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专题 26 探究三角形相似的条件(基础题型)
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 ABC相似的是（
） △
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角
形相似判断即可．
【详解】
根据题意得： ， ， ，
∴ ，
A、图中的三角形（阴影部分）三边之比为 ，故与△ABC不相似；
B、图中的三角形（阴影部分）三边之比为 ，故与△ABC不相似；
C、图中的三角形（阴影部分）三边之比为 ，故与△ABC相似；
D、图中的三角形（阴影部分）三边之比为 ，故与△ABC不相似．
故选：C．
【点睛】考查相似三角形的判定，掌握三边对应成比例的两三角形相似是解题的关键．
2．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
【答案】D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB
与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比
相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．如图，四边形 的对角线 相交于点 ，且将这个四边形分成四个三角形，
若 ，则下列结论中正确的是（ ）A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
【详解】
解：∵四边形 的对角线 相交于点 ，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是
解题的关键．
4．如图，已知 ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE
与AB相交于点△F，那么与 BFD相似的三角形是（ ）
△A． BFE； B． BDC； C． BDA； D． AFD．
【答△案】C △ △ △
【分析】
利用等边三角形的性质可得 再利用公共角可得答案．
【详解】
解： ABC与 BDE都是等边三角形，
△ △
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
5．如图，在 中， ，将 沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形中，有 但夹角不一定相等，故不能判定两三角形相似，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．下列说法正确的是( )
A．四个内角对应相等的两个四边形一定相似
B．四条边对应成比例的两个四边形一定相似
C．一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似
D．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似
【答案】C
【分析】
根据命题的相关知识进行逐一判断即可得解.
【详解】A.四个内角对应相等的两个四边形不一定相似，A选项错误；
B.四条边对应成比例的两个四边形不一定相似，B选项错误；
C.一个顶角对应相等的两个等腰三角形相似，满足了两组边对应成比例且两边夹角相等的
判定定理，C选项正确；
D.正确说法是两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，D选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了有关三角形及四边形相似判定定理命题的判断，熟练掌握相关判定定理是
解决本题的关键.
7．下列命题中，错误的结论是（ ）
A．如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100°，那么这两个三角形相似
B．如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似
C．如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似
D．如果两个直角三角形都有一个内角等于30°，那么这两个三角形相似
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A．两个顶角为100°的等腰三角形是相似三角形，故正确，
B．两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误，
C．两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，
D．有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的判定，关键是熟练掌握有关判定定
理．
8．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定 AOB与 DOC相似的是（ ）
△ △A．AB∥CD B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB
与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比
相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
9．如图，在 ABC中，点D，E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后，不能判断
AED∽△ABC△的是（ ）
△
A． ＝ B． ＝ C．∠AED＝∠B D．∠ADE＝∠C
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．【详解】
解：A、不能判断， AED∽△ABC．
△
B、由 ＝ ，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
C、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
D、∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故能判断相似．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键，相
似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出基本图
形．
10．下列条件，能使 和 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】
解：A、 ，不能使 和△ 相似，错误；
B、 ，能使 和△ 相似，正确；C、 ，不能使 和△ 相似，错误；
D、 ，不能使 和△ 相似，错误；
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出
三角形的对应边、对应角．
11．下列能判定 的条件是( )
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得
出答案．
【详解】
解：A. ， ，则 ，故此选项错误；
B. ， ，则 ，故此选项错误；
C. ， ，则 ，故此选项错误；
D. ， ，则 ，故此选项正确；
故选：D．【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．
12．下列命题是假命题的是（ ）
A．所有等边三角形一定相似 B．所有等腰直角三角形一定相似
C．有一个角为 的两个等腰三角形相似 D．有一条边对应成比例的两个等腰三角形相
似
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】
解：A、所有等边三角形一定相似，故A选项为真命题；
B、所有等腰直角三角形一定相似，故B选项为真命题；
C、有一个角为 的两个等腰三角形相似，故C选项为真命题；
D、有一条边对应成比例的两个等腰三角形不一定相似，故D选项为假命题，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
13．如图，在△ABC中，点D在BC上一点，下列条件中，能使△ABC与△DAC相似的是
（ ）
A．∠BAD＝∠C B．∠BAC＝∠BDA C．AB2＝BD∙BC D．AC2＝CD∙CB
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定即可．
【详解】
△ABC与△DAC有一个公共角，即∠ACB=∠DCA，
要使△ABC与△DAC相似，则还需一组角对应相等，或这组相等角的两边对应成比例即可，
观察四个选项可知，选项D中的AC2=CD⋅CB，
AC CB
即 = ，正好是∠ACB与∠DCA的两边对应成比例，符合相似三角形的判定，
CD AC
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
14．如图，点D，E分别在 的边AB，AC上，且 ，则图中的相似三
角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
【答案】A
【分析】
根据相似的判定条件,寻找两组对应角即可．
【详解】
由 , ,得 ；
由 , ,可得 ；
由 , ,可得 ；
由 ,得 ,
∴ ,又 ,∴ ．故题图中的相似三角形有4对,
故选A．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
15．如图，已知 中， ， 于点D，则图中相似的三角形有
（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】D
【分析】
找出对应角判定相似即可．
【详解】
∵ ,
∴ , , ,
∵ ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ , , ,
∴题图中相似的三角形有3对．
故选D．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
16．如图所示的三个三角形中，相似的是（ ）A．（1）和（2） B．（2）和（3） C．（1）和（3） D．（1）和（2）和
（3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相似的判定找到两组对应角即可．
【详解】
题图（1）中三角形的三个内角分别为71°,65°,44°,
题图（2）中三角形的三个内角分别为71°,44°,65°,
题图（3）中三角形的三个内角分别为71°,67°,42°,
所以（1）和（2）相似．
故选A．
【点睛】
本题考查相似的判定,关键在于熟练掌握相似的判定条件．
17． 中，P为 上的一点．下列四个条件：① ：②
：③ ；④ 等，其中能判断 的有
（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：① ， ，可证 ，故①符合题意；
② ， ，可证 ，故②符合题意；
③ ， ，可证 ，故③符合题意；
④ ， ，不能证明 ，故④不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
18．如图，在 中， 为 上一点，若 ，则（ ）
A． ～ B． ～ C． ～ D．无法判断
【答案】C
【分析】
首先根据 得出 ，然后根据 即可判定 ～
，从而可得出答案．
【详解】
，
．，
∴ ～ ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．下列条件中可以判定 的是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
【答案】A
【分析】
判定两个三角形相似，可用两个对应角相等，也可以是对应边对应成比例，但必须夹角相
等．
【详解】
A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定 相似，故选项正确；
B、对应边成比例，但 不是 、 的夹角，不能判定 相似故选
项错误；
C、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定 相似故选项错误；
D、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定 相似故选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
20．如图，在 中，如果 与 不平行，那么下列条件中，不能判断 ∽
的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
【详解】
解：A、 ， ，则可判断 ，不符合题意；
B、 ， ，则可判断 ，不符合题意；
C、 ，若 成立，则 ，由题可知DE与BC不平行，符
合题意；
D、 ， ，则可判断 ，不符合题意
故选：C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知
角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.
21．如图，点D，E分别在 的 边上，增加下列哪些条件不能使 与
相似（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．
【详解】
解：由题意得，∠A=∠A，
A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当 时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
C、当 时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的
比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
22．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中
AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似
【答案】C
【分析】
对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似进行判断．
【详解】
解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）
图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于 ， ， ，∠AOC＝∠DOB，所以
△AOC∽△DOB．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握和应用相似三角形的判定定理．
23．如图，已知 是三角形 中的边 上的一点， ， 的平分线
交边 于 ，交 于 ，那么下列结论中错误的是（ ）
A．三角形 相似于三角形 B．三角形 相似于三角形
C．三角形 相似于三角形 D．三角形 相似于三角形
【答案】C
【分析】
如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，据此逐项分析即可解题．
【详解】
解：A.
又 平分故A不符合题意；
B. 平分
又
故B不符合题意；
C. 三角形 与三角形 ，仅有一个公共角 ，不能证明相似，故C错误，符
合题意；
D.
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】
利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例
即可.
【详解】
解：由图，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为： ；②图中阴影三角形的边长分别为： ；
③图中阴影三角形的边长分别为： ；
④图中阴影三角形的边长分别为： ；
可以得出①②两个阴影三角形的边长 ，
所以图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；
本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正
方形补全后计算比较准确.
25．如图，在三角形纸片中， ， ， ．将 沿图示中的虚线
剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．
【详解】
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
所以选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
26．下列命题中一定错误的是（ ）
A．所有的等腰三角形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的定义依次判断各选项即可．
【详解】
解：所有的等腰三角形都相似，如果顶角不相等，则两个等腰三角形不相似．故A错误．
有一对锐角相等的两个直角三角形相似，全等的三角形一定相似，所有的等边三角形都相
似都可根据相似判定定理得出．故B，C，D正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的定义，解答关键是按照定义进行判定．
27．下列命题中，错误的是（ ）
A．所有的正多边形都相似
B．有一对锐角相等的两个直角三角形相似
C．全等的三角形一定相似
D．所有的等边三角形都相似
【答案】A
【分析】
分别按照相似三角形和相似多边形的判定方法进行判定即可．
【详解】
解：选项A中，边数不同的正多边形不能相似，故错误；
选项B中，有一对锐角相等的两个直角三角形还有两个直角相等，则两个三角形相似，故
正确；选项C中，全等的三角形对应边之比为1，则两个三角形相似，故正确；
选项D中，全等三角形的各个内角都相等，则所有的等边三角形都相似，故正确．
故应选：A
【点睛】
本题考查了相似三角形和相似多边形的判定，解答关键是按照相关定理进行判定．
28．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：① ；② ；③ ；其中能
与 相似的是_________．（ 除外）
【答案】③（ ）
【分析】
分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】
解：根据网格可知：AB=1，AC= ，BC= ，△ABC的三边之比是
AB：AC：BC＝1： ： ，
同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1： ：2 ；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2 ： ＝1： ： ．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解
题关键．
29．一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那
么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．【答案】不一定
【分析】
如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角
三角形的两条直角边分别为3和6，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形
相似，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角
边分别为3和6，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可
判断两个三角形不相似，从而可得答案．
【详解】
解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角
边分别为3和6，
由于 而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角
边分别为3和6，
根据勾股定理得另一直角边长 则 所以这两个直角三角形不相
似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解
题的关键．
30．如图， 是 斜边 上的高， 于 ，则图中与 相似的三
角形有_________个．
【答案】4
【分析】
根据有两个角对应相等的两个三角形相似逐个判断即可．
【详解】
解：∵BD是Rt△ABC斜边AC上的高，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠ABD，
∴△ADB∽△BDC，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
同理△ADB∽△ABC；△BDE∽△DEA∽△BAD，
即图中与△ABC相似的三角形有△BDC、△ADB、△AED、△DEB共4个，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理．能利用直角三角形的两锐角互余找到对应角相等的角
是解此题的关键．
31．在 中， ，点P为 中点，经过点P的直线截
，使截得的三角形与 相似，这样的直线共有______条．
【答案】3【分析】
根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可．
【详解】
解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常
考题型．
32．（1）把长为 的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．
（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则 _________．
（3）如图， ，则图的相似三角形共有_______对．
【答案】 cm 或 3
【分析】
（1）根据黄金分割的定义，利用较长线段的长度为整个线段的 倍进行计算．（2）分BC＞AC和BC＜AC两种情况分别求解；
（3）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似可判断
相似三角形的对数．
【详解】
解：（1）较长线段的长度= ×8cm= cm；
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，
当BC＞AC时，
；
当BC＜AC时，
，
∴ = ；
（3）∵AD∥EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△AFD∽△CFB，△BEF∽△BAD，
∴共3对．
故答案为： cm； 或 ；3．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
33．如图，在 中，四边形 是平行四边形．求证： ．【答案】见解析
【分析】
根据平行得角相等，即可得证相似．
【详解】
解：证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定的方法是解题的关键．
34．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：
△DEC∽△ADF．
【答案】见解析
【分析】
根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，∴△DEC∽△ADF．
【点睛】
本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属
于中考常考题型．
35．如图，在 ABC中，∠C＝90°．
△
（1）尺规作图：在AB上求做点D使得DC＝DB．
（2）设E为BC的中点，连接DC和DE，求证 DCE∽△ABC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析△．
【分析】
（1）作出BC的垂直平分线即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：（1）作BC的垂直平分线交AB于D，
则点D即为所求；
（2）∵ ，E为BC的中点，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的证明，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
36．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】
由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
【详解】
证明：∵AC2＝AD⋅AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】
本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．
37．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A ＝∠BPD，△APC与△BPD
相似吗？为什么？
【答案】△APC与△BPD相似，理由见解析
【分析】
根据PC＝PD＝CD得出△PCD是等边三角形，从而得出∠4＝∠5＝120 º，再根据两角对应
相等即可得出△APC与△BPD．
【详解】
解： △APC与△BPD相似，理由如下：∵PC ＝PD ＝CD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠1＝∠2＝∠3＝60 º，
∴∠4＝∠5＝120 º，
又∵∠A ＝∠BPD
∴△APC ∽△BPD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等边三角
形的判定与性质．
38．我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组
类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成
比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在 和 中， ，
且 ，则 与 相似吗？并说明理由．
【答案】相似；理由见解析
【分析】
根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得 ．
【详解】
相似，理由如下：令 ，
则 ， ，
由勾股定理得：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】
本题考查三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件．
39．已知：如图，在 中， ， ， 、 分别在 、 上，
， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】
根据题意可求出 ，且其夹角相等即可证明 ．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ，
∵
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形相似的判定．掌握两边成比例且其夹角相等的两个三角形相似是解答本题
的关键．
40．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】
由矩形 ，证明 结合： ，证明： ，从
而可得结论．
【详解】
解： 矩形ABCD，
，，
，
．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关
键．
41．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．
求证：△ABD∽△DCE．
【答案】见解析．
【分析】
两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．
【详解】
证明:∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ECD=120°,
又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,
∠ADB+∠EDC=60°
∴∠DAB=∠EDC
△ABD∽△DCE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三
角形互为相似三角形．
42．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；
【答案】见解析
【分析】
根据矩形的性质可得∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°，由CF⊥CE可证∠BCF＝∠DCE，则可证
△CDE∽△CBF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°．
∵CF⊥CE
∴∠ECF＝90°．
∴∠BCD－∠ECB＝∠ECF－∠ECB．
即∠BCF＝∠DCE．
∴△CDE∽△CBF．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法是解题
的关键．
43．在 ABC中，AD、CE分别是 ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似
的三角形△，并选出一组给出证明过△程．
【答案】 ABD∽△CBE， ODC∽△BEC， OEA∽△BDA， ODC∽△OEA，证明见解析
【分析】△ △ △ △
由题意直接根据相似三角形的判定方法进行分析即可得出答案．
【详解】解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．
∵AD、CE分别是△ABC的两条高，
∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠EBC＝∠ABD，
∴△ABD∽CBE．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．注意掌握相似三角形的判定以及数形结合思想的应用．
44．如图，在 中， ， 于 ．
（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
【答案】（1） ， ；（2）详见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出 ， ，
；
（2）根据题意可选择证明 ，利用等角代换得出 ，从而利用
两角法判断 ．
【详解】
解： 根据相似三角形的判定定理可知：
图中的两对相似三角形为： 和 ；
（2）∵ ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题
的关键．
