文档内容
专题3.12《图形的平移与旋转》全章复习与总结（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并运用平移的性质解决实际问题；
2、理解并掌握旋转的性质及三要素并能解决一些较综合的有关旋转问题；
3、理解中心对称和中心对称图形的区别与联系，并在平面直角坐标系中加以运用。
【要点梳理】
要点一、平移的基本性质：
1、经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平
行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。
2、平移的要素:确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
要点二、旋转的性质
1、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ ).
2、三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点三、中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形
重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【典型例题】
类型一、平移及平移性质
1．如图， ABC 是 ABC向右平移4个单位长度后得到的，且三个顶点坐标分别为
1 1 1
△ △
A（1，1），B（4，2），C （3，4）．
1 1 1
（1）请画出 ABC，并写出点A、B、C的坐标；
（2）求出 C△OA
1
的面积．
△【答案】（1）图见解析，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；（2）
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用 COA 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
1
解：（1）如图△所示： ABC即为所求，A（﹣3，1），B（0，2），C（﹣1，4）；
△
（2） COA 的面积为：
1
△
．
【点拨】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
举一反三
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到
△DEF．
（1）试求出∠E的度数；（2）若AE=9cm，DB=2cm．请求出CF的长度．【答案】（1）57°；（2）3.5cm.
【分析】
（1）根据平移可得，对应角相等，由∠CBA的度数可得∠E的度数；
（2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由BE的长可得CF的长.
解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，
∴∠CBA=90°-33°=57°，
由平移得，∠E=∠CBA=57°；
（2）由平移得，AD=BE=CF，
∵AE=9cm，DB=2cm，
∴AD=BE= （9-2）=3.5cm.
∴CF=3.5cm.
【点拨】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会
得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平
行且相等.
【变式2】如图，在平面直角坐标系中， 如图所示．
（1）画出把 向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度得到的 ，并
写出 的坐标；
（2）画出把 关于 轴对称的 ，并写出 、 两点坐标．【答案】（1）作图见解析， ；（2）作图见解析， 、 ．
【分析】
（1）根据平移规则，分别作出A，B，C的对应点A、B、C 即可．
1 1 1
（2）根据轴对称的性质，分别作出A，B，C 的对应点A，B、C 即可．
1 1 1 2 2 2
解：（1）如图，△ABC 为所求作的图形， ；
1 1 1
（2）如图，△ABC 为所求作的图形， 、 ．
2 2 2
【点拨】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
类型二、旋转及旋转性质
2.如图1，在 中， ，点D，E分别在边 上，且 ，连接 ．现将 绕点A顺时针方向旋转，旋转角为 ，
如图2，连接 ．
（1）当 时，求证： ；
（2）如图3，当 时，延长 交 于点 ，求证： 垂直平分 ；
（3）在旋转过程中，求 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 的面积的最大值为 ，
旋转角 的度数为
【分析】
（1）利用 “SAS”证得 ACE ABD即可得到结论；
△ △
（2）利用 “SAS”证得 ACE ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=
△ △
，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，利用
等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
解：（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90 ，
∴∠CAE=∠BAD，
在 ACE和 ABD中， ，
△ △
∴ ACE ABD(SAS)，
∴△CE=BD；△
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90 ，
在 ACE和 ABD中，
△ △，
∴ ACE ABD(SAS)，
∴△∠ACE=∠△ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90 ，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90 ，
∴∠EFB=90 ，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，
∴BC= AB = ，CD= AC+ AD= ，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3） 中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时 的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时， 的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC= ，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90 ，DG⊥BC于G，
∴AG= BC= ，∠GAB=45 ，
∴DG=AG+AD= ，∠DAB=180 -45 =135 ，∴ 的面积的最大值为： ，
旋转角 ．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
举一反三
【变式1】【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，
PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将 BPC绕点B逆时针旋转90°，得到 BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明△的思路，任选一种写出完整的解答过△程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC= ，求∠APB的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
分析：（1）先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出
PP'，进而判断出 APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；
（2）同（1）的思△路一的方法即可得出结论．
解：（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，
在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'= BP=2 ，
∵AP=1，
∴AP2+PP'2=1+8=9，
∵AP'2=32=9，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP= ，
在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'= BP= ，∵AP=3，
∴AP2+PP'2=9+2=11，
∵AP'2=（ ）2=11，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．
点拨：此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的
性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
【变式2】如图， 与 关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出
△DOF≌△BOE即可．
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，
∴OF=OE．
∵在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．
类型三、对称中心及性质
3、如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均
为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）作点A关于点O的对称点 ；（2）连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转90°得点B对应点 ，画出旋转后的线段
；
（3）连接 ，求出四边形 的面积．
【答案】作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．
【分析】
（1）连接AO并延长一倍即可得到 ；
（2）由于 是一个 正方形对角线，再找一个以 为顶点的 正方形，与 相对
的点即为 ，连接线段 ；
（3）连接 ，由 求出四边形面积．
解：如图所示（1）作出点A关于点O的对称点 ；
（2）连接 ，画出线段 ；
（3）连接 ，过点A作 于点E，过点 作 于点F；
．
∴四边形 的面积是24．
【点拨】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，
熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，已知A（—3，—3），B（—2，—1），C（—1，—2）是直角坐标平面上
三点．
（1）请画出ΔABC关于原点O对称的ΔAB C ，
1 1 1
（2）请写出点B关天y轴对称的点B 的坐标，若将点B 向上平移h个单位，使其落在
2 2
ΔAB C 内部，指出h的取值范围．
1 1 1【答案】（1）
（2）2＜h＜3.5
解：（1）作图如下：
（2）点B 的坐标为（2，－1）；
2h的取值范围为2＜h＜3.5
（1）作出点A、B、C关于原点的对称点A、B 、C ，连接即可．
1 1 1
（2）根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改
变点的纵坐标，下减上加，因此点B 的坐标为（2，－1）．
2
由图可知，点B 向上平移h个单位，使其落在ΔAB C 内部，则点在B 与AC 中点之间．
2 1 1 1 1 1 1
类型四、综合训练
4、．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A B C ；
(3) 在 轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.
【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，
0）
【分析】(1)按题目的要求平移就可以了，关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都
变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可
(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直
线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B
两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
解：（1）△AB C 如图所示；（2）△AB C 如图所示；（3）△PAB如图所示，点P的坐
1 1 1 2 2 2
标为：（2，0）【点拨】1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用
5、如图,在Rt△ACB中,四边形DECF为正方形,回答下列问题.
(1)简述图1经过怎样的变换可形成图2?
(2)若AD=3,BD=4,求△ADE与△BDF的面积之和.
【答案】（1）把△ADE绕D点逆时针旋转90°得△ADF；（2）6.
1
【分析】
（1）观察图形，发现DA旋转到DA ，DE旋转到DF，而∠EDF=90°，由旋转的定义即可
1
描述由图（1）变成图（2）的形成过程；
（2）由图形的旋转可知，图形顺时针旋转了90°，即∠EDF=∠ADA =90°，可得
1
∠ADB=90°，△ADE和△BDF面积的和即为△ADB的面积．
1 1
解：(1)由题意可得,把△ADE绕D点逆时针旋转90°得△ADF.
1
(2)由图及(1)知S +S = ,
△ADE △BDF
根据图形的旋转性质可知AD=A D,∠ADE=∠ADF,
1 1
又∵∠ADE+∠FDB=90°,
∴∠ADF+∠FDB=90°,即∠ADB=90°.
1 1
∴在Rt△ADB中,AD=AD=3,BD=4,
1 1
AD×BD=6,
1∴△ADE与△BDF面积之和为6.
【点拨】本题考查了旋转的性质，（1）熟记旋转的性质并确定出旋转角的度数是解题的关
键，（2）通过旋转将两个图形“移”到同一个图形中去，便于计算面积．
6、在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称
这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着
它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有
一个旋转角为90°．
（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）：
①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）
② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ）
（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．
（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ．
（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下
列条件：
①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，
正二十边形
【详解】阅读题中信息，弄清旋转对称图形和旋转角是解决本题的关键．
7、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这
个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S ＜S ，过点A画
ABC ACD
△ △
出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．【答案】（1）6；无数（2）见解析（3）图见解析，理由见解析
【分析】
（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；
过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形
有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线．
（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
（3）过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据△ABC和△AEC的公共边
AC上的高也相等推知S =S ；由“割补法”可以求得
ABC AEC
△ △
．
解：（1）6；无数．
（2）这个图形的一条面积等分线如图：
连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图
形的一条面积等分线．
（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：
理由如下：
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴S =S ．
ABC AEC
△ △∴ ．
∵S ＞S ，
ACD ABC
△ △
∴面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积
等分线．
