
【解析】
依题意可得∵ ，∴ ，由垂线段最短知当 于点 时，点 到 的距离
最短，即 的最小值 ．故选B.
9．B解：如图，
作 轴，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵为菱形 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为 中点，
∴ ，
关于 的对称点为 ，
∴连接 ，交 于一点，即为所求的点 ，可以得到 ≌ ，
∴ ．故选B
点睛：本题考查了菱形的性质以及轴对称—最短路径问题.根据菱形的对称性确定
最小的条件是关键. 解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直
线同侧的点转化为直线异侧动点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段
最短来确定方案，是两条线段之和转化为一条线段.
10．B
解：试题分析：结合坐标系中a，b的最值，进而分析得出 的最大值与最小值即可．
解：如图所示：当 取最大值时：即a最小，b最大，则a=m，b=p，
∴ 的最大值为： ，
当 取最小值时：即a最大，b最小，则a=n，b=q，
∴ 的最小值为： ．
故选B．
考点：坐标与图形性质．
11．D
【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距
离即可解决问题．
解：∵A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），
∴AB=1-（1-a）=a，CA=a+1-1=a，
∴AB=AC，
∵∠BPC=90°，
∴PA=AB=AC=a，
如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，
∵A（1，0），D（4，4），∴AD=5，
∴AP′=5+1=6，
∴a的最大值为6．
故选D．
【点拨】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现
PA=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．
12．5+
【分析】根据对称性作点A和点B关于y轴和x轴的对称点A′和B′，连接A′B′交x轴y轴于
点P和Q，此时四边形ABPQ的周长最小，根据勾股定理即可求解．
解：如图，
作点A和点B关于y轴和x轴的对称点A′和B′，
连接A′B′交x轴，y轴于点P和Q，
连接AQ、BP，
则AQ=A′Q，BP=B′P
∴四边形ABPQ的周长为A′B′+AB，
根据两点之间线段最短，
此时四边形ABPQ的周长最小，
∵A（1，2），B（3，1），
∴AB= ，
A′B′=∴四边形ABPQ的周长为5+ ．
故答案为：5+ ．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题、坐标与图形性质，解决本题的关键是找到点P
和点Q．
13．
【分析】根据点的坐标和平行线的性质得到∠BAC=45°，从而得到∠B=90°，得出
AC=BC=2，作C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于D′，则此时，四边形ABCD′的周
长最小，这个最小周长的值=AB+BC+AC′，过根据勾股定理即可得到结论．
解：∵点A（2，2），点B的纵坐标为2，
∴AB∥x轴，
∵OC是第一象限的角平分线
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∴∠B=90°，
∵C（4，4）
∴B（4，2），
∴AB=BC=2，
作C（4，4）关于y轴的对称点C′（-4，4），
连接AC′交y轴于D′，
则此时，四边形ABCD′的周长最小，且CD= C′D，
则这个最小周长的值=AB+BC+AC′，
∵C′（-4，4），A（2，2）
∴ ，
∴四边形ABCD的最小周长值= ，
故答案为：【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是
学会利用轴对称解决最短问题．
14． ．
【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交
x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点
间的距离公式即可得到结论．
解：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，交 轴
于 ，
则此时，四边形 的周长最小，且四边形的最小周长 ，
点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
， ，
， ，
四边形 的最小周长 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键．
15．
【分析】利用勾股定理可用m表示出OB的长，根据平方的非负数性质即可得答案．
解：∵点B的坐标是(m，m-4)，
∴OB= = ，
∵(m-2)2≥0，
∴2(m-2)2+8≥8，
∴ 的最小值为 = ，即OB的最小值为 ，
故答案为：
【点拨】本题考查勾股定理的应用及平方的非负数性质，熟练掌握平方的非负数性质是解
题关键．
16．8 ．
【分析】作点C关于x轴的对称点C'，过点C作CF⊥OA于点E，交x轴于点F．FC＝
FC'，FE+FC＝FE+FC'＝C'E，当C'E⊥OA时，C'E最小，即FE+FC的最小．
解：作点C关于x轴的对称点C'，过点C作CF⊥OA于点E，交x轴于点F．
则FC＝FC'，
FE+FC＝FE+FC'＝C'E，当C'E⊥OA时，C'E最小，即FE+FC的最小．
∵C（11，5），
∴C'（11，﹣5），
射线OA是第一象限的角平分线，
设直线EC'：y＝﹣x+b，
将C'（11，﹣5）代入，
﹣5＝﹣11+b，
解得b＝6，
∴直线EC'：y＝﹣x+6，
设E（m，m），
则m＝﹣m+6，
m＝3，E（3，3），
∴EC'＝ ＝8
即FE+FC的最小值是8 ．
故答案为8 ．
【点拨】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是根据题意作出辅助线求解.
17．2
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC时，BC有最小值，从而可确定点C的坐标．
解：如图所示：
由垂线段最短可知：当BC⊥AC时，BC有最小值．
∴点C的坐标为（3，2），线段的最小值为2．
故答案为2.
【点拨】本题主要考查的是垂线段的性质、点的坐标的定义，掌握垂线段的性质是解题的关键．
18．（0， ）
【解析】
【分析】作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于C，连接AC，此时AC＋BC的值
最小．求出直线BA′的解析式即可解决问题；
解：作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于C，连接AC，此时AC＋BC的值最小．
∵A（1，2），B（4，4），A′（−1，2），
设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，则有 ，
解得 ，
∴直线BA′的解析式为y＝ x＋ ，
∴C（0， ）．
故答案为（0， ）
【点拨】本题考查轴对称−最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．
解：分析：设M、N分别是OC，EF的中点，若直线l将梯形OABC分为面积相等的两部
分，则根据梯形的面积公式就可以求出CE+OF=6，由此可以得到MN=3，并且N是一个定
点，若要C到l的距离最大，则l⊥CN，此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长．
详解：设M、N分别是OC，EF的中点.
∵O（0，0），A（7，0），B（5，2），C（0，2）,∴OA=7,OC=2,BC=5,
∴S = .
梯形ABCD
若直线l将梯形ABCD分为面积相等的两部分，则S = S =6，
梯形OCEF 梯形ABCD
∴ ,
∴CE+OF=6,
∴MN=3,
∴N是一个定点
若要C到l的距离最大，则l⊥CN,
此时点C到动直线l的距离的最大值就是CN的长.
在Rt△CMN中，CM=1，MN=3
∴CN= .
故答案为 .
点睛：本题考查了梯形的面积公式，梯形的中位线，勾股定理等知识，根据题意确定出点
N的位置是解答本题的关键.
20．7
【解析】
过点B作BD⊥直线x=5，交直线x=5于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点
E，直线x=2与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=5与AB交于点N，如
图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵
直线x=2与直线x=5均垂直于x轴，
∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD=OF=2，∴OE=5+2=7，
∴OB= ．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，
最小值为OB=OE=7．
故答案为：7．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练
掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键。
21．2
【解析】
试题解析：在平面直角坐标系中，点A(4，0)，点B(m， m)，点C为线段OA上一点(点
O为原点)，则AB＋BC的最小值为 .
22．
【分析】根据平面直角坐标系，可以假设 ，则 ， ，则
，欲求 的最小值，相当于在 轴上找一点，使得 到 ， ， 的距离和的最小值，如图1中，作点 关于 轴
的对称点 ，连接 交 轴题意 ，连接 ，此时 的值最小，最小值
的长．
解：建立如图坐标系，
在 中， ， ， ，
，
，
斜边 上的高 ，
，
，斜边 上的高为 ，
可以假设 ，则 ， ，
，
欲求 的最小值，相当于在 轴上找一点 ，使得 到 ， ，
的距离和的最小值，如图1中，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴题意 ，连接 ，此时 的值最小，
最小值 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学
会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．
【分析】过B作BE⊥y轴于E，连接BP，依据OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝
BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，在Rt△BCE中利用勾股
定理即可得到BC的长，进而得出PA+PC的最小值是．
解：如图，
过B作BE⊥y轴于E，连接BP，
∵△OAB是边长为 的等边三角形，OD是AB边上的高，∴OD是中线，
∴OD垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴PA+PC＝BP+PC，
当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，
∵ ，OB＝ ，
∴BE＝ ，OE＝3，
又∵点C的坐标是（0， ），
∴OC＝ ，CE＝4，
∴Rt△BCE中，BC＝ ＝ ＝ ，
即PA+PC的最小值是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P的
位置以及表示PA+PC的最小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考
虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得出△ABC关于y轴对称的△ABC ；
1 1 1
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，与x轴的交点即为点P；
（3）连接PC 、OC ，OP，依据三角形面积计算公式即可得到△POC 的面积．
1 1 1
解：（1）如图所示，△ABC 即为所求；
1 1 1（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，△POC 的面积= ．
1
【点拨】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线
段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
25．（1） ， ；（2） ；（3） 3
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出A、B的坐标即可；
（2）根据点到直线上一点，垂线段最短即可求解；
（3）根据三角形ABC的面积公式求解即可.
解：（1） ， ；
（2）∵点到直线上一点的距离，垂线段最短
∴ ；
（3）如图所示： ， 就是所求的线段
三角形 的面积： ．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，点到直线上一点的距离，垂线段最短，
解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
