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3.3 导数在函数最值及生活实际中的应用
思维导图
知识点总结
导数与不等式
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不
等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的
构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式 f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明 f(x)－g(x)＞
0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结
论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、
通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据
“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求
得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x)，利用其最值求解．
零点与隐零点问题
1．已知函数有零点求参数范围常用的方法
(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范
围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新
函数的极值和最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确
定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参
数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研
究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所
求参数范围．
2．隐零点问题的解题技巧(能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐
零点”)
对于隐零点问题，常用代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技
巧．
典型例题分析
考向一 移项作差构造函数证明不等式
例1 (2021·南昌调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与
曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.
若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数
h(x)的单调性或最值证明不等式．
考向二 单变量不等式恒成立或存在性问题
例2 已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，
进行等价转化．
(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参
数的方法，转化为求函数的最值问题．
考向三 构造双函数
例 3 已知两函数 f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若
∀x ∈[－3，3]，∃x ∈[－3，3]，恒有f(x )>g(x )成立，求m的取值范围．
1 2 1 2常见的双变量不等式恒成立问题的类型
(1) 对 于 任 意 的 x ∈ [a ， b] ， 总 存 在 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 max 2 max
(2) 对 于 任 意 的 x ∈ [a ， b] ， 总 存 在 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 min 2 min
(3) 若 存 在 x ∈ [a ， b] ， 对 任 意 的 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 min 2 min
(4) 若 存 在 x ∈ [a ， b] ， 对 任 意 的 x ∈ [m ， n] ， 使 得
1 2
f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 max 2 max
(5)对于任意的x ∈[a，b]，x ∈[m，n]，使得f(x )≤g(x )⇔f(x ) ≤g(x ) .
1 2 1 2 1 max 2 min
(6)对于任意的x ∈[a，b]，x ∈[m，n]，使得f(x )≥g(x )⇔f(x ) ≥g(x ) .
1 2 1 2 1 min 2 max
考向四 判断函数零点(方程根)的个数
例4 已知函数f(x)＝ex－x－a(a∈R).
(1)当a＝0时，求证：f(x)>x；
(2)讨论函数f(x)在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
利用导数确定含参函数零点或方程根的个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化成确定g(x)的零点个
数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定区间端点值的符号
(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用
导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区
间上零点的个数．
考向五 已知函数零点个数求参数问题
例5 函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个零点，求实数m的取值范围．
利用函数零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为
直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解．
(2)利用零点存在定理构建不等式求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(客观
题常用).
考向六 可转化为函数零点个数的问题
例6 已知直线l：y＝x＋1，函数f(x)＝aex.
(1)当a＝1，x＞0时，证明：曲线y＝f(x)－x2在直线l的上方；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
处理函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点问题的常用方法
(1)数形结合，即分别作出两函数的图象，观察交点情况．
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)＝g(x)根的个数问题，通过构造函数y＝
f(x)－g(x)，利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根
的情况．
考向七 与函数零点有关的证明问题例7 已知函数f(x)＝ln ＋a2x2－ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝0且x∈(0，1)，求证：f(x)
