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专题 3.4 二次函数与幂函数
题型一 二次函数的图象
题型二 二次函数的单调性
题型三 二次函数在区间上的最值问题
题型四 二次函数恒成立问题
题型五 幂函数的定义
题型六 判断幂函数的图象
题型七 根据幂函数的单调性比较大小
题型八 根据幂函数的单调性求参数
题型九 根据幂函数的单调性解不等式
题型一 二次函数的图象
例1．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知a，b，c成等比数列，则二次函数
的图像与x轴的交点个数是___________.
例2．（2021秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）二次函数
的图像如图所示，则下列结论中正确的个数是____．
（1） 异号；（2）当 和 时，函数值相等；（3） ；（4）当 时，
的取值只能为0.
练习1．（2022秋·辽宁·高三校联考阶段练习）若二次函数 的图像如图所示，
则一元二次不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
练习2．（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考期中）若函数 恒满足
对称，则实数m的取值为______
练习3．（2022秋·江苏宿迁·高三校考阶段练习）（多选）二次函数 的图像
恒在 轴上方的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
练习4．（2020秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知 ，且 是方
程 的两根，则 大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习5．（2022秋·安徽合肥·高三中国科技大学附属中学校考阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，则 （ ）A． B．6 C． D．3
题型二 二次函数的单调性
例3．（2021秋·江苏苏州·高三统考期中）已知函数 在 上单调
递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设 是定义在 上偶函数，则
在区间 上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与 ， 有关，不
能确定
练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 单调递减，
则实数 的取值范围为 __．
练习7．（2022秋·海南·高三嘉积中学校考期中）已知 在 上为减
函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习8．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数
在区间 上是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习9．（2022秋·江苏连云港·高三统考期中）（多选）已知函数 ，则
（ ）
A． 是 上的偶函数 B． 是 上的偶函数C． 在区间 上单调递减 D．当 时， 的最大值是4
练习10．（2023春·广西南宁·高三校考开学考试）函数 的单调减区间为
______；
题型三 二次函数在区间上的最值问题
例5．（2022·高三单元测试）已知函数 R)．当 时，设
的最大值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全国·高一专题练习）函数 在区间 上的最大值
为 ．求 的解析式；
练习11．（2023秋·河北承德·高三统考期末）已知函数 的最大值为0，
关于 的不等式 的解集为 ，则 ______， 的值为______.
练习12．（2022秋·河北沧州·高三统考期中）（多选）已知函数
则（ ）
A． 为偶函数 B． 在区间 上单调递减
C． 的最大值为 D． 的最小值为
练习13．（2021秋·广东云浮·高三统考期末）（多选）若函数 满足
， ，则（ ）
A． B．
C． 图像的对称轴是直线 D． 的最小值为练习14．（2023秋·江苏淮安·高三淮阴中学校考期末）已知函数 的值域为 ，
则函数 定义域可能为（ ）
A． B． C． D．
练习15．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数 在 上有最大值，
最大值为 ，当 取最小值时， （ ）
A．0 B．1 C． D．
题型四 二次函数恒成立问题
例7．（2019秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若命题“ ，
”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2022秋·广东广州·高三广东实验中学越秀学校校考期中）已知命题“ ，
”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习16．（2023·全国·高三专题练习）p： ， 为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
练习17．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）“ ，
”是真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．练习18．（2023秋·湖南衡阳·高三统考期末）命题p： ， 的否定为
___________；使命题p成立的一个x的值为___________．
练习19．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若命题“
”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习20．（2023·全国·高三专题练习）若“ ， ”是假命题，
则实数 的取值范围是______．
题型五 幂函数的定义
例9．（2021秋·高三课时练习）下列函数为幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）若幂函数 在区
间 上单调递增，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或
练习21．（2022秋·高三单元测试）（多选）已知函数 为幂函数，
则实数 的可能性取值为（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
练习22．（2023春·湖北宜昌·高三校联考期中）已知点 在幂函数 的
图象上，则（ ）
A． B．
C． D．练习23．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数 的图象过
点 ，且 ，则 的取值范围是______.
练习24．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数 的图像过
点 ，则 的值为___________．
练习25．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆中学校考期中）函数 是幂
函数，且在 上单调递增，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
题型六 判断幂函数的图象
例11．（2023·山东临沂·高三校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致
对应的是（ ）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
例12．（2023秋·湖北·高三校联考期末）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限练习26．（2019·全国·高三专题练习）对于函数y＝x2，y＝x 有下列说法：①两个函数都
是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两
个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
练习27．（2023秋·上海徐汇·高三统考期末）当 时，函数 的图象恒过定点
A，则点A的坐标为________．
练习28．（2021秋·青海·高二统考学业考试）如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图
象，其中①对应的幂函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
练习29．（2022春·浙江·高二统考学业考试）（多选）图象经过第三象限的函数是（ ）
A． B． C． D．
练习30．（2021秋·新疆巴音郭楞·高三校考阶段练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图像经过点 ，则解析式为
B．所有幂函数的图象均过点
C．幂函数一定具有奇偶性
D．任何幂函数的图象都不经过第四象限题型七 根据幂函数的单调性比较大小
例13．（2021春·陕西延安·高二校考期末）已知 ，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
练习31．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）若 ，则下列不等关
系中，不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
练习32．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）若 ，则下列不等式① ，
② ，③ ，④ 中，正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习33．（2022秋·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）（多选）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
练习34．（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考期末）设 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
练习35．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知函数 ，
则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．题型八 根据幂函数的单调性求参数
例15．（2022秋·广东河源·高三校考阶段练习）幂函数 在区间
上单调递增，则实数m的值为______.
例16．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考期末）函数 是幂函数，对任
意 ，且 ，满足 ，若 ，且 ， ，
则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
练习36．（2023春·湖北孝感·高三统考开学考试）已知 ，若幂函
数 为奇函数，且在 上是严格减函数，则 取值的集合是______．
练习37．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）幂函数
在区间 上为严格减函数，则 __________．
练习38．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数 是幂函数，且
在 上是增函数，则实数 的值为______．
练习39．（2023秋·四川内江·高三统考期末）已知 在区间
上是单调增函数，则a的取值范围为______.
练习40．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）“ ”是“函数 在 上单
调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型九 根据幂函数的单调性解不等式
例17．已知幂函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
例18．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式
的解集为__________.
练习41．（2015·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）对于函数 定义域内的任意
且 ，给出下列结论：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确结论为：__．
练习42．（2020秋·北京丰台·高三统考期中）已知幂函数的图象经过点 ，那么
的解析式为____________；不等式 的解集为____________.
练习43．（2022秋·湖南郴州·高三安仁县第一中学校考阶段练习）若 ，
则 的取值范围是__________．
练习44．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数 经过点，则不等式 的解集为___________．
练习45．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象关于 轴对
称，且在 上单调递减，则满足 的 的取值范围为________.
