专题22数轴上的动点形成的线段问题（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题22 数轴上的动点形成的线段问题 1．已知：数轴上点 、 、 表示的数分别为 、 、 ，点 为原点，且 、 、 满足 ． （1）直接写出 、 、 的值； （2）如图1，若点 从点 出发以每秒1个单位的速度向右运动，点 从点 出发以每秒3个单 位的速度向右运动，点 从点 出发以每秒2个单位的速度向右运动，点 、 、 同时出发， 设运动的时间为 秒， 为何值时，点 到点 、 的距离相等； （3）如图2，若点 从点 出发以每秒1个单位的速度向左运动，点 从点 出发以每秒3个单 位的速度向左运动，点 ， 同时出发开始运动，点 为数轴上的一个动点，且点 始终为线段 的中点，设运动时间为 秒，若点 到线段 的中点 的距离为3时，求 的值． 【解答】解：（1） ． ， ， ， ， ， ； （2）由题意得， ，或， ， 解得， ，或 ， 为 或 时，点 到点 、 的距离相等； （3）由题意知， 点表示的数为： ， 是 的中点， 表示的数为： ， 是 的中点， 点 表示的数为： ，， ， 或7． 2．如图1，数轴上点 分别表示的数为 ，点 表示的数为3，若在数轴上存在点 ，使得 ，则称点 为点 和 的“ 级精致点”，例如，原点 表示的数为 0，则 ，则称点 为点 和点 的“6级精致点”，根据上述规定，解答下列问题： （1）若点 在数轴上表示的数为 ，点 为点 和点 的“ 级精致点”，则 1 0 ； （2）若点 是数轴上点 和点 的“8级精致点”，求点 表示的数； （3）如图2，数轴上点 和点 分别表示的数是 和4，若点 是点 和点 的“ 级精致 点”，且满足 ，求 的值． 【解答】解：（1） 表示的数为 ， 表示的数为3，点 在数轴上表示的数为 ， ， ， ． 故答案为：10； （2）如图所示： 点 是数轴上点 和点 的“8级精致点”， ， ， 在点 的左侧或在点 的右侧， 设点 表示的数为 ，则 ， 或 ， 或4， 点 表示的数为 或4；（3）分三种情况： ①当点 在 延长线上时， 不能满足 ， 该情况不符合题意，舍去； ②当点 在线段 上时，可以满足 ，如下图， ； ③当点 在 延长线上时， ， ， 点 表示的数为7， ， 综上所述： 的值为6或12． 3．已知线段 为常数），点 为直线 上一点（不与点 、 重合），点 、 分别 在线段 、 上，且满足 ， ． （1）如图，当点 恰好在线段 中点，且 时，则 6 ； （2）若点 在点 左侧，同时点 在线段 上（不与端点重合），请判断 的 值是否与 有关？并说明理由． （3）若点 是直线 上一点（不与点 、 重合），同时点 在线段 上（不与端点重合）， 求 长度（用含 的代数式表示）．【解答】解：（1）设 ， ，则 ， ． ， ， ， ． （2） 的值与 无关．理由如下： 如图1， ， 与 的取值无关， 的值与 无关； （3）设 ， ，则 ， ①当 点在 点右边时， 满足 ， 在线段 上，如图2 此时， 不是线段 上的点，不符合题意，舍去； ②当点 在点 的左边，如图3，， ， ， ； ③当点 在线段 上时，如图4， ， ， ， ； 长度为 ． 综上， 长度为 ． 4．列方程解应用题 如图，在数轴上的点 表示 ，点 表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从 、 两点同时出 发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度 秒，乙的平均速度为1单位长度 秒．请问： （1）两只蜗牛相向而行，经过 3 秒相遇，此时对应点上的数是 ． （2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？ 【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过 秒相遇，依题意有 ， 解得 ．． 答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2． （2）设两只蜗牛都向正方向而行，经过 秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有 ， 解得 ． 答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙． 5．如图，已知 、 和线段 都在数轴上，点 、 、 、 对应的数字分别为 、0、2、 11．线段 沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，设移动时间为 秒 （1） ；（用含有 的代数式表示． （2）当 秒时， ； （3）若点 、 与线段 同时移动，点 以每秒2个单位长度的速度向数轴的正方向移动，点 以每秒1个单位长度的速度向数轴的负方向移动．在移动过程中，当 时， 的值为 ． 【解答】解：（1） 点 、 、 对应的数字分别为 、0、2，线段 沿数轴的正方向以每 秒1个单位的速度移动，移动时间为 秒， 移动后 表示的数为 ， 表示的数为 ， ． 故答案为： ． （2） 在数轴上移动， ， ， 当 在 中间时， ， 要使 ，则 应在 点右侧，此时 ， ， ， 解得： ． 故答案为： ．（3）假设能相等，则点 表示的数为 ， 表示的数为 ， 表示的数为 ， 表示的数 为 ， ， ， ， ， 解得： ， ． 故在运动的过程中 和 能相等，此时运动的时间为 秒或8秒 故答案是： 或8． 6．已知 是最大的负整数， 是 的相反数， ，且 、 、 分别是点 、 、 在数 轴上对应的数． （1）求 、 、 的值； （2）若动点 从点 出发沿数轴正方向运动，动点 同时从点 出发也沿数轴正方向运动，点 的速度是每秒3个单位长度，点 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点 可以追上 点 ？ （3）在（2）的条件下， 、 出发的同时，动点 从点 出发沿数轴正方向运动，速度为每秒 6个单位长度，点 追上点 后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点 再运动几秒， 到 的距离等于 到 距离的两倍？ 【解答】解：（1） 是最大的负整数， ， 是 的相反数， ，， ； （2）由题意，可知 点表示的数是 ， 点表示的数是5， 设运动 秒后， 点对应的数是 ， 点对应的数是 ， 点追上 点时，两个点表示的数相同， ， ， 运动3秒后，点 可以追上点 ； （3）由（2）知， 秒后， 点对应的数是 ， 当 点追上 点时， ， ， 此时 点对应的数是6.6， 此后 点向数轴负半轴运动， 点对应的数是 ， ， ， 由题意，可得 ， 当 时， ， ； 当 时， ， ； 或 ， ， ，追上后，再经过 或 到 的距离等于 到 距离的两倍． 7．点 、 、 、 在数轴上的位置如图1所示，已知 ， ， ． （1）若点 为原点，则点 表示的数是 ； （2）若点 、 、 、 分别表示有理数 ， ， ， ，则 ； （3）如图2，点 、 分别从 、 两点同时出发，点 沿线段 以每秒1个单位长度的速度 向右运动，到达 点后立即按原速折返；点 沿线段 以每秒2个单位长度的速度向左运动，到 达 点后立即按原速折返．当 、 中的某点回到出发点时，两点同时停止运动． ①当点停止运动时，求点 、 之间的距离； ②设运动时间为 （单位：秒），则 为何值时， ？ 【解答】解：（1）若点 为原点，则点 表示 ，点 表示 ， 故答案为： ； （2）由题意知 ， ， ， 则 ， ，即 ， 故答案为：2； （3）①由题意知点 回到起点需要6秒，点 回到起点需要4秒， 当 时，运动停止， 此时 ， ， ，； ②分以下两种情况： 1、当点 未到达点 时，可得方程： ，解得 ； 2、当点 由点 折返时，可得方程 ，解得： ； 综上，当 或 时， ． 8．已知数轴上两点 、 对应的数分别为 、3，点 为数轴上一动点，其对应的数为 ． （1）若点 为 的中点，直接写出点 对应的数； （2）数轴的原点右侧有点 ，使点 到点 、点 的距离之和为8．请直接写出 的值． 5 ； （3）现在点 、点 分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时 点 以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点 与点 之间的距离为3个单位 长度时，求点 所对应的数是多少？ 【解答】解：（1）点 所对应的数 ； （2）由题意得， ， 又因为 ， ，且点 在原点的右侧， 所以点 所表示的数 ， 所以 ， 解得 ， 故答案为：5； （3）设移动的时间为 秒， ①当点 在点 的左边，使 时，有 ， 解得 ，此时点 移动的距离为 ， 因此点 所表示的数为 ， ②当点 在点 的右边，使 时，有 ， 解得 ， 此时点 移动的距离为 ， 因此点 所表示的数为 ， 所以当点 与点 之间的距离为3个单位长度时，点 所对应的数是 或 ． 9．已知有理数 ， ， 在数轴上对应的点分别为 ， ， ，其中 是最小的正整数， ， 满足 （1）填空： ， ， （2）现将点 ，点 和点 分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数 轴上同时向右运动，设运动时间为 秒． ①定义：已知 ， 为数轴上任意两点，将数轴沿线段 的中点 进行折叠，点 与点 刚 好重合，所以我们又称线段 的中点 为点 和点 的折点． 试问：当 为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？ ②当点 在点 左侧时（不考虑点 与点 重合），是否存在一个常数 使得 的值 在一定时间范围内不随 的改变而改变？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 最小的正整数是1， ， 由题意得， ， ， 解得， ， ， 故答案为： ；1；5；（2）① 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ． 当点 为点 和点 的对折点时，有： 解得 ； 当点 为点 和点 的对折点时，有： ． 解得 （舍去）； 当点 为点 和点 的对折点时，有： ． 解得 ． 综上所述，满足条件的 的值是 或 ． ② 秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ． 当点 在点 的左侧时，如图所示， ， ． 的值在一定时间范围内不随 的改变而改变， ． ； 当点 在点 与点 之间时，如图所示，， ． 的值在一定时间范围内不随 的改变而改变， ． ． 综上： 的值是2或 ． 10．如图，点 、 分别在数轴原点 的两侧，且 ，点 对应数是20． （1）求 点所对应的数； （2）动点 、 、 分别从 、 、 同时出发，其中 、 均向右运动，速度分别为2个单 位长度 秒，4个单位长度 秒，点 向左运动，速度为5个单位长度 秒，设它们的运动时间为 秒，当点 恰好为 的中点时，求 的值及 所表示的数； （3）当 时， 的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由． 【解答】解：（1） 点 对应的数是20， ， ， ． 又 点 在原点的左侧， 点 对应的数为 ． （2）当运动时间为 秒时，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ， 依题意，得： ， 解得： ， ， 即 所表示的数为0；当点 恰好为 的中点时， ， 所表示的数为0； （3）当 时， 的值保持不变；理由如下： 当 时， ， 当 时， 的值保持不变，定值为10． 11．已知 是多项式 的常数项， 是项数． （1） ； ； （2）在数轴上，点 、 分别对应实数 和 ，点 到点 和点 的距离分别为 和 ， 且 ，试求点 对应的实数． （3）动点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点 从 点以每秒3 个单位长度的速度向左匀速运动，到达 点后，立即改变方向往右运动到达 点后停止运动；若 、 同时出发，在此过程中，经过多少秒时点 为 或 的中点． 【解答】解：（1）多项式 的项数是3， ， 常数项是 ， ； 故答案为 ，3； （2）设点 对应的实数是 ， ， ， 当 时， ， ； 当 时， ， ； 点对应的数是6或 ； （3）设 点对应的数是 ， 当 ， 点对应的数是 ，是 的中点时， ， ； 是 的中点时， ， ； 当 时， 点对应的数是 ， 是 中点时， ， ； 是 中点时， ， ； 当 回到点 后，点 是 的中点，则 ， 此外，当 时，点 、 、 三点重合，故此时，点 也为 的中点， ， 点运动的最大距离为16， ， 综上所述：经过 或 或 或 时，点 为 或 的中点． 12．如图，已知点 、 、 是数轴上三点， 为原点．点 对应的数为6， ， ． （1）求点 、 对应的数； （2）动点 、 分别同时从 、 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运 动． 为 的中点， 在线段 上，且 ，设运动时间为 ． ①求点 、 对应的数（用含 的式子表示）； ② 为何值时， ． 【解答】解：（1） 点 对应的数为6， ，点 表示的数是 ， ， 点 表示的数是 ． （2）① 动点 、 分别同时从 、 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是 ， ， ， 为 的中点， 在 上，且 ， ， ， 点 表示的数是 ， 表示的数是6， 表示的数是 ， 表示的数是 ． ② ， ， ， ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， 故当 秒或 秒时 ． 13．如果 、 两点在数轴上分别表示有理数 、 ，那么它们之间的距离 ．如图1， 已知数轴上两点 、 对应的数分别为 和8，数轴上另有一个点 对应的数为 （1）点 、 之间的距离 ． （2）若点 在 、 之间，则 ． （3）①如图2，若点 在点 右侧，且 ，取 的中点 ，试求 的值． ②若点 为点 右侧的一个动点，取 的中点 ，那么 是定值吗？如果是，请求出 这个定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）点 、 之间的距离 ， 故答案为： ； （2） 点 在 、 之间， ， ， 故答案为：11； （3）① 对应的数为8， 对应的数为12，点 是 的中点， 对应的数为 ， ； ②设点 对应的数为 ， 点 是 的中点， 对应的数为 ， ， 是定值． 14．如图1，已知数轴上有三点 ， ， ，点 是线段 的中点． 若点 对应的数是3，点 对应的数是9，则点 对应的数是 6 ；若点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，则点 对应的数是 ； 若点 对应的数是 ，点 对应的数是8，则点 对应的数是 ； （2）在（1）的条件下，若点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，请你猜想：线段 的中点 对应的数是 （用含 ， 的代数式表示）． （3）如图2，在数轴上，若点 ， ， 对应的数分别是 ，0，100，点 是线段 的中点， 动点 、 分别从 、 两点同时出发沿数轴向左运动，点 、 的速度分别为10单位长度 秒、 5单位长度 秒，点 为线段 的中点，在上述运动过程中， 的值是否发生变化？若 不变，求其值；若改变，请说明理由． 【解答】解：（1） 数轴上点 对应的数是3，点 对应的数是9， ， 而点 是线段 的中点， ， 点 表示的数是6． 若点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，则 ， 点 是线段 的中点， ， 点 表示的数是 ． 若点 对应的数是 ，点 对应的数是8，则 ， 点 是线段 的中点， ， 点 表示的数是3． 故答案为6， ，3． （2）由（1）规律可知：若点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，猜想：线段 的中点 对应 的数是 ， 故答案为 ． （3）设经过的时间为 ， 则 ， ，于是 点为 ， 一半则是 ， 所以 点为： ， 又 ， 所以 为定值． 15．如图1，已知线段 ，点 为线段 上的一点，点 、 分别是 和 的中点． （1）若 ，则 的长为 1 2 ； （2）若 ，求 的长； （3）动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，相向而行，点 以每秒3个单位长度沿线段 向 右匀速运动， 点以 点速度的两倍，沿线段 向左匀速运动，设运动时间为 秒，问当 为多 少 秒 时 ， 之 间 的 距 离 为 6 ？ 【解答】解：（1） ， ， ， 点 、 分别是 和 的中点， ， ， ，即 的长是12； 故答案为：12； （2） ， ， ， 点 、 分别是 和 的中点， ， ， ，即 的长是12；（3） ， ， 或 ， 或 ， 解得： 或 ， 当 秒或 秒时， ， 之间的距离为6．