文档内容
专题3.1 用树状图或表格求概率+专题3.2 用频率估计概率
【学习目标】
1.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
2.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
3.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
4.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
【知识梳理】
1.树状图
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，
也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
注意：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结
果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的
次数和方式，并求出概率的方法.
注意：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都
相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个
m
数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）= .
n
4．判断游戏的公平性
（1）判断游戏公平性的方法
游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若
概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。
（2）把不公平的游戏变为公平的方法
改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。
5.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.
m
概率：事件A的频率 n 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.6.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当
试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而
频率是概率的近似值.
注意：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大
小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频
率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常
的.
7.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估
计概率.
注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果
将较为精确.
8．模拟试验
（1）模拟试验：在用试验法求某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定
难度，或所等的结果误差较大，或试验次数太多，或试验具有一定的破坏性，因而完成试验既费时
又费力。这时，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。
（2）模拟试验的两种方法：①利用替代物模拟试验估计概率；②利用计算器模拟试验估计概率。
（3）利用计算器产生随机数的大体步骤：
①进入产生随机数状态；②输入所产生随机数的范围；③按键得出随机数。
【高频考点精讲】
【高频考点1】用树状图或表格法求概率
例1.（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有
1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______．
【答案】
【分析】画出树状图，求出点的所有情况数，然后找出两次向上一面的点数都是3的倍数的数目，
再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解．
【详解】解：画树状图如下：
总情况数为：6×6=36种，两次向上一面的点数都是3的倍数的数目为4，所以两次向上一面的点数都是3的倍数的概率 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
变式1.（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）某校九年级举行毕业典礼，需要从3名女生和1
名男生中随机选择主持人．(1)如果选择1名主持人，那么男生当选的概率是______；
(2)如果选择2名主持人，请求出2名主持人恰好是1男1女的概率．
【答案】(1) (2)2名主持人恰好1男1女的概率为 ．
【分析】（1）根据一般的列举出即可求出男生当选的概率；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与选出的是1名男生1名女生的
情况，然后由概率公式即可求得．
（1）解：∵需要从3名女生和1名男生中随机选择主持人，
∴男生当选的概率是 ，故答案为： ；
（2）解：画树状图得，
共有12种等可能的结果，∵2名主持人恰好1男1女的情况有6种，
∴2名主持人恰好1男1女的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出
所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意
概率=所求情况数与总情况数之比．
【高频考点2】用表格法求概率
例2.（2022·云南·模拟预测）在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一
个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点M的横坐标x，放回袋中搅匀，然
后再从袋中取出一个球记下数字后作为点M的纵坐标y．
(1)用列表法或树状图求点M（x，y）所有可能出现的结果；
(2)求点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率．
【答案】(1)所有可能出现的结果为：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、
（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，
4）、（3，4）、（4，4）(2)点M（x，y）落在直线y=-x+5上的概率为
【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果即可；
（2）找出所有可能出现的结果中，满足y=-x+5的情况，再利用概率公式求解，即可求得答案．
（1）解：列表得：
1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
点M（x，y）所有可能出现的结果为：（1，1）、（2，1）、（3，1）、（4，1）、（1，2）、
（2，2）、（3，2）、（4，2）、（1，3）、（2，3）、（3，3）、（4，3）、（1，4）、（2，
4）、（3，4）、（4，4）．
（2）解∵共有16种等可能的结果，数字x、y满足y=-x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），
（4，1），
∴点M（x，y）满足y=-x+5的概率为： ．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；
注意概率=所求情况数与总情况数之比．
变式1.（2022·成都市·九年级专题练习）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品 九年
级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制
作了如下两幅不完整的统计图．
王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生 现在要在
其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 (要求写出用树状图或列表分
析过程)。【答案】（1）12；3；补充图见详解
（2）4个班平均作品数为： （件）；估计全年级共征集到作品： （件）
（3）恰好抽中一男一女的概率为 ，过程见详解.
【分析】（1）根据C在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据C的人数是5，列式计算出总数，
即可求得B的件数.（2）求出平均一个班的作品件数，再乘以班级数，计算即可.
（3）列表分析，再根据概率公式计算即可.
【详解】(1)所调查的四个班总数为： (件)，B作品的件数：12-2-5-2=3(件)；补充图如
下
（2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件）
估计全年级共征集到作品： （件）
（3）列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以 即恰好抽中一男一女的概率为 .
【点睛】本题考查了统计的相关知识，复杂的统计问题用列表或者树状图分析.
【高频考点3】几何图形求概率
例3.（2022·山东烟台·七年级期中）如图是由四个全等的直角三角形拼成的“弦图”，其中 ，
，现将其中四个三角形涂上颜色（如图），点P是右图图案内的任意一点，则点P恰好在涂
色部分的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：P恰好在涂色部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】如图，依题意得： ,
∴ ,∴ ,
其中阴影部分面积为: ，
∵总面积为 ，∴点P恰好在涂色部分的概率是: ．故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理以及几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一
般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率，本题还考查了二次根式的混合运算．
变式1．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在边长为1的小正方形网格中， 的三个顶点
均在格点上，若向正方形网格中投针，落在 内部的概率是________________．
【答案】
【分析】利用 的面积除以整个网格 的面积即可得．
【详解】解：由题意可知，整个网格的面积为 ，
的面积为 ，
则向正方形网格中投针，落在 内部的概率是 ，故答案为： ．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
变式2．（2021·湖南娄底·二模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆
面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的
面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】解：∵设正方形的边长为a，∴⊙O的半径为 ，
∴S ＝ ×（ a）2 ，S ＝a2，
圆 正方形
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是 ，故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机
事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，
记作P（A），即有 P（A）＝ ．
【高频考点4】游戏的公平性
例4.（2022·湖南湘西·九年级期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时
间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除
了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：
(1)随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；
(3)如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获
胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1) (2)见详解(3)因为小诚获胜的概率大于小明获胜的概率，所以不公平【分析】（1）用抽取张数除以A组总数即可求出概率；
（2）通过树状图将每种情况列出来即可；
（3）根据（2）所列出来所有情况，分别用乘积为3的倍数的总数与乘积不为3的倍数的总数除以
所有情况，若概率不相等则不公平，反之则公平．
（1）∵抽取1张，且A组共有3张∴ 故抽到数字2的概率为 ．
（2）由题意画出树状图如下：
∴共有（2，3）（2，5）（4，3）（4，5）（6，3）（6，5）6种等可能的结果．
（3）∵ 乘积为3的倍数有（2,3）、（6,3）、（4,3）、（6,5）四种情况∴ ∵
乘积不为3的倍数（2,5）、（4,5）两种情况∴ ∵ ∴小诚获胜概率大于小
明获胜概率故这样的游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了概率的基本运算及比较，以及画树状图列出每一个事件，概率的计算公式是本
题的关键．
变式1．（2022·广东·九年级单元测试）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，
描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
【答案】C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为 ，即可求解．
【详解】解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、
平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为 ，则A，B，D，选项正确，C
选项错误．故选C
【点睛】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
变式2．（2022·山东·青岛大学附属中学三模）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分
成3个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各1次，若两次数字之和为奇数，则小亮胜；若两
次数字之和为偶数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数
字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率
大小判断这个游戏对双方是否公平．
【详解】解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，
两次数字之和为偶数的结果数为4，
所以小明胜的概率= ，小亮胜的概率= ， 而 ， 所以这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的
大小，概率相等就公平，否则就不公平．
【高频考点5】修改游戏方案
例5.（2022·湖北咸宁·九年级阶段练习）甲，乙两人用4个乒乓球做游戏，这4个乒乓球上分别标
有数字2，3，6，6（球的形状，大小，颜色，质量都相同），他们将乒乓球放入盒内搅匀后，甲
先摸，摸出后不放回，乙再摸．(1)请你用列表或画树形图的方法求出乙摸到标有数字是3的乒乓
球的概率；(2)他俩约定：若甲摸到的球面数字不小于乙摸到的球面数字，则甲赢；若甲摸到的球
面数字比乙的小，则乙赢．你认为这个游戏是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改
规则，设计一个公平的游戏方案．
【答案】(1) (2)不公平；可将规则改为：甲乙两人分别摸球，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，
如果他们摸出的球面数字之和为偶数，则甲赢，否则乙赢
【分析】（1）先根据题意画出树状图，然后根据概率的公式进行计算即可；
（2）先根据（1）中画出的树状图分别求出甲、乙获胜的概率，说明游戏不公平，然后设计一个使
两个人获胜概率相同的游戏规则即可．
(1)解：由题意画树状图，如图所示：∵共有12种等可能结果，其中摸到标有数字是3的乒乓球（记事件A）有3种情况：
∴ ．
(2)∵甲摸到的球面数字不小于乙摸到的数字的情况有7种，
∴P（甲获胜） ，P（乙获胜） ，
∵P（甲获胜）＞P（乙获胜），∴这个规则不公平，
可将规则改为：甲乙两人分别摸球，甲先摸，摸出后不放回，乙再摸，如果他们摸出的球面数字之
和为偶数，则甲赢，否则乙赢．（修改规则答案不唯一，只要概率相等即可）
【点睛】本题主要考查画树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键．
变式1．（2022·陕西师大附中九年级阶段练习）爸爸寄回一枚北京奥运会纪念币，小颖和弟弟小明
都想要，小颖提议玩“配紫色”游戏，赢的人得到纪念币，规则如下：如图，A、B两个可以自由
转动的转盘，两人分别转动两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么就能
配成紫色．若配成紫色，则小颖赢，否则小明赢．这个游戏对双方公中吗？请说明理由．若不公平，
如何修改规则才能使游戏对双方公平？
【答案】游戏不公平，若两次转出的全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配
成紫色，两个转盘重新转
【分析】根据题意画树状图列出所有等可能结果，找出配成紫色的情况数，再根据概率公式求出小
颖和小明赢的概率，然后进行比较，得出游戏不公平，从而修改规则，即可得出答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
则小颖赢的概率是 ，小明赢的概率是 ，∵ ＞ ，∴游戏不公平，
若两次转出全是红色，小颖赢；若两次转出的全是蓝色，小明赢，若能配成紫色，两个转盘重新转．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就
公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【高频考点6】用频率估计概率（1）
例6.（2022·浙江·温州外国语学校九年级期中）在一个暗箱里放有 个除颜色外完全相同的球，这
个球中红球只有3个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的
重复试验后发现，摸到红球的频率为30%，由此可以推算出 约为（ ）
A．16 B．13 C．10 D．7
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例
关系入手，列出方程求解．
【详解】解：由题意可得： ，解得：m=10．故可以推算出 约为10．故选C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估
计事件的概率”．
变式1．（2022·江苏·靖江市靖城中学九年级阶段练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购
买该电子产品足够多时，平均来说，购买_____个这样的电子产品，可能会出现1个次品．
【答案】4
【分析】根据“合格率”，“不合格率”的意义，结合“频数与频率”的意义进行判断即可．
【详解】解：∵产品的抽样合格率为 ，
∴产品的抽样不合格率为
∴当购买该电子产品足够多时，平均来说，每购4个这样的电子产品，就可能会出现1个次品
故答案为：4．
【点睛】本题考查频数与频率，理解“频率”“合格率”“不合格率”的意义是正确判断的前提．
变式2．（2022·陕西西安·七年级期末）不透明袋子里装有仅颜色不同的12个白色和若干个橙色乒
乓球，随机从袋子里摸出1个乒乓球记下颜色后再放回，经过多次的重复试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.6附近，则估计袋子中橙色乒乓球有_______个．
【答案】8
【分析】设袋子中橙色乒乓球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：设袋子中橙色乒乓球有x个，根据题意得：
，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴袋子中橙色乒乓球可能有8个．故答案为：8．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白色乒乓球的频率得
到相应的等量关系．
【高频考点7】用频率估计概率（2）
例7.（2022·河北·九年级课时练习）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除
颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统
计图根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，①估算一下袋中两种颜色球共有 个；
②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试
验后，摸出黑球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)0.5(2)①8；②
【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即可求解；
（2）①摸到黑球的频率接近0.5知摸到白球的频率约为0.5，用白球个数除以其对应频率可得球的
总个数的估计值．（1）摸到黑球的频率会接近0.5，故答案为：0.5．
（2）①∵摸到黑球的频率接近0.5，∴白球的频率约为0.5，
则估算袋中两种颜色球共有4÷0.5=8（个）；故答案为：8．
②小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，则袋中球的总个数约为（a+8）个，其中
黑球的个数为（a+4）个，当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是 ．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情
况数之比是解题的关键．变式1．（2022·四川达州·七年级期末）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出
现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），
摸到红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，实验结果频率在33%左右，因此事件的概率也为33%，符合此概率的
即为正确答案．
【详解】A、掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，故A选项错误，不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为 ，故B选项错误，不
符合题意；C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为
，故C选项正确，符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率在是50%，故D选项错误，不符合题意；故选
C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，分别求得每个选项的概率是解题的关键．
变式2.（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）某水果公司新进得一批草莓，销售人员首先从所有的草
莓中随机抽取若干草莓，进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
草莓总质量 … 50 100 150 200
损坏草莓质量 … 5.15 10.09 14.98 20.42草莓损坏的频率 （精确到 … 0.103 0.101 0.100 a
0.001）
(1)填空： ___________；(2)估计草莓损坏的概率约为___________（精确到0.1）；
(3)这批草莓的总重量为 ，成本价是16元/ ，若公司把售价定为30元/ ，那么公司售出
草莓（去掉损坏的草莓）最终能够获得多少利润．
【答案】(1)0.102 (2)0.1 (3)6600元
【分析】（1）根据题意，草莓损坏的频率 ，将 ， ，代入计算，最后根据题目
要求精确到0.001即可．
（2）根据表格中的草莓损坏的频率及 ，估计草莓损坏的概率即可．
（3）先计算总成本，即总成本=成本价×总重量，再计算这批草莓损坏的重量，从而得到这批草莓
售出的重量，进而算得销售金额=售价×售出的重量，最后用总利润=销售金额-总成本，求得总利润．
(1)解： ，故 ．
(2)解：观察表格中的草莓损坏的频率及 ，估计草莓损坏的概率约为0.1．
(3)解：总成本为 （元），
∵草莓损坏的概率约为0.1，∴这批草莓损坏的质量约为 （千克），
∴售出草莓的质量为 （千克），
最终利润为 （元）．
答：公司出售这批草莓最终能够获得利润6600元．
【点睛】本题考查了频率的计算，由频率估计概率，以及总利润的计算．注意，计算销售重量时，
要去掉损坏的草莓，而计算总成本时，要将损坏的那部分草莓的成本计入总成本中．
【能力提升】
一．选择题
1．（2022·广西贵港·八年级期末）小亮3分钟共投篮80次，进了64个球，则小亮进球的频率是（
）
A．80 B．64 C．1.2 D．0.8【答案】D
【分析】根据频率等于频数除以数据总和即可求解．
【详解】解：∵小亮共投篮80次，进了64个球，
∴小明进球的频率为：64÷80=0.8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了频数和频率，掌握“频率等于频数除以数据总和”是解答本题的关键．
2．（2022·全国·九年级课时练习）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指
针落在C区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率公式所占部分除以总数即可求得．
【详解】指针落在C区域的概率是 ，故选D
【点睛】此题考查了概率问题，解题的关键是用概率公式求解．
3．（2022·湖北十堰·）在如图所示的电路中，随机闭合开关S、S、S 中的两个，能让灯泡L 发光
1 2 3 1
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合题意，根据列举法的性质，首先列举所有可能的情况数量，再分析能让灯泡L 发光
1
的组合数量，通过计算即可得到答案．
【详解】随机闭合开关S、S、S 中的两个，即： ， ， ∴共3种情况
1 2 3
根据题意，得能让灯泡L 发光的组合为： ∴能让灯泡L 发光的概率是 故选B．
1 1
【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握列举法求概率的性质，从而完成求解．4．（2021·河南中考真题）现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张
卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九
章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、
D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所抽中的恰好是B和D的结果有2种，
∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为 ．故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再
从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
5．（2022·山西九年级期中）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明
同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 的正方形区域内，为了估计图中黑
色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定
在 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计
算即可得出答案．【详解】解：∵正方形二维码的边长为3cm，∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；故选C．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（2022·浙江九年级期中）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频
数表如下：
抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 30 80 120 140 445 720 900
合格频率 0.6 0.8 0.8 0.7 0.89 0.9 0.9
估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（ ）
A．1080套 B．960套 C．840套 D．720套
【答案】A
【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据表格数据可估计合格校服的概率约为0.9，
∴估计出售1200套校服，其中合格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．
【点睛】本题考查频率估计概率、样本估计总体，据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．
7．（2022·山东九年级期中）数学兴趣小组在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的
频率，绘制了如图所示的频率分布散点图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛掷一枚硬币，正面向上的概率
B．抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率
C．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率
D．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率
【答案】C
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.6附近波动，即其概率 ，计算四个选项的概率，约为0.6者即为正确答案．
【详解】解： 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；
、抛掷一枚骰子，朝上一面的点数为质数的概率为 ，故此选项不符合题意；
．从装有3个红球、2个白球袋子中，随机摸出一球为红球的概率为 ，故此选项符合题
意； ．两人玩“剪刀、石头、布”游戏中，其中一人获胜的概率为 ，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，
难度不大．
8．（2022·山东·九年级课时练习）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通
关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次
“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助 D．无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【分析】根据题意，分类讨论，然后分别画出树状图，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即
可判断.
【详解】解：①若两次求助都用在第1题，
根据题意可知，第1题肯定能答对，第2题答对的概率为
故此时该选手通关的概率为： ；
②若在第1第2题各用一次求助，
画树状图如下：上层A、B表示第一题剩下的两个选项，下层A、B、C表示第二题剩下的三个选
项，
共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为： ；
③两次求助都用在第2题
画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选
项，共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为： .
∵ ＞ ∴两次求助都用在第1题，该选手通关的概率大，故选A.
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决
此题的关键.
9．（2022·浙江·九年级专题练习）小明在一次用频率估计概率的实验中，从一副去掉大小王的扑
克牌中，任意抽取一张，把抽到红桃出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】一副去掉大小王的扑克牌有52张，红桃有13张，可以求出抽中红桃的概率，再对比选项
作答．
【详解】一副去掉大小王的扑克牌有52张，红桃有13张，
任意抽取一张为红桃的概率是 ，
则统计图中抽中红桃的频率应该在0.25左右．故选A．
【点睛】本题考查用用频率估计概率的应用，解决本题的关键是先根据题意求出抽中红桃的概率．
10．（2022·山西）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所
示：
实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率
棣莫弗 2048 1061 0.5181
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（ ）
A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小
B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5
C．每多抛一次，频率会更加接近0.5
D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等
【答案】A
【分析】根据5位学者的试验结果，确定随着试验次数增加频率的稳定值，估计正面向上的概率，
即可得出答案．
【详解】解：由上表可知，抛掷硬币试验中，正面向上的频率在0.5附近摆动，且随着n的增加，
摆动幅度越来越小，可知正面向上的概率为0.5，只有A选项正确；故选A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，比较简单．
二．填空题
11．（2022·江苏淮安·九年级期中）一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球， 摇匀后每次
随机从袋中摸出一个球， 记下颜色后放回袋中， 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率
是0.4，则袋中红球约为_________个．
【答案】15
【分析】根据口袋中有10个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可.
【详解】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有10个白球
假设有x个红球，则 解得：x=15∴口袋中有红球约为15个故答案为：15
【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相
等是解题关键．
12．（2022·陕西渭南·七年级期末）两个正方形如图摆放，假设可以随意在图中取点，那么这个点
取在阴影部分的概率为______．【答案】
【分析】先设阴影部分的面积是x，得出整个图形面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，则这个点取在阴影部分的概率是
故答案为：
【点睛】本题考查几何概率的求法：先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示
所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概
率．
13．（2022·重庆·模拟预测）从写有数字﹣2，﹣3，0，5的4张卡片中随机抽取两张，则抽取的卡
片上的数字之和能被5整除的概率为_____．
【答案】
【分析】先画出树状图确定总共的情况数和满足题意得情况数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，取出的两张卡片上的数字之和能被5整除的情况数为4种，
所以抽取的卡片上的数字之和能被5整除的概率为 ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了运用树状图求概率，理解题意、正确画出树状图是解答本题的关键．
14．（2022·江苏宿迁·八年级期末）事件 发生的概率为 ，大量重复做这种试验，平均每100次
实验，事件 发生的次数是_______
【答案】25
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率
的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【详解】解：事件A发生的概率为 ，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25，故答案为：25．
【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在
0和1之间．
15．（2022·河南洛阳·）如图，两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两
个转盘．转停北后，指针将指向一个扇形区域（指针指向区域分割线时重新转动转盘），则指针所
指区域内的数字之和为4的概率是______．
【答案】
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出数
字之和为4的概率即可；
【详解】解：如图，把第一个中“2”平均分成两部分，
用树状图表示如下：
共有6种情况，和为4的情况数有2种，所以概率为 ；故答案为：
【点睛】考查列树状图解决概率问题；找到指针所指区域内的数字之和为4的情况数是解决本题的
关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
16．（2022·浙江·金华市君华国际学校一模）某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率
为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币．
平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本．
【答案】20
【详解】每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，由
题意可得一次飞行中飞机失事的概率为P=0.00005，所以赔偿的钱数为40000000×0.00005=2000元，
即可得至少应该收取保险费每人 =20元．17．（2022·湖北九年级期中）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面
提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响
应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成
立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．
现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女
生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为_________．（直接填数字）
【答案】
【分析】画树状图，共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结
果有18个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，
∴其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 ，故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
18．（2022·四川南充·九年级期中）口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n
个，其余为绿球．甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从
袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分．谁先得10分谁获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则n的
值是___．
【答案】6
【分析】先根据三种颜色球的总个数为30，据此得出绿球的个数为（30-4n）个，若要使游戏对甲、
乙双方公平，则红绿球数量相等，据此列出关于n的方程，解之可得答案．
【详解】解：由题意知袋中绿球的个数为30﹣n﹣3n＝（30﹣4n）个，
若要使游戏对甲、乙双方公平，则n＝30﹣4n，解得n＝6，故答案为：6．
【点睛】此题考查了游戏的公平性、概率的求法；判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率
相等就公平，否则就不公平．
三．解答题
19．（2022·江苏扬州·八年级期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除
颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如
图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)摸到白球的概率估计值为________（精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，
①求袋中黑色球的个数；
②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，
摸出白球的概率估计值是________．（用含m的式子表示）
【答案】(1)0.2 (2)①16；②
【分析】（1）根据图像可以看出，摸到白球的频率在0.2左右附近摆动，根据频率与概率的关系，
可知摸到白球的概率约为0.2；
（2）①根据摸到白球的频率与白球的个数可得袋中球的总个数，则根据黑球个数＝袋中球的总个
数−白球的个数求之即可；②根据摸出白球的频率＝白球的个数÷球的总个数，然后根据频率与概
率的关系，估计出摸出白球的概率．
（1）解：由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动，根据频率与
概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2，故答案为：0.2；
（2）解：①∵袋子中白球有4个，∴袋中球的总个数为4÷0.2＝20，
∴袋中黑色球的个数为20﹣4＝16，
②∵将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，
∴袋中白球的个数为4+m，袋中球的总个数为20+m，
∴摸到白球的频率为 ，根据频率与概率的关系可得，摸到白球的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
20．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为
求得它的面积，小明设计了一个如下方法：①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 …m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到
0.1）．(2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆
内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）．(3)请你利用（2）中所得频率的
值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留 ）
【答案】(1)0.7(2)0.4(3)封闭图形的面积为10π平方米．
【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大
量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面
积．
（1）解：20÷29≈0.69；59÷91≈0.65；123÷176≈0.70，…
当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；故答案为：0.7；
（2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，故
答案为：0.4；
（3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得： =0.4，解得：a=10π，
答：封闭图形的面积为10π平方米．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频
率=所求情况数与总情况数之比．
21．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉
子， 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口 处投
放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿
该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，
求圆球落入③号槽内的概率．【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概
率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，
所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，
为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
22．（2022·广西·九年级专题练习）为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的
残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成 两组，每组100只，其中 组白鼠给服甲离
子溶液， 组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某
种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．
按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：
离子残留百分比
分组
给服甲离子白鼠（只数 1 8 27 30 22 12
给服乙离子白鼠（只
5 a 15 b 20 15
数）
（注：表中 表示实验数据 的范围为 ）
若记 为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到 的估
计值为0.70．
（1） _______； _______．
（2）实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残
留百分比的平均值估计如下： ，
用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值．
（3）甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数
据的中位效、众数、方差如下表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．
离子残留百分比 中位数 众数 方差分组
给服甲离子白鼠的实验组 5.9 6.0 1.38
给服乙离子白鼠的实验组 6.3 6.2 1.8
【答案】（1）10；35；（2） ；（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，
甲中位数5.9 6.3，甲好，甲离子众数6.0 6.3，甲好，从方差看甲离子方差1.38 1.8，甲好．
【分析】（1）根据题意可求a+b=45，由 的估计值为0.70，则 解方程求出b，再求
a即可；（2）根据样例给定的方法求即可；（3）由甲离子中位数5.9 6.3，甲离子众数6.0 6.3，
从甲离子方差看甲离子方差1.38 1.8做决策即可．
【详解】解：（1）根据题意a+b=100-5-15-20-15=45，
因为 的估计值为0.70，则 ，
解得b=35，a=45-b=45-35=10，故答案为：10；35；
（2） ；
（3））由甲乙两种离子残留百分比的平均值估计均为6.00，甲中位数5.9 6.3，甲好，甲离子众数
6.0 6.3，甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用小于乙离子，甲好，从方差看甲离子方
差1.38 1.8说明甲离子残留体内会对生物体产生一定不良副作用稳定性好于乙离子甲好．
【点睛】本题考查用概率估计样本的数据，平均数，中位数，众数，方差，掌握概率估计样本的数
据，平均数，利用中位数，众数，方差进行决策是解题关键．
23．（2022·江苏淮安·九年级期中）有两个构造完全相同 (除所标数字外) 的转盘 A、B．小红和小
明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次， 两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小
红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大．
【答案】小红获胜的可能性大
【分析】根据题意画出树状图（或列出表格），然后由树状图（或表格）求得所有等可能的结果与
两次转动后指针指向的数字之和为奇数与数字之和为偶数的情况，再利用概率公式计算即可求得答
案．
【详解】根据题意可画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，两次转动后指针指向的数字之和为奇数的有5种情况，数字之和为偶数
的有4种情况，∴ ．∴小红获胜的可能性大．
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
24．（2022·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外
都相同．(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；(2)搅匀后从中任意摸出
一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸
到红球的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
（1）解：共有3个球，其中红球1个，∴摸到红球的概率等于 ；
（2）画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，∴2次都摸到红球的概率 ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
25．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，
3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点
数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)【答案】(1)此游戏不公平，见解析 (2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6) ，P(和为7) ．P(和为6)
