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2021-2022学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.10第3章圆单元测试（能力过关卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021秋•惠山区校级期中）已知 的半径为3， ，则点 与 的位置关系是
A．点 在 内 B．点 在 上 C．点 在 外 D．不能确定
【分析】根据题意得 的半径为3，则点 到圆心 的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可
判断点 在 外．
【解析】 、 ，
，
则点 在 外，
故选： ．
2．（2021秋•杭锦后旗期中）如图， 的半径为10， 是 的中点，且 ，则 的弦 等
于
A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】连接 ，即可证得 是直角三角形，根据勾股定理即可求得 的长即可．
【解析】连接 ，是 的中点，
，
，
在 中， ，
．
故选： ．
3．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，四边形 内接于 ， 为直径， 平分 ，若
，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】首先根据角平分线的定义及 的度数求得 的度数，然后求得 的度数，利用圆内接
四边形的性质求得答案即可．
【解析】 平分 ， ，
，
是直径，
，
，
四边形 内接于 ，
，
故选： ．4．（2021 秋•新罗区校级期中）如图， 是 的直径，弦 交 于点 ， ， ，
，则 的长为
A． B． C． D．8
【分析】过 点作 于 ，连接 ，如图，先计算出 ， ，再利用垂径定理得
到 ，接着利用含30度的直角三角形三边的关系求出 ，则利用勾股定理可计算出 ，从而
得到 的长．
【解析】过 点作 于 ，连接 ，如图，
， ，
，
， ，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
．
故选： ．
5．（2021秋•思明区校级期中） 的半径为3，点 到直线 的距离为4，则反映直线 与 位置关系的图形
A． B．
C． D．
【分析】根据圆 的半径和圆心 到直线 的距离的大小，相交： ；相切： ；相离： ；即
可选出答案．
【解析】 的半径为3，圆心 到直线 的距离为4，
，即： ，
直线 与 的位置关系是相离．
故选： ．
6．（2021秋•丛台区校级期中）已知矩形 中， ， ，以点 为圆心 为半径作圆，且
与边 有唯一公共点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】由于 ，根据点与圆的位置关系得到 ．
【解析】 矩形 中， ， ，
， ， ，
以点 为圆心作圆， 与边 有唯一公共点，
的半径 的取值范围是： ；
故选： ．7．（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，从 外一点 引圆的两条切线 ， ，切点分别是 ， ，
如果 ， ，那么弦 的长是
A．3 B．6 C． D．
【分析】先利用切线长定理得到 ，再利用 可判断 为等边三角形，然后根据等边
三角形的性质求解．
【解析】 ， 为 的切线，
，
，
为等边三角形，
．
故选： ．
8．（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系 中， 的半径为2，点 的坐标为 ，
若将 沿 轴向右平移，使得点 落在 上，则 向右平移的距离为
A．1 B．5 C． 或 D．1或5
【分析】分圆 在 轴的左侧与 轴相切、圆 在 轴的右侧与 轴相切两种情况，根据切线的判定定理
解答．
【解析】当圆心的 轴左边时，平移的距离为 ，当圆心在 轴的右边时，平移的距离为 ，
综上所述， 向右平移的距离为 或 ；
故选： ．
9．（2021秋•上城区校级月考）如图，在扇形 中， ，以点 为圆心， 的长为半径作
交 于点 ，若 ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【分析】连接 、 ，根据题意得到 为等边三角形， ，分别求出扇形 的面积、
的面积、扇形 的面积，计算即可．
【解析】连接 、 ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
则阴影部分的面积 ，
故选： ．10．（2021秋•西湖区校级期中）如图， 是以坐标原点 为圆心， 为半径的圆，点 的坐标为
，弦 经过点 ，则图中阴影部分面积的最小值为
A． B． C． D．
【分析】由题意当 时，阴影部分的面积最小，求出 的长， 的大小即可解决问题．
【解析】由题意当 时，阴影部分的面积最小，
，
，
，
，
，
， ，
，故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•徐汇区期末）一个扇形的面积是所在圆面积的 ，那么这个扇形的圆心角是 ．
【分析】设圆心角为 ．半径为 ．利用圆面积以及扇形的面积公式计算即可．
【解析】设圆心角为 ．半径为 ．
由题意： ，
解得 ，
故答案为： ．
12．（2021秋•常州期中）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， ， 交 于点
，且 ．则 ．
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质求出 ，根据三角形外角性质求出 ，根
据等腰三角形的性质求出 ，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解析】连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为： ．
13．（2021秋•东海县期中）如图， 是 的弦．该图是轴对称图形，它的对称轴是 过圆心 且垂
直于线段 的直线 ．
【分析】过 作直线 于 ，根据垂径定理求出 ，再根据轴对称图形的定义得出即可．
【解析】
过 作直线 于 ，
过圆心 ， ，
，
即直线 是线段 的对称轴，
该图形的对称轴是直线 （即是过圆心 且垂直于线段 的直线），
故答案为：过圆心 且垂直于线段 的直线．
14．（2021秋•金华期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 是钝角 的外心，点 、 、 的
坐标分别为 ， ， ，若点 横坐标、纵坐标均为整数，则点 的坐标为 或 或
．【分析】利用三角形外心的性质得到 ，设 ， 、 为正整数），利用两点间的距离公
式得到 ，然后求此方程的正整数解即可．
【解析】 点 是 的外心，
，
设 ， 、 为正整数），
，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
点坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．15．（2021秋•越秀区校级期中）正六边形的半径为3，它的边长是 3 ，它的中心角是 ，它的面
积是 ．
【分析】首先根据题意作出图形，然后可得 是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得 的长，
继而求得正六边形的面积．
【解析】如图，连接 ， ，过点 作 于 ，
六边形 是正六边形，
，
中心角是： ，
，
是等边三角形，
，
它的边长是3；
在 中， ，
．
故答案为：3， ， ．
16．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线 、 分别与 相切于点 、 ，切线 与 相切于点 ，且分别交 、 于点 、 ，若 的周长为6，则线段 的长为 3 ．
【分析】通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形 的周长等于 ，又因为
，所以可求出 的长．
【解析】 ， 都是圆 的切线，
，
同理 ， ，
的周长 ，
；
故答案为：3．
17．（2020秋•北仑区期末）如图，点 是 的半径 上的中点，过点 作 的垂线交 于点 ，
， 是 上一点， ，过点 作 的切线 ，连接 并延长交直线 于点 ．已知 的半
径为4，则 为 ．
【分析】连接 ， ，过点 作 于点 ，由切线的性质得出 ，证明
是等边三角形，则得出 ，由直角三角形的性质求出 ， 的长，由勾股定理可得
出答案．
【解析】连接 ， ，过点 作 于点 ，为 的切线，
，
，
是 的中点， ，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．故答案为 ．
18．（2020•吉林模拟）如图， 是 的直径， 是 上的点， 切 于点 ，过点 作
，垂足为 ， 交 于点 ．若弧 弧 弧 ，且 的半径为4，则图中阴影部
分图形的面积为 （结果保留根号）．
【分析】连接 ，由 得 ，易证 ， 和
为全等的等边三角形，得出 ， ，求出 ，由含 角直角三角
形 的 性 质 得 ， 由 勾 股 定 理 得 ， 再 由
，即可得出结果．
【解析】连接 ，如图所示：
，
，
，
， 和 为全等的等边三角形，
， ，
是 的切线，
，
，
，，
由勾股定理得： ，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021•秦淮区二模）如图， 的弦 、 相交于点 ，且 ．求证 ．
【分析】连接 ，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．
【解答】证明：连接 ．
，，即 ，
，
．
20．（2020秋•兴化市月考）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 是 上的三个点， 、
、 ．
（1）圆心 的坐标为 ；
（2）判断点 与 的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦 和 的垂直平分线，交点
即为圆心．
（2）求出 的半径， 的长即可判断；
【解析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦 和 的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是
故答案为：2，0．
（2）圆的半径 ，
线段 ，
所以点 在 内．21．（2019•环江县一模）如图， 是 的弦，半径 ，点 在 的延长线上， 与 相
切于点 ，连接 ，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【分析】（1）证明 ，即可得出 ；
（2）连接 ， ，过点 作 于点 ，可得 为等边三角形，即 ， ，
在 中，求得 ， ，根据 ，可得 ， ， ，进
而可求得 的长．
【解析】（1）证明： ，
，
切 于点 ，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接 ， ，过点 作 于点 ，
，
，
，圆的半径为8，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ， ，
．
22．（2021•东城区一模）如图， 是 的内接三角形，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，
于点 ，交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得 ，再根据垂径定理可得结论；（2）根据垂径定理可得 ，结合已知条件可得 ，根据勾股定理可得 ，
再根据 ，即可求出线段 的长．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
23．（2020秋•招远市期末）已知 经过四边形 的 、 两点，并与四条边分别交于点 、 、
、 ，且 ．
（1）如图①，连接 ，若 是 的直径，求证： ；
（2）如图②，若 的度数为 ， ， ，请直接写出 、 和 之间的数量关系．
【分析】（1）连接 ， ．理由等角的余角相等证明即可．
（2）利用三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理解决问题即可．
【解析】（1）连接 、 ．
是 的直径，
，
，
，
，
，
．（2）结论： ．
理由：如图②中，连接 ， ．
，
，
， ，
，
， ，
，
．
24．（2020春•南岗区校级月考）如图1，在 中，弦 弦 ，垂足为点 ，连接 、 、
．
（1）求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，垂足为点 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 、 交于点 ，过点 作 ，垂足为 交 于 ，
若 ， ，求 的长．【分析】（1）连接 、 ，利用圆周角定理和三角形内角和定理，全等三角形的判定及等腰三角形的
三线合一即可得到结果；
（2）过点 作 ， ，根据矩形的性质和垂径定理即可得到结果；
（3）首先根据 和 的关系根据相似得出 ，然后设 ，再根据相似得出 ，然后根据
勾股定理得出 ，然后根据全等得出 ，最后根据相似得出 ．
【解析】（1）如图，连接 、 ，
，
，
，
， ，
，
，
延长 交 于点 ，
，
，
，
，
，
，
．
（2）过点 作 ，则 ，
， ， ，
，四边形 为矩形，
，
，
，
，
．
（3）如图， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
则在 中，
，，
解得： ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
