专题3.3函数的奇偶性与周期性2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题3.3 函数的奇偶性与周期性 新课程考试要求 1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性. 培养学生数学抽象（例5.6.14.15）、数学运算（例3等）、逻辑推理（例2）、直观想 核心素养 象（例9.10）等核心数学素养. 1.判断函数的奇偶性与周期性； 考向预测 2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考 查，常结合三角函数加以考查，有时与数列结合考查周期数列相关问题． 【知识清单】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那 偶函数 关于 y 轴 对称 么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 奇函数 关于原点对称 那么函数f(x)是奇函数 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最 小正周期. 【考点分类剖析】 考点一 ：函数奇偶性的判断 【典例1】【多选题】（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高一月考）已知函数 的定义域都是R， 且 是奇函数， 是偶函数，则（ ） A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数 D． 是偶函数 【答案】AD 【解析】 由奇偶性的定义逐一证明即可.【详解】 对于A， ， ，即 是奇 函数，故A正确； 对于B， ， ，即 是偶函数， 故B错误； 对于C， ， ，即 是奇函数， 故C错误； 对于D， ， ，即 是偶函数，故D正确； 故选：AD 【典例2】【多选题】（2021·浙江高一期末）下列函数中是偶函数，且在 为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 ， ，偶函数，且在 为增函数，符合题意； 对于 ， ，不是偶函数，不符合题意； 对于 ， ，是偶函数，在 上为增函数，故在 为增函数，符合题意；对于 ， ，是偶函数，且在 为增函数，符合题意； 故选： ． 【知识拓展】 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考虑定义域； (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)． ⇔ ⇔ (3)函数奇偶性的三个关注点． ⇔ ⇔ ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集 合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 【变式探究】 1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） 1 y  x A． x B．y  1x2 y 2x 2x y  xex C． D． 【答案】D 【解析】 1 y  x 易知 x 和y 2x 2x 为奇函数，y  1x2 为偶函数. f xex xxR f 1e11, f 1e11 f 1 f 1 f 1f 1 令 ，则 ，即 且 . y  xex 所以 为非奇非偶函数. 故选D. 2.（2021·上海高三二模）设 ，则“ 图象经过点 ”是“ 是偶函数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 直接利用函数奇偶性的定义进行判定，结合充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】 若函数 图象经过点 时， 则 或 为偶函数．若 为偶函数， ① 时为奇函数， ② 时为非奇非偶函数， ③ 时为偶函数， ∴若 为偶函数时， ∴函数 图象经过点 是 为偶函数的充要条件． 故选：C． 考点二：函数奇偶性的应用 ex 1 【典例3】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ， 则当x<0时，f(x)= （ ） ex 1 ex 1 A． B． ex 1 ex 1 C． D． 【答案】D 【解析】  f(x) f(x)ex1 是奇函数，x≥0时， ． x0 x0 f(x)f(x)ex 1 f(x)ex 1 当 时， ， ，得 ．故选D． 【典例4】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三三模（文））已知函数 为奇函数，当 时， ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】 由奇函数对称性可得 ，代入已知解析式解得 . 【详解】 函数 为奇函数， . 又 ，则 ，解得 . 故选：B. 【典例5】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三三模（理））已知实数 ， 满足 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 由 ，可得 ， 构造函数 ，由函数的奇偶性单调性，计算即可得出结果. 【详解】 因为 ， 所以 ， 令 ，则 在 上为单调递增的奇函数， 又 ，所以 ，所以 . 故答案为：4 【总结提升】 函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根 据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据 f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法． 【变式探究】 x2 2x,x0 f x 1.（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数 x2 ax,x0 为奇函数，则实数 a 的值为（ ） A．2 B．2 C．1 D．1 【答案】B 【解析】  f x  f xf x 为奇函数  f xf x  x2 2x  x2 2x 当x0时，x0 f xx2 ax 又 x0 时， ∴ a2 本题正确选项：B 2.【多选题】（2021·全国高一课时练习）设f(x)为偶函数，且在区间(-∞，0)内单调递增，f(-2)=0，则下列 区间中使得xf(x)<0的有（ ） A．(-1，1) B．(0，2) C．(-2，0) D．(2，4) 【答案】CD 【解析】 由偶函数的性质以及f(-2)=f（2）=0画出函数f(x)的草图，由xf(x)<0 或 ，结合图象 ⇒ 得出解集. 【详解】 根据题意，偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(-2)=0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(-2)=f（2） =0，函数f(x)的草图如图又由xf(x)<0 或 ⇒ 由图可得-22 即不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 故选：CD 3.（2021·上海高三二模）已知函数 为奇函数，若 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 利用奇函数的性质，代入1和-1，即可求得函数值. 【详解】 由题知： ，又 为奇函数， 则 ， 故 ， 故答案为： 考点三：函数周期性及其应用 【典例6】（2021·广德市实验中学高三月考（文））已知对 ， ，当 时， ，则 （ ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】 根据已知条件先分析出 为周期函数并求解出周期，然后根据周期性将 转化为 进行 计算即可. 【详解】 ∵ ， ∴ ， ∴ 为周期函数且一个周期为 ．∴ ． 故选：B. 结论点睛：结论点睛：周期性常用的几个结论如下： （1） 对 时，若 或 （ ）恒成立，则 是 的一个周期； （2） 对 时，若 或 或 （ ）恒成立，则 是 的一个周期； （3）若 为偶函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数； （4）若 为奇函数，其图象又关于 对称，则 是以 为一个周期的周期函数. 【典例7】（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在 上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题： 甲： 是奇函数； 乙： 的图象关于直线 对称；丙： 在区间 上单调递减； 丁：函数 的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】 由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数 单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果. 【详解】 由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2， 所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾， 即丙、丁中有一个为假命题； 若甲、乙成立，即 ， ， 则 ， 所以 ，即函数 的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. f(x) (,) 【典例8】（2020·四川省石室中学高三一模（文））已知 是定义域为 的奇函数，满足 f(1 x)  f(1 x) f(1)2 f 1 f 2 f 3 f 2020 ,若 ，则 ( ) 2020 2 0 2020 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 f x (,) f xf x f 00 由函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，且 ，f(x2) f(x)f x f(1 x)  f(1 x) 又由 ，即 ， f(x) f(4x) f x 进而可得 ，所以函数 是以4为周期的周期函数， f(1)2 f 3 f(1)f(1)2 f 2 f(0)0, f 4 f 00 又由 ，可得 ， ， f 1 f 2 f 3 f 40 则 ， f 1 f 2 f 3 f 2020505[f 1 f 2 f 3 f 4]0 所以 ． 故选C． 【规律方法】 2  1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝ 计算． 递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋ a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与 函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论： 若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期． 【变式探究】 （f x） （f x1） 1.（2020·六盘山高级中学高三三模（文））奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 f(﹣1)＝﹣1 （f 2018） （f 2019） ，则 ＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】B 【解析】 （f x） （f x1） 由题意，奇函数 的定义域为R，若 为偶函数， （f x1）＝（f x1）＝ （f x1） 则 ， （f x2）＝ （f x） （f x4）＝ （f x2）＝（f x） 即 ，则 ，（f x） 即 是周期为4的周期函数， （f 2018）＝（f 50442）＝（f 2）＝ （f 0）＝0 ， （f 2019）＝（f 5045﹣1）＝（f 1）＝1 ， f 2018 f 2019011 则 ， 故选：B． 2.（2019·广东高考模拟（文））已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a， 则f(2)+f(3)+f(4)=（ ） A．0 B．−a C．a D．3a 【答案】B 【解析】 因为函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)， 所以f(x)关于直线x=1对称，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(−1) 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0， 又由f(1+x)=f(1−x)可得f(x+1)=f(1−x)=−f(x−1)， 所以f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)， 因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(4)=f(0)，又f(1)=a 因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(−1)+f(0)=−f(1)=−a. 故选B R f(x) f(x2)f(x) 0 x1 3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， f(x) x2 f(1) f(2) f(3)L  f(2019) ，则 （ ） A．2019 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解析】 f x4f x2 f x f x 由 得： 的周期为4 f x 又 为奇函数f 11 f 2f 00 f 3 f 1f 11 f 4 f 00 ， ， ， f 1 f 2 f 3 f 40 即：  f 1 f 2 f 3f 2019505f 1 f 2 f 3 f 4 f 40   本题正确选项：B 考点四：函数性质的综合应用 【典例8】（2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三二模（文））已知函数 是定义在 上的奇函数， 且满足 ，数列 是首项为 ､公差为 的等差数列，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 利用函数的对称性首先求出函数 是以2为周期的函数，且 ，而数列的通项公式为 ，则可将所求转化为 ，再根据函数的奇偶性可得 ，从而 有 ，即可求得结果. 【详解】 ∵ ，∴ ， 即 是以2为周期的函数， 而 ，∴ ， 又∵数列 是首项为 ､公差为 的等差数列，∴ ， ∴， 又∵ 是定义在 上的奇函数，∴ ， 而 ，∴ ，∴ ， ∴ . 故选：B. f x 0, 【典例9】（2020·山西省高三其他（文））已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 单   f log a f log a2f 1 调递增，若实数a满足 2 1 ，则a的取值范围是（ ）   2 1  1  ,1 ,2 A．  2   B．1,2 C．  2   D． 0,2 【答案】C 【解析】 f(log a) f(log a) f(log a) 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以 1 2 2 ， 2   f  log a   f log a2f 1 则 2 1 为 ，   f(log a) f(1) 2 2 1 0, log a 1  a  2 因为函数 f(x)在区间 上单调递增，所以 2 ，解得2 ， 1  ,2   则a的取值范围是2 ， 故选：C. f(x) f(x) f(2x)0 【典例10】【多选题】（2020·山东省高三其他）已知偶函数 满足 ，则下列说 法正确的是（ ）．f(x) f(x) A．函数 是以2为周期的周期函数 B．函数 是以4为周期的周期函数 f(x1) f(x3) C．函数 为奇函数 D．函数 为偶函数 【答案】BC 【解析】 A,B f(x) f(x) f(x) 对于选项 ,∵函数 为偶函数，∴ ． f(x) f(2x)0 ∵ ， f(x) f(2x)0 ∴ ， f(x) f(2x)0 f(2x)f(x) 则 ，即 ， f(4x)f(2x) f(x) ∴ ， f(x) 故函数 是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确； C F(x) f(x1) F(x) f(x1) f(x1) 对于选项 ,令 ，则 ． f(x) f(2x)0 x x1 f(x1) f(1 x)0 在 中，将 换为 ，得 ， f(x1)f(x1) F(x)f(x1)F(x) ∴ ，∴ ， F(x) f(x1) 则函数 为奇函数，所以选项C正确．  f(x)cos x 对于选项D,由题意不妨取满足条件的函数 2 ，   3  f(x3)cos (x3)cos x sin x   则 2  2 2  2 为奇函数， 所以选项D错误． 故选：BC. 3  3  f x  f x 【典例11】（2020·重庆高三其他（文））定义在R上的奇函数 f x 满足：  4    4  ，且 3 x 0, 当   4  时， f xlog 2 (x1)m，若 f 100log 2 3，则实数m的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【解析】 3   3 f x f x 由 f x 为奇函数知  4     4  ，  3  3  3 f  x  f  x  f  x  f x ∴  4  4 ，即  2 ，  3 f x3f x  f x ∴   2   ，∴ f x 是周期为3的周期函数， 1 3 3 f 100 f 1 f   log m log mlog 3 故 2 2 2 ，即 2 2 2 ，∴m1. 故选：B. 【典例12】（2021·湖南高三三模）函数 的定义域为D，对D内的任意 ，当 时，恒有 ，则称 为非减函数．已知 是定义域为 的非减函数，且满足：①对任意 ， ．②对任意 ．则 的值为________． 【答案】2 【解析】 分析所给条件，得到 的函数图像在 关于 对称，再由任意 得出 且 ，又 为非减函数即可求得 时，必有 ，据此即可得解. 【详解】根据题意，由对任意 ， ， 则 的函数图像在 关于 对称， 令 可得 ， 又因为对任意 ， 所以 ，又因为 且 是定义域为 的非减函数， 所以当 时，必有 ， 又由于 的函数图像关于 对称， 所以 时，也有 ， ， 故答案为：2. 【规律方法】 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值 的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用 奇偶性和单调性求解． （4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称． 【变式探究】x2 4x, x0 gx 1.（2020·山西省高三其他（文））已知函数 4xx2, x0 ， f x xgx，若 f 2a f 2a a ，则实数 的取值范围是（ ）  2  2  2 2   1,   2,   ,   ,  A． 3 B．  3 C． 3 D．3  【答案】B 【解析】  x2 4xx22 4 gx x0  4xx2 x22 4 x0 ， gx gx , f x xgx 由 的解析式可知， 在 上是奇函数且单调递增， 为偶函数， gx g0 x0 当 时，有 ， x  x 0 gx  gx 0 x gx  x gx 0 任取 1 2 ，则 1 2 ，由不等式的性质可得 1 1 2 2 ， f x  f x 0 f x 0, 即 1 2 ，所以，函数 在 上递增 f 2a f 2a f  2a   f  2 a  2a 2 a 再由 ，得， 得 2 2a 即3a2 4a40，解得 3． 故选：B． f x 0, 2.（2019·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设 是定义域为R的偶函数，且在 单调 递减，则（ ）  1   3    2  A． f   log 3 4    f   2 2    f   2 3    1   2    3  B． f   log 3 4    f   2 3    f   2 2    3    2   1 C． f   2 2    f   2 3    f   log 3 4     2    3   1 f 2 3  f 2 2  f  log  D．      3 4 【答案】C 【解析】  1  f log  f log 4  f x 是R的偶函数，   3 4   3 ． 2 3 2 3     log 4log 31,120 2 3 2 2,log 42 3 2 2， 3 3 3 f x 又 在(0，+∞)单调递减，  2   3 f log 4 f 2  3  f 2  2 ∴ 3 ，       3    2   1  f   2 2    f   2 3    f   log 3 4   ，故选C． f x2f 2x 3.（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（文））定义在R上的奇函数满足 ， x0,1 f xlog x1 f x 3,4 当 时， 4 ，则 在 上( ) f x0 f x0 A．是减函数，且 B．是增函数，且 f x0 f x0 C．是减函数，且 D．是增函数，且 【答案】B 【解析】 f x2f 2x 定义在R上的奇函数满足 ， f x2f 2x f x2 ∴ ， f x4 f x ∴ ，即函数周期是4.f x 3,4 1,0 在 上的图象和在 上的图象相同， x0,1 f xlog x1 当 时， 4 ， f x f x0 ∴此时 单调递增，且 . f x ∵ 是奇函数， x1,0 f x f x0 ∴当 时， 单调递增，且 ， x3,4 f x f x0 即当 时， 单调递增，且 ， 故选:B. 4.（2020·江西省高三其他（理））已知函数 是定义域为 的偶函数，且 在 上单调 递增，则不等式 的解集为____． 【答案】 【解析】 函数 是定义域为 的偶函数， 可转化为 ， 又 在 上单调递增， ，两边平方解得： ， 故 的解集为 ．